Зависимости (соотношения) Коши

Зависимости (соотношения) Коши 20, [c.934]

В соответствии с линейными зависимостями (21.37) соотношения Коши примут вид [c.491]

Тогда квазистатическая задача А деформационной теории пластичности заключается в решении уравнений равновесия (3.93) при удовлетворении граничным условиям (3.94), причем должны быть учтены условия (3.80) или (3.89) (в зависимости от того, происходит ли нагрузка или разгрузка) и соотношения Коши [c.247]

Зависимость между функциями и, v, w ж компонентами a, Оу, Oz, Хху, Txz, tyz определяется на основании закона Гука, соотношений Коши и выражается такими формулами [c.19]

Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши для величин e j, и даются зависимостями (2.19), (2.30) [c.101]

Зависимость и) определяется соотношениями Коши [c.479]

Соотношения (14.37) вместе с дифференциальными уравнениями равновесия, дифференциальными зависимостями Коши и граничными условиями дают замкнутую систему уравнений для решения задач кратковременной ползучести. [c.313]

Соотношения (5.216) совместно с (5.222), (5.204), уравнениями движения и зависимостями Коши [c.269]

Шесть соотношений (3.23) между и вц вместе о тремя дифференциальными уравнениями равновесия (2.26) и шестью дифференциальными зависимостями Коши (1.40) составляют замкнутую систему уравнений теории упругости, число которых равно числу неизвестных функций ui, e,j, Otj. [c.55]

Учитывая соотношения (11.13) и (11.14), зависимости Коши (11.15) примут следующий вид [c.368]

Геометрические соотношения устанавливают связь между компонентами деформации и компонентами перемещения. Если деформации и перемещения малы, то между ними имеет место линейная зависимость, выражаемая уравнениями Коши [c.16]

Зависимости предыдущего параграфа справедливы для любого упругого материала. Для изотропного же материала их можно упростить. Упругий материал следует считать функцией главных инвариантов тензора деформации Коши-Лагранжа (1.7). Из соотношений (1.3.12), (1.3.13) нетрудно вывести равенство [c.101]

Рассмотрим подробнее вклад в вычисление деформаций н напряжений от воздействия центробежной нагрузки вида (III.35) для задач с осевой симметрией. Для этого выражения (II 1.52) и (И 1.35) подставим в зависимости Коши осесимметричной задачи теории упругости. Проинтегрировав по угловой координате 9 и проведя преобразования, получим выражения для подсчета деформаций в случае воздействия центробежных сил. Подставляя полученные выражения в закон Гука, получаем соотношения, позволяющие подсчитать вклад центробежных сил в напряжения для любой внутренней точки. Эта же процедура полностью применима и при решении задач плоской деформации при наличии центробежной нагрузки. [c.70]

В этих соотношениях мы узнаем зависимости Коши — Римана. Они показывают, что перемещение и можно трактовать как действительную часть, а перемещение 2 — как мнимую часть комплексной функции [c.513]

Заметим, что соотношения (1.26), (1.27), (1.30), (1.31) между компонентами тензоров Коши и Пиолы-Кирхгофа никак не связаны ни с зависимостью напряжений от координат, ни с потенциальностью работы деформации. Поэтому они справедливы независимо от того, выполняются или нет высказанные ранее предположения, которые потребовались лишь для использования формулы (1.20). [c.78]

Подытожим теперь полученные результаты. Если ввести газ Чаплыгина, то точные уравнения годографа (4.77) превращаются в соотношения Коши—Римана (4.80), что дает возможность использовать в плоскости годографа методы теории несжимаемой жидкости. Хотя газ Чаплыгина обладает необычными свойствами, но и при к = —1 зависимость между плотностью и давлением или плотностью и скоростью значительно ближе к изоэнтропий-ной, чем предположение о несжимаемости жидкости. При по-.лющи метода С, А. Чаплыгина можно рассматривать только дозвуковые течения, так как даже при ю — со из формулы (4.88) следует М —> 1. [c.82]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Эти соотношения необходимы и с математической точки зрения. Действительно, деформированное состояние тела описывается тремя непрерывными функциями Uj Xh), через которые на основании зависимостей Коши (1.40) определяются компоненты тензора деформации, а напряженное состояние тела определяется шестью независимыми компонентами ои тензора напряжений. Однако для определения этих девяти функций щ Xk) и ffjj (Xk)) в зависимости от внешнего воздействия на тело пока что имеем лишь систему трех дифференциальных уравнений равновесия (2.26), решение которых должно удовлетворять граничным условиям, например (2.28). Такая система уравнений называется ле-замкнутой, так как не позволяет найти функции u хи) и Oij (л й,), каковы бы ни были для них граничные условия. Это вполне понятно, го-скольку не учтены физические свойства рассматриваемой сплошной среды. [c.49]

О. 3. р. м. основан на соотношениях (5), (6), определяющих зависимость данных рассеяния от времеыи и позволяющих решать задачу Коши для ур-ния (1) по схеме [c.388]

Соотношения (4.6) называются условиями Коши — Римана. Перемнол<ив крест-накрест зависимости (4.6), получим [c.81]

Предполагается, что потенциальная функция W e) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотношений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Если функциональные зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции [c.87]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Необходимо заметить, что, исходя в своих обоснованиях всюду из молекулярной модели Иуассон вводил в последующие рассуждения по существу континуальные представления. Так, в его мемуаре мы находим дифференциальные уравнения Коши движения сплошной среды в напряжениях и линейную зависимость компонент напряжения от скоростей деформаций. Однако Отсутствие чисто континуальной трактовки этих соотношений сильно осложняло рассуждения Пуассона. [c.68]

В статье, опубликованной в 1843 г., Сен-Венан ссылается на цитированные выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных частиц. Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошения и главных тангенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида соотношений 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и про-цррциональности касательных напряжений соответственным скоростям сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений со скоростью объёмного расширения. Из этих соотношений Сен-Венан получает соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжения. В другой статье, в том же томе Докладов Парижской Академии наук (стр. 1108—1115) Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения [c.19]

Слово линейный относится здесь к зависимости напряжений от прошедшей предыстории С — относительной деформа- ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши — Грина Сг, представляют собой сумму неупругих напряжений, соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна С . От текущего тензора деформации (i) напряжения могут зависеть произвольным образом. Колеман и Нолл заметили, что выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, множества приведенных форм для общего определяющего соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при одной мере деформации ), например С<, может быть нелинейной при другой мере, например U<, то получаемые таким образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с другом в смысле аппроксимации (1), т. е. напряжения, соответствующие, согласно этим теориям, семейству предысторий градиента такому, что IIF — F (041-> О, асимптотически равны между собой. [c.389]

Последнее соотношение представляет собой определяюш,ее соотношение для тензора напряжений Коши, если учесть выражения (6.4.11), (6.4.8) и (6.4.9). Нужно отметить, что тензор отвечает не только за чисто упругие эффекты, но в силу функциональной зависимости (6.4.4) и за другие родственные эффекты, такие, как магнитострикция, пьезомагнетизм, обмен-нострикционные и термоупругие эффекты. Более же полная формула (6.4.13), кроме того, учитывает влияние на напряжения поля локальной магнитной индукции и обменных сил. Это влияние описывается, вообще говоря, нелинейными слагаемыми по ц и У д.. Представление тензора напряжений Кощи в виде разложения (6.4.13), в частности, показывает, что в отличие от исходного (но более общего) представления (6.2.58) спин-решеточные взаимодействия учитываются в тензоре напряжений Коши не только через антисимметричную комбинацию, фигурирующую в (6.2.58), но также и через соответствующую симметричную комбинацию. [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...