Бинормаль Уравнения

В естественной форме (т. е. в проекциях на касательную, главную нормаль и бинормаль) уравнения движения свободной материальной точки имеют вид [c.394]

Указание. Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения па касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке А. На рисунке угол между нормальной компонентой /V реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали л° обозначен через р. [c.233]

Составляем уравнения движения точки в форме Эйлера (в проекциях на касательную, нормаль и бинормаль) [c.261]

Как следует из последнего уравнения, проекция равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, на бинормаль равна нулю, т. е. траектория располагается так, что равнодействующая сила оказ . -вается лежащей в соприкасающейся плоскости, проведенной в данной точке траектории. [c.12]

Дифференциальные уравнения движения могут составляться также в любых криволинейных координатах. Такие уравнения будут рассмотрены в 40. Иногда пользуются уравнениями в проекциях на оси естественного трехгранника. Проектируя обе части равенства (2) на касательную т, главную нормаль п и бинормаль Ь и учитывая, dv d s [c.320]

Естественные уравнения движения точки по заданной кривой. Когда заданная кривая АВ, по которой движется точка, неподвижна (связь склерономна), удобно пользоваться уравнениями движения в проекциях на оси естественного трехгранника касательную т. направленную в сторону положительного отсчета расстояния s, главную нормаль п, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Ь (рис. 358). Пусть действующая на точку активная сила равна F, а реакция связи — N если связь идеальна, то реакция N нормальна к кривой, т. е. лежит в плоскости пЬ. Тогда уравнение движения [c.405]

Из первого дифференциального уравнения системы (20) независимо от двух других уравнений можно найти закон движения точки и, следовательно, скорость точки V. После этого из двух оставшихся уравнений (20) можно определить проекции неизвестной нормальной реакции N соответственно на главную нормаль и бинормаль. [c.247]

Из уравнения (IV.6с) следует, что вектор равнодействующей силы всегда расположен в соприкасающейся плоскости траектории, так как его проекция на бинормаль равна нулю. [c.321]

Прямая, перпендикулярная к касательной, которая лежит в соприкасающейся плоскости, называется бинормалью и определяется уравнением [c.77]

Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль и перпендикулярная к главной нормали, называется. с п р я м л я ю ще й плоскостью, ее уравнение имеет вид [c.78]

Напомним, что в этих уравнениях s = f t) — закон движения точки по траектории, p = f x, у, z) — радиус кривизны траектории, F , F , Fb — проекции равнодействующей сил, приложенных к точке, на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории точки. [c.106]

Пусть уИС = р —радиус главной кривизны (рис. 156) проведем бинормаль МВ. Так как единственными силами, действующими на точку М, будут сила Р и нормальная реакция N. то естественные уравнения движения для рассматриваемого случая будут [c.379]

Если спроектируем предыдущее векторное уравнение на три ребра естественного трехгранника (касательную, главную нормаль и бинормаль, ориентированные согласно условиям, принятым в гл. I) и обозначим через F , Fj соответствующие проекции силы, отнесенной к единице длины, то придем к трем скалярным уравнениям [c.218]

Остается выразить N (абсолютное значение нормальной реакции), для чего необходимо еще раз вернуться к основному уравнению (Г), спроектировав его на два другие главные направления (главную нормаль п и бинормаль Ь). Что касается проекции на главную нормаль, то на основании формулы (3) имеем [c.54]

Наконец, если спроектируем обе части основного уравнения динамики на оси естественного. трёхгранника, т. е. касательную, главную нормаль и бинормаль траектории, то, согласно формулам (7.12) на стр. 68, получим [c.139]

Как отмечалось ранее, торсовую поверхность можно сконструировать, если заданы по одной линии кривизны каждого семейства (см. рис. 1.2), причем угол оо между нормалью то к поверхности и бинормалью Ьо кривой а считается заданным, В любой другой точке М кривой линии кривизны угол а определяется по формуле (1.21). Образованную этим способом торсовую поверхность можно задать векторным параметрическим уравнением [44] [c.36]

Запишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на главную нормаль и бинормаль [c.24]

К кривой, вто юе - в проекции на главную нормаль, третье — в проекции на бинормаль. Напомним, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, проходящей через касательную и главную нормаль. Поэтому сумма проекций всех сил на бинормаль (третье уравнение) равна нулю. [c.50]

Остальные два уравнения системы (1 ) остаются без изменения. В этих уравнениях F , F , Fj, — проекции активных сил, приложенных к точке соответственно на касательную, главную нормаль и бинормаль iV , Щ — проекции нормальной реакции на главную нормаль и бинормаль,/ — коэффициент трения скольжения. Если кривая, по которой движется точка, является неудерживающей связью, то точка сойдет с кривой в тот момент, когда реакция кривой обратится в нуль. Уравнение кривой задается двумя уравнениями поверхностей [c.50]

Мы спроектировали обе части векторного равенства тш = на оси координат и получили уравнения движения (2.1) спроектируем теперь их же на оси естественного трехгранника — касательную, главную нормаль и бинормаль мы получим так называемые естественные уравнения движения [c.42]

Спроектируем векторное уравнение движения на оси естественного трехгранника (естественной системы координат) касательную, нормаль и бинормаль [c.66]

Спроектируем обе части уравнения (5) на оси естественного трехгранника касательную, главную нормаль и бинормаль к [c.291]

Переходим к составлению дифференциального уравнения колебаний. Обозначая через а вектор перемещения точек цепи из равновесного положения, через а, V, р — его проекции на касательную, главную нормаль и бинормаль цепной линии (перпендикуляр к вертикальной плоскости, в которой расположена цепь). Тогда [c.685]

Из последнего уравнения (3.3) следует, что проекция силы Р на бинормаль равна нулю. Это означает, что под действием приложенных сил нить принимает форму линии, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость содержит силу Р. [c.23]

B этих уравнениях d/di обозначает, как обычно, материальную производную по времени, o/ot — конвективную полную производную по времени, связанную с движением поверхности разрыва o(i), и т — бинормаль к или у . [c.174]

Поток можно рассматривать как совокупность элементарных струек. Сечение трубки тока б/со, перпендикулярное ее образующим, называют живым. В установившемся потоке форма элементарных струек постоянна, а в неустановившемся - непрерывно изменяется. При изучении элементарной струйки уравнения Эйлера записывают в так называемой естественной форме. Координатными осями в этом случае будут касательная, главная нормаль и бинормаль к линии тока, причем проекции действующих сил на бинормаль равны нулю. Обозначая направление касательной к линии тока через / (см. рис. 7.2, б), а главной нормали через г и составляя суммы проекций действующих сил, получаем [c.226]

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства ma=2Fft на оси ТИтяй, т. е. на касательную УИт к траектории точки, главную нормаль Мп, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb (см. в 42 рис. 122 на нем Охуг — оси, по отношению к которым движется точка). Тогда, учитывая, что (см. 43) at=dy/d/, a =uVp, flj=0, получим [c.187]

Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по ида ной гладтой неподвижной кривой под действием активных сил FI, F%,. , F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О и будем определять положение точки М криволинейной координатой5=0 Л1 (см. 37). Проведем из точки М оси МгпЬ (см. 42), т. е. касательную Мх (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль Л16 и воспользуемся уравнениями (И) из 77. Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой, [c.219]

Из уравнений (5) видно, что производная от натяжения нити по дуге равна взятой с обратным знаком проекции действующей силы на касательную, а произведение натяжения нити в данной точке на кривизну той кривой, по которой нить располагается в равновесии, равняется взятой с обратным знаком проекции силы на главную нормаль (под силой всюду понимается сила, отнесенная к единице длины нити). Из равенства же F(, = О следует, что при равновесии нить располагается так, что проекция действующей силы на бинормаль есть нуль другими словами, при равновесии нити действующая сила лежит в соприкасающейся плс1ск0сти кривой, по которой располагается нить. [c.311]

Поскольку траектория конического маятника (окружность радиуса г = 51пфо) заранее известна, то соотношение (86) можно непосредственно найти из уравнений движения маятника в проекциях на главную нормаль и бинормаль к траектории. Эти уравнения, если учесть, что скорость конического маятника к = л9о = (/sin фд) Gq, дают (см. рис. 367) [c.435]

Уравнения (IV.208а) можно представить в иной форме. Пусть О — центр кривизны траектории, тогда отрезок МО равен р. Через точку О в общей нормальной плоскости кривых аа и ЬЬ проведем перпендикуляр к вектору V. Пусть он пересечет главную нормаль и бинормаль геодезической кривой в точках L и Л. Отрезок МР называется радиусом нормальной кривизны траектории точки М, отрезок МК — радиус геодезической кривизны траектории [c.426]

Естественные уравнения движения. Введем вместо декартовых осей координат естественные оси (см. рис. 7.9) МхпЬ (Л/т — касательная, Мп — главная нормаль и МЬ — бинормаль к траектории в точке Л/ — см. п. 3.3 гл. VII). По формулам (7.25а) и (7.26) проекции вектора ускорения на эти оси равны соответственно [c.243]

Рассмотрим пространственную кривую, отнесенную к неподвижным осям 01Х1У121, и движущуюся по ней точку О, координаты которой являются заданными функциями дуги л. Предположим, что движение точки О определяется уравнением л = и рассмотрим прямоугольный триэдр Охуг, образованный касательной Ох, направленной в сторону движения, главной нормалью Оу, направленной в сторону радиуса кривизны р, и бинормалью О2. [c.84]

Направим ось Ох по касательной (поэтол1у а=1, P = Y = 0), ось Оу — по главной нормали (поэтому X == О, ]1 == 1, v = 0). Пусть Ft, F,i, Fj) — проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль предыдущие уравнения приведутся в этом случае к виду [c.261]

В заключение заметим еще, что иногда бывает целесообразным проектировать основное уравнение (13) не на неподвижные декартовы оси, а на ребра главного триэдра (подвижного) траектории как было указано в рубр. 76 гл. I, эти три ребра определяются версорами п, Ь (касательная, главная нормаль, бинормаль). Принимая во внимание известные выражения для компонент касательного и центростремительного ускорений (II, рубр. 27), получим, таким образом, так называемые внутренние уравнения движения [c.329]

Теорема Эйлера-Савари была обобщена М. Дистели [51] для произвольного пространственного движения тела. Так как этим автором был применен классический метод дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей с помощью декартовых координат, то решение получилось весьма громоздкое — с результатом в виде двух уравнений. В работе Д. Н. Зейлигера [21] приведена формула Эйлера-Савари для пространственного движения тела, хотя и в неполном варианте, но зато выраженная в комплексном виде. Ниже будет дана полная формулировка теоремы Эйлера-Савари с формулой наиболее общего вида. Эта теорема устанавливает связь комплексных углов между бинормалями и общей образующей аксоидов с комплексными углами между бинормалями [c.162]

Криволинейное движение точки, как известно из 64, может быть онределено или уравнениями движения в декартовых координатах, или траекторией и законом движения s = f t) по этой траектории. В том случае, когда движение точки определено первым способом, ускорение w находится по его проекциям на декартовы координатные оси, как это рассмотрено в предыдущем параграфе. Когда же движение точки определено вторым способом, ускорение W находится по его проекциям на оси, нанравления которых связаны с данной траекторией, а именно на касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Но, прежде чем переходить к выводу формул для проекций ускорения на эти оси, необходимо рассмотреть некоторые геометрические понятия. [c.261]

Предположим, что уравнение поверхности, на которой вынуждена оставаться материальная точка, не сод,ержит явно времени. Точка т в своем движении по поверхности опишет некоторую траекторию, полностью расположенную на этой поверхности. Рассматривая уравнения движения в проекциях на естественные оси координат (рис. 165), замечаем, что касательная к траектории будет расположена в касательной плоскости к поверхности, а нормальная реакция будет давать проекции только на нормаль и бинормаль [c.271]

Случай 2. Положим, что после перехода осн кольца в кривую двоякой кривизны вектор интенсивности нагрузки Р, направлен по главной нормали к искривленной оси кольца, т. е. совпадает с направлением оси х (фиг. 653). Очевидно, что в этом случае проекция вектора Р на бинормаль (ось у) обращается в ноль. Тогда дифференциальное уравнение (210) для углового перемещения т принимает следуюпхий вид [c.915]

Займемся геометрией задачи в общем случае (рис. 4,14), Очевидно, геометрия краевой волны определяется только формой кромки, а не формой граней. Кромку будем задавать ее уравнением г=Го(ст) через т(о), п(о) и Ь(ст) обозначим касательную, нормаль и бинормаль к кромке в точке Л (о) т а)=йго/с/ст п(ст) = Rdxlda Ь(о) = [х(о), п(ст)] R — радиус кривизны кромки). [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...