Вариация функции допустимая

Понятие вариации в вариационном исчислении имеет такое же фундаментальное значение, как и понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. Вариацией функции у = у (х) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции обозначается Ьу (х). Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функции обозначают их соответственно Ъу (х), Ьу" (х). и т. д. Заметим, что (Ьу (х)) = = 6у (х), т. е. символ б можно выносить за знак дифференцирования. [c.304]

Вариация функции 15 --допустимая 15 [c.285]

II (х, 1) - вариация кинематически допустимых полей скоростей, принадлежащая при каждом г некоторому линейному пространству вектор-функций Я . [c.11]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

С равенством (6.17) связано известное свойство ударных волн увеличение угла наклона ударной волны а приводит к увеличению энтропии газа за ударной волной. Таким образом, функция (р увеличивается вместе с а. Отсюда видно, что вариация i t > О допустима только тогда, когда ) < Из сказанного ранее заключаем, что величина х не может быть уменьшена за счет увеличения а только при условии

решению задачи 6 в осесимметричном случае или в плоском случае без ограничений на подъемную силу профиля соответствуют течения с головной ударной волной, не содержащие иных ударных волн в области аЬс, если интенсивность ударной волны может быть изменена малыми вариациями контура аЬ. [c.153]

Неравенства (7.8) обеспечивают J < 0 в силу того, что допустимые вариации удовлетворяют условиям бха >0, бул < 0 при выполнении равенств (7.7). Функции /(х), ш(х), < (х) при 0 < х < X и величина Уа определяются из уравнений (7.10) и равенства (7.9). Величина А определяется равенством (7.3). После этого условия (7.8) подлежат проверке. [c.170]

Подставим в это выражение функции, найденные из решения задачи при (р = <Роо- Допустимая вариация Stp, удовлетворяет условию буз, < 0. [c.172]

Энергетический метод определяет величину нагрузки, для которой полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть существенно положительной определенной функцией для всех малых статических допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р приближается к собственному значению Р. . Энергетический метод является мощным практическим средством приближенного вычисления критической нагрузки, получившим большое развитие в работах С. П. Тимошенко [102]. [c.257]

Эти условия налагают ограничения на допустимые вариации Sqk- Это ограничение мы учтем путем умножения каждого из уравнений (34.9) на множитель Лагранжа и суммирования их под знаком интеграла в формуле (33.13). Записывая, кроме того, функцию F в несколько более сокращенной форме, мы получим [c.252]

Исследуем на экстремум простейший функционал (2.64) для случая, когда граничные точки для допустимых функций у фиксированы у (а) = уа, у (Ь) = Допустимыми функциями называются непрерывные функции (с непрерывными производными), принимающие известные значения на концах интервала интегрирования., Необходимым условием экстремума является обращение в нуль первой вариации функционала. Для получения первой вариации функционала перейдем от функции у к близкой к ней, полагая [c.48]

Пример 3. Тонкий прямолинейный упругий стержень длиной I нагружается продольной силой Р. Невозмущенная форма равновесия стержня - прямолинейная. В качестве кинематически допустимых вариаций поля перемещений возьмем малые поперечные прогибы стержня, заданные функцией w x),x е [О,/]. Потенциальная энергия стержня в возмущенном состоянии может быть представлена в виде [c.478]

Условие бФ = О называют условием стационарности функционала. Это условие, как и равенство (2) для функции нескольких переменных, является необходимым условием максимума или минимума функционала, Как видно из выражения (6), стационарное значение функционала будет минимумом, если вторая вариация функционала является положительно определенной, т. е. если при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие [c.383]

Откуда следует, что условие стационарности бФ = О выполняется при всех допустимых вариациях искомой функции, если, во-первых, [c.383]

Естественный и наиболее распространенный способ решения задачи об отыскании экстремума функционала вида (1.1) при условии (1.3) состоит в использовании необходимого условия-, в точке экстремума и° выполняется уравнение (1.3) и вариация 6f равна нулю при любых допустимых вариациях бы неизвестной функции и [c.15]

Отметим еще раз, что Suj (j j, х , ха. О — виртуальная вариация U xt, Xi, Хз, t) в момент t. Читатель может убедиться, что функция йг = К Ьщ играет роль допустимой функции в (15.14). Аналогичные формулировки в задаче динамики системы материальных точек приведены в приложении В. [c.373]

Выполненные авторами методики исследования показали, что наибольшее влияние на функцию интенсивности ремонтов оказывает величина М. Влияние второго параметра распределения сроков службы а на функцию интенсивности ремонтов зависит от его относительной величины — коэффициента вариации V, и может быть заметным только на начальном участке вычисляемых функций для отдельных элементов. Что же. касается такой многоэлементной системы, какой является парк автомобилей, то, как выяснилось, изменение величины V в пределах от 0,1 до 0,3 в вычисление функции интенсивности ремонтов заметной ошибки не вносит. Исследованиями установлено также, что при одних и тех же значениях М п V вид закона распределения сроков службы мало влияет на величину искомых функций. Так, при коэффициенте вариации, меньшем 0,35, вполне допустима замена закона Вейбулла нормальным законом. Ошибка при вычислениях интенсивности ремонтов при такой замене практически отсутствует. На этом основании в перспективных расчетах вполне допустимо обходиться такими распределениями, которые более удобны для вычислений. Настоящей методикой предусмотрено, выполнение расчетов с использованием данных о функции [c.385]

Заметим, что в определение множеств допустимых полей перемещений К и вариаций перемещений не включено описание функционального пространства V, которому должны принадлежать эти поля. Дело в том, что конкретизировать пространство V можно только после задания структуры упругого потенциала W например, для полиномиальных аппроксимаций функции W пространство V будет пространством С. Л. Соболева типа — см. выше формулу (9). Очевидно также, что множества К и К , вообще говоря, не совпадают. [c.107]

Пусть й удовлетворяет всем условиям однородной задачи. Убедимся, что тогда (17.5) стационарен на й. Для этого дадим функции й малое приращение цф с произвольной ф из класса допустимых функций н вычислим первую вариацию функционала на й (линейные по ц члены в выражении Цф))- Применяя формулу [c.179]

Перейдем теперь к доказательству достаточности. Будем считать, что функционал (17.5) стационарен на некоторой функции й в классе допустимых функций, и докажем, что й есть решение задачи (17.1) — (17.4). Стационарность означает, что первая вариация функционала (17.5) равна нулю при любой функции <р. Выберем сначала такую функцию ф, которая обращается в нуль [c.180]

Эти преобразования не доказывают стационарность К е), она должна быть доказана независимо, вычислением первой вариации. В общем случае непрерывного е мы не будем доказывать стационарность (18.5). Ограничимся предельным случаем кусочно-постоянного г и установим, какие условия на поверхности разрыва г нужно накладывать на допустимые функции, чтобы имела место стационарность. [c.189]

Дадим теперь перемещениям w,- виртуальные приращения Предполагаем, что вариации bUi являются непрерывными функциями класса С , величинами достаточно малыми, соизмеримыми с допустимыми перемещениями в линейной теории упругости. [c.120]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Функции , 1 , 5 рассматриваются в точках некоторой области системы событий четырехмерного объема Уд пространства — времени, ограниченного трехмерной поверхностью 2(,. Дальнейшее построение связано с предположением, что в классе допустимых функций вариации и в объеме Уд непрерывны вместе со [c.473]

Поэтому, варьируя функцию р, мы получаем такие вариации напряженного состояния, которые всегда статически удовлетворительны и следовательно допустимы при пользовании теоремой Кастильяно. [c.115]

Конечно, минимизирующая функция и (но не ее приближение Ф) должна автоматически удовлетворять условию Неймана, если она достаточно гладкая. Это подтверждается уравнением (50) для первой вариации, равной нулю для всех V из допустимого пространства, 3 (Й). Прежде всего функция а = Ыхх + + Ыуу + / должна равняться нулю всюду в Й, и функцию V можно взять равной т в некоторой малой окрестности Г и нулю [c.86]

В данном случае мы для упрощения предположим, что А зависит только от а, т. е. мы рассматриваем функцию А К) при некоторых фиксированных значениях г. Это допустимо, очевидно, при не слишком больших вариациях а, когда состояние Ъй- и 4 -электронов не изменяется (см. обсуждение опытов с Д/д-эффектом в 4). Сложность задачи о нахождении зависимости обменного взаимодействия от межатомного расстояния состоит и в том, что в реальных ферромагнитных металлах и сплавах необходимо рассматривать обменные интегралы не только между ближайшими атомами в решетке, но и более удаленными, а в сплавах, кроме того, между ато- [c.146]

Найдем решение сопряженной системы ф = onst, V2 — (t — Т)Ф + ф2(Т). Функция ф2 t) служит градиентом функционала 0 и определяет структуру оптимального управления. Из условия трансверсальности следует, что ф2(Т) ф 0. Поэтому функция ф2 1) может обратиться в нуль всего лишь в один момент времени, и рассматриваемый функционал может иметь экстремумы только на границе области управления. Поскольку требуется найти минимум функционала, то следует выбирать и = — sigii 02- Только в этом случае любая вариация управления будет приводить лишь к увеличению функционала. Из условия трансверсальности тогда следует, что ф2(Т) = 1. В любом случае в зависимости от значения ф управление как функция времени либо вообще не имеет переключений и все время остается равным какому-либо ограничению допустимой области, либо имеет только одно переключение с одного ограничения на другое. [c.610]

Характеристики средств измерений. Различают метрологические и эксплуатационные характеристики СИ. Первые определяют резульгаты и погрешности измерений, вторые — условия применения СИ. К метрологическим характеристикам СИ относят функцию преобразования характеристики систематической, случайной и суммарной погрешности вариацию выходного сигнала входной и выходной им-педансы динамические характеристики неинформативные параметры выходного сигнала функции влияния (см раздел 3 гл. ХП) наибольшие допустимые изменения метрологических характеристик, вызванные изменениями внешних влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала. К метрологическим характеристикам следует отнести также порог чувствительности и разрешающую способность средства измерений. [c.111]

Отсутствие в Wi производной у указывает на двукратную вырож-денность задачи. Отметим, что это же обстоятельство вытекает и из результата заметки [2]. Каждое из этих уравнений применяется лишь там, где определяемые из них В ж (р удовлетворяют условиям (1.4)-(1.б) и (1.8). В противном случае имеет место краевой экстремум. Здесь соответствующая функция равна граничному значению, вытекающему из (1.4), (1.5), (1.6) или (1.8). Так как на этих участках допустимые вариации знакопостоянны, то здесь необходимые условия максимума N формируются в виде неравенств [c.603]

Будем считать, что f = Гц -f Г, , причем на части контура f задан вектор R (т. е. г и п), а на — обобщенные кирхгофовские усилия и изгибающий момент. Потребуем, чтобы вариация JR была геометрически допустимой, т. е., будучи достаточно плавной функцией, удовлетворяла условиям (йК = 0) [c.111]

Дадим теперь перемещениям Ui виртуальные приращения 6щ, следствием которых являются виртуальные деформации 5sij. Предполагаем, что вариации дщ достаточно малы и не влияют на равновесие внешних сил и внутренних напряжений, они совместимы с условиями закрепления тела на границах и условиями неразрывности внутри тела. Это означает, что 6ui — кинематически допустимые функции, то есть Jwj = О на В остальном возможные перемещения могут быть произвольными непрерывными функциями. [c.39]

По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей общей формулы динамики , а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декар товых осей X, у, гж бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. В работе 1777 г. он снова возвращается к открытому им методу вывода законов сохранения из евклидовой симметрии пространства, формулируя, однако, требования симметрии в отношении введенной им (и несколько ранее Д. Бернулли ) потенциальной или силовой функции системы. Б обеих его работах оставалась невыясненной симметрия закона сохранения энергии, а симметрии законов сохранения импульса и движения центра тяжести отождествлялись, совпадая с трансляционной симметрией пространства. [c.226]

Отметим также, что поскольку индентор является подвижным, то постановка задачи должна включать уравнения, позволяющие определить кинематический или степический торсор. Следовательно, пространство функций, в котором разыскивается решение, нужно определять как прямое произведение введенных выше пространств и шестимерного пространства торсоров (см. выше). Пусть, для определенности, задаются силы, действующие на индентор. Тогда в определение множества кинематически допустимых полей в этом пространстве будут присутствовать вариации бЯо скоростей смещений начала подвижной системы отсчета и вариации скоростей углов Эйлера, определяющих вариации матрицы вращений А [c.483]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...