Кривые второго порядка пространственные

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой и-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения в общем случае 2и-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка. [c.172]

При пересечении между собой поверхностей второго порядка линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые линии. В некоторых частных случаях взаимного расположения поверхностей рассматриваемой группы линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка. [c.258]

Геометрическое моделирование включает решение позиционных и метрических задач на основе преобразования геометрических моделей. Элементарными геометрическими объектами в ММ являются точка, прямая, окружность, плоскость, кривая второго порядка, цилиндр, шар, пространственная кривая и т. д. [c.7]

Ребрами машиностроительных деталей в подавляющем большинстве случаев являются дуги окружностей и отрезки прямых, в том числе отрезки, аппроксимирующие пространственные кривые четвертого порядка. В практическом черчении плоские кривые второго порядка встречаются редко. Включение их в математическую модель графического документа усложняет ее структуру и приводит к необходимости разработки ряда дополнительных процедур для анализа видимости линий. Поэтому имеет смысл непосредственно перед проецированием аппроксимировать ломаной наклонные окружности, эллипсы, гиперболы и параболы, тем [c.110]

На фиг. ИЗ представлено пространственное построение поверхности при помощи кривых второго порядка. [c.190]

Построение пространственное кривыми второго порядка 642 [c.450]

Геометрическое проектирование включает следуюш,иё задачи геометрическое моделирование, геометрический синтез и оформление конструкторской и технологической документации. Геометрическое моделирование предназначено для решения позиционных и метрических задач на основе преобразования геометрических моделей. Элементарными геометрическими объектами, которые описываются математическими моделями, являются точка, прямая, окружность, плоскость, кривая второго порядка, цилиндр, шар, пространственная кривая и т. д. [c.223]

Выделим случаи, когда нормальное сечение цилиндрической поверхности представляет собой кривую второго порядка ). Такая цилиндрическая поверхность относится к числу поверхностей второго порядка. Точки любой поверхности второго порядка удовлетворяют в декартовых пространственных координатах уравнению второго порядка. Любая плоскость пересекает такую поверхность по кривой второго порядка ). Прямая линия пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках. [c.193]

При пересечении поверхности многогранника с поверхностью тела вращения образуются одна или две замкнутые пространственные линии, состоящие из частей кривых второго порядка (окруж- [c.151]

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка. Эта кривая пересекается плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). Порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. Кривая четвертого порядка может распадаться на две плоские кривые второго порядка. [c.104]

Это положение подтверждается теоремой Монжа. Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка. [c.106]

Так как все кривые второго порядка — плоские (плоскость, проходящая через три точки кривой, должна содержать всю кривую целиком), то простейшие пространственные алгебраические кривые — третьего порядка. Получить все возможные пространственные кривые третьего порядка можно на основе следующего предложения кривая и-го порядка проектируется из своей обыкновенной точки конусом я—1-го порядка. Действительно, плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечёт его только по образующим, проходящим через точки её пересечения с кривой число же их, не считая вершины конуса, равно п—1. Из этого же рассуждения видно, что если вершину конуса выбрать в особой, двойной точке кривой (узел и изолированная точка являются двойными, см. [1]), то порядок конуса снизится по сравнению с порядком проектируемой кривой на две единицы, так как на счёт вершины конуса придётся относить не одну, а две точки пересечения плоскости с кривой. Если Ж и — две точки кривой третьего порядка, то, проектируя её из этих точек, мы получим её, как пересечение двух конусов второго порядка с вершинами в точках уИ и имеющих общую образующую МЫ. Здесь кривая пересечения конусов распалась на пространственную кривую третьего порядка и на прямую — кривую первого порядка . Характерно то, что сумма порядков частей распавшейся кривой равна порядку полной кривой пересечения двух конусов второго порядка — четырём. Пример кривой третьего порядка мы видели на черт. 10, где два конуса второго порядка пересекались по образующей и кривой третьего порядка. Следующее за кривыми третьего порядка место по простоте занимают биквадратные кривые. [c.266]

Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, линией пересечения поверхностей второго порядка всегда является алгебраическая, в общем случае пространственная, кривая четвертого порядка. [c.258]

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка может распадаться на прямую и пространственную кривую третьего порядка. [c.263]

Следствие две поверхности второго порядка перес( каются по пространственной кривой четвертого порядка. [c.132]

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной jhi-нии четвертого порядка, которую называю г биквадратной кривой, [c.125]

Вершины кривых линий. Задание плоских кривых в естественных координатах. Кривые линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Рулетты. Преобразования плоских кривых линий. Конхоидальное преобразование. Преобразование инверсии. Конформное преобразование. Графики функций. Пространственные кривые линии. Гелисы. [c.7]

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая (в общем случае пространственная) кривая. [c.302]

Аналогично этому показать, что геометрическое место точек, скорости которых направлены в одну и ту же точку, представляет собою пространственную кривую третьего порядка. Направления этих скоростей образуют конус второго порядка с вершиной в точке Р. [c.192]

Ограничим класс рассматриваемых объектов, считая, что ребрами могут быть отрезки, окружности, эллипсы, гиперболы, параболы и дуги упомянутых кривых, а поверхностями — плоские, сферические, конические и цилиндрические грани. Подавляющее большинство деталей общего машиностроения соответствует введенным ограничениям. Встречающиеся иногда поверхности вращения и каркасные поверхности могут быть аппроксимированы упомянутыми гранями. Ребра, образованные пересечением поверхностей второго порядка и являющиеся пространственными кривыми, аппроксимируются пространственными ломаными. [c.87]

Рассмотрим пример нахождения торсовых поверхностей, опирающихся на замкнутый контур. В качестве замкнутой пространственной кривой возьмем алгебраическую кривую четвертого порядка, полученную в результате пересечения двух поверхностей второго порядка, а именно, гиперболического параболоида и цилиндра вращения [c.22]

В ряде случаев имеет место пересечение одной поверхности вращения второго порядка другою. При этом, как и для всех алгебраических поверхностей второго порядка, получается пространственная кривая четвертого порядка, называемая биквадратной. [c.288]

По аналогии с анализом плоской кривой линии с помощью соприкасающейся окружности (см. 20, рис. 74) анализ кривизны поверхности в окрестности данной точки сводится к анализу пространственной формы поверхности второго порядка-параболоида. При этом форму заданной поверхности и кривизну в окрестности рассматриваемой точки считают сходной с формой соприкасающегося параболоида. В зависимости от вида соприкасающегося параболоида различают и типы точек рассматриваемой поверхности. [c.82]

Пример 2. Построить линию пересечения цилиндра и сферы (рис. 133, а). Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с проекцией боковой поверхности цилиндра. Так как пересекаются две поверхности второго порядка, линией пересечения будет пространственная кривая-кривая четвертого порядка. [c.97]

С точностью до малых второго порядка соотношения между локальными лоренцевыми системами и 5(-с) даются инфинитезимальными преобразованиями Лоренца без вращения, причем — (инфинитезимальная) скорость начала системы R x+dx) относительно 5сс)1см. (4.128), (4.129)]. Постоянная — Ыт представляет собой расстояние между началами временных осей си-схем S(T) и S(t+rfT )- Поскольку при любом t — X пространственные координатные кривые, проходящие через начало О системы R, совпадают с соответ- [c.237]

Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости е ш ц для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси = О и к резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых н и е в этой главе мы показали аналитическими методами. [c.185]

Рассмотрим семейство пространственных одномерных конечных элементов первого, второго и третьего порядков (рис. 5.12, а, б, в). Геометрию элементов будем задавать координатами узлов, пользуясь при этом изопараметрической формулировкой для определения кривой, проходящей через эти [c.179]

Учебник кинематики, опубликованный им в 1888 г., посвяш,ен вопросам теории плоских механизмов. (Бурместер обещал выпустить второй том этой работы, посвященный пространственным механизмам, но выполнить своего обещания не смог). Выход в свет книги Бурместера был большим событием. Его значение состоит в том, что впервые кинематика представлена как расчетная наука, ставящая и разрешающая свои задачи. Бурместер был геометром, поэтому основное значение в его исследованиях имеют геометрические методы. Он достаточно подобно разработал теорию плоского движения и предложил ряд методов для определения скоростей и ускорений. Затронут в книге также вопрос об ускорениях высших порядков, который он излагает, следуя О. И. Сомову. Весьма существенно то, что у Бурместера впервые вопросы кинематики и кинематической геометрии воедино слиты с теорией механизмов. Наконец, Бурместер заложил основы геометрического синтеза механизмов. Исследуя шатунные кривые, он останавливается на таких кривых, которые на некотором участке совпадают в четырех, пяти или шести точках с прямой. Он нашел две важные кривые кривую круговых точек и кривую центров. [c.200]

В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньщий, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в прямую, считаемую дважды, так как каждая проецирующая прямая пересекас 1 оригинал не в одной точке, как. это было в общем случае, а в двух точках. Если же каждая проецирую щая пересекает пространственную кривую п-го порядка в к точках, то порядок проекции равен п к. [c.42]

Как было отмечено, две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Точки соприкосновения поверхностей для этой кривой должны быть двойными. Но пространственная кривая четвертого порядка не может иметь более одной двойной точки. HaJ ичи двух двойных точек, которые могут быть действительными различными, совпавшими или мнимыми, является признаком распадения этой кривой на две кривые второго порядка. [c.137]

Покажем, что в преобразовании прямой одного поля всегда соответсву-ст окружность второго поля. На самом деле, проецирующая коническая поверхность 0(52, а) пересекается со сферой Ф по пространственной кривой четвертого порядка ( 2-2 = 4), которая распадается на окружность а и еще на одну кривую второго порядка (4—2 = = 2). Последняя, как принадлежащая сфере Ф, является также окружностью. Эта окружность "стянулась в точку 52 (ее радиус равен нулю), точнее, она распалась на две мнимые прямые, пересекающиеся в действительной точке 52. Другими словами, эта распавшаяся окружность представляет собой общее сечение сферы Ф и конической поверхности 6 плоскостью Т, касающейся сферы Ф в точке 52. Плоскость Т параллельна П, так как П. с 5 52- Поэтому сечение конической поверхности 0 любой плоскостью, параллельной Т, в том числе и плоскостью изображения П, является окружностью. Таким образом, произвольной прямой однот поля в преобразовании соответствует в другом поле окружность, проходящая через центр О преобразования (0 -> 5 5 2, 5,52 П = 0). [c.207]

Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин (1947) и В. Л. Рвачев (1959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полупространство клиновидного штампа в работах Н. А. Кильчевского (1958, 1960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом контакте с некоторой экстремальной проблемой В. Л. Рвачев (1956, 1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго порядка работы Г. Я. Попова (1961, 1963) посвящены смешанным задачам для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости и квадранта Н. М. Бородачев (1962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев (1965) исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полога кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах [c.35]

Поскольку фокусатор двумерен, а фокальная кривая одномерна, то существует одномерное множество Г( ) точек ( , г>) на апертуре фокусатора, направляющих излучение в одну и ту же точку X ( ) кривой (рис. 5.1). Сле/]уя принятой терминологии, будем называть это множество слоем. Структура лучевого соответствия (и) и вид слоев определяется следующим фундаментальным свойством все лучи приходящие в данную точку кривой фокусировки находятся на поверхности конуса, ось которого является касательной к кривой фокусировки в данной точке. Поэтому система слоев на апертуре фокусатора соответствует семейству кривых второго порядка, являющихся сечениями конических поверхностей плоскостью = 0. Строгое доказательство данных фактов можно найти в работе [12]. Простая и наглядная интерпретация указанного свойства может быть получена на примере более простой задачи расчета фазовой функции фокусатора в набор из N точек, расположенных на пространственной кривой (5.1). Будем считать, что координаты точек фокусировки (х,1,1/ , Zi) соответствуют возрастаюшцм значениям г — О,..., N параметра Для расчета фазовой функции <р (и) фокусатора в N точек разобьем апертуру фокусатора V на N областей (сегментов) 1). Фазовую функцию (и) в пределах сегмента определим из устовия фокусировки в точку (ж, ,г , ) на кривой. В этом случае при и е 0-1 фазовая функция фокусатора является фазой линзы с фокусом в точке xi,yi,Zi) [c.312]

Следствие из теоремы Монжа. Если плоскость осей поверхностей второго порядка параллельна плоскости проекций, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка проецируется на эту плоскость в кривую второго порядка. Так на рис. 11.12 i 1 1 1 1 а, б простра С-твениые крив > е с 1р )е щровались 1- 1 ербол . . [c.107]

Пусть Ф — регулярная, не содержащая плоских областей и особых точек развертывающаяся поверхность, которую можно разбить прямолинейными образующими на полосы, каждая из которых представляет собой либо цилиндрическую поверхность, либо коническую, либо поверхность касательных некоторой пространственной кривой. Пусть g — регулярная кривая, пересекающая каждую прямолинейную образующую поверхность Ф только в одной точке. Если такую поверхность закрепить вдоль кривой g относительно двух произвольных точек пространства, то она станет аналитически неизгибаемой 144]. В работах [144, 145] исследованы бесконечно малые изгибания второго порядка развертывающихся поверхностей, закрепленных вдоль кривой, лежащей на поверхности, относительно двух точек. Для таких поверхностей в указанном классе деформаций получены признаки жесткости. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...