Свойства функций максимума

Свойства функций максимума [c.232]

Рассмотрим основные свойства функций максимума (П.22), которую можно переписать в виде [c.232]

Проанализируем свойства функции 1 г). Поскольку профиль скорости жидкости имеет максимум, превышающий по значению ь о, а градиент скорости на осп трубы равен нулю, имеем [c.218]

Специфическим свойством функции q z,P), определяющим характер процесса изнашивания, является её немонотонность (наличие максимума на глубине = г/а = 0,48). Эта функция удовлетворяет также условию lim q(z, Р) = 0. [c.330]

Для лазерных пучков функция яркости в каждой точке пространства является остронаправленной, сконцентрированной вблизи некоторого направления максимального значения. Будем считать, что это свойство — наличие максимума яркости — сохраняется и при распространении пучка в нелинейной среде. Пусть [c.92]

Отметим еще одно интересное свойство функции Н в установившемся движении вязкой жидкости максимум Н достигается на границе области течения. Для доказательства этого утверждения заметим, что в силу уравнения (68.4) имеют место следующие соотношения [c.248]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления, или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота или других объектов) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошен- [c.141]

В данной главе с позиций свойств функции минимума приводятся необходимые и достаточные условия максимина, рассматриваются алгоритмы нахождения направления наискорейшего подъема и алгоритмы поиска экстремального значения функции минимума. При этом под максимином функции минимума понимается ее глобальный максимум. [c.165]

Сущность оптимизации при выбранной комплексной целевой функции сводится к отысканию при наложенных ограничениях таких значений параметров механизма, которые дают максимум (минимум) целевой функции, характеризующей комплексную эффективность проектируемой машины. При этом используются математические методы оптимизации, позволяющие осуществить непрерывный поиск направления улучшения внутренних параметров механизма за счет количественного изменения их значений. Так как комплексная целевая функция, получаемая сверткой векторных критериев, определяется неявным образом от внутренних параметров синтеза, что не позволяет оценить ее свойства (выпуклость, вогнутость и т. д.), то решение задач оптимизации ведется с помощью поисковых методов, получивших название методов математического программирования. В настоящее время нет экономичного, универсального метода, дающего высокую гарантию получения наилучшей совокупности внутренних параметров машины и механизма, пригодного для решения любой задачи оптимизации. В зависимости от класса решаемых задач из имеющихся в наличии программ, входящих в программное обеспечение методов оптимизации, выбирают такую, которая дает наиболее высокую вероятность отыскания оптимальной совокупности определяемых параметров с наименьшими затратами машинного времени. [c.316]

На примере стержня эллиптического сечения мы убедились в том, что касательное напряжение достигает максимума в точке, принадлежащей контуру сечения. Если решение представлено в виде ряда, как например для прямоугольного сечения, то сделать подобное заключение, основываясь непосредственно на анализе найденного решения, затруднительно. Однако, опираясь на известные свойства гармонических функций, можно доказать, что величина касательного напряжения не может принимать максимального [c.304]

Пусть —область, в которой функция р х, у, г) гармонична пользуясь свойством (12.11), легко показать, что функция ф не может достигать ни максимума, ни минимума внутри области 3). [c.162]

Чтобы доказать свойство (6.5.6), продифференцируем (6.5.2) по v и положим v=l. Нетрудно убедиться, что g[ (Я, 1)=0. Следовательно, функция g %, v) достигает экстремума при v—1. В 6.3 было показано, что этот экстремум является максимумом. Из (6.5.2) находим [c.272]

При т > о и 4 = 00, когда решения уравнения (3) автомодельны, имеется набор собственных функций, число которых зависит от ш, отличных от нуля во всем интервале значений ж. Первая собственная функция имеет один центральный максимум, следующие содержат увеличивающееся с номером функции число локальных максимумов. Так как ш > О, то эти функции соответствуют фокусирующимся к центру профилям температуры. Это приводит к сокращению со временем зоны эффективного нагревания, т.е. например, зоны, где температура превышает половину максимальной. Анализ размерностей показывает, что в этом случае также имеется резонансная длина возбуждения горения, которая зависит от максимальной температуры начального возмущения Тош, не только от свойств среды [c.149]

Основной задачей при анализе потока статистически независимых воздействий является отыскание закона распределения его наибольшего значения (абсолютного максимума) в функции времени реализации процесса. Существование этого закона распределения обусловлено тем свойством случайных процессов, что их единичная реализация имеет такое наибольшее значение (абсолютный максимум), которое может оказаться другим в Другой единичной реализации этого же процесса. [c.104]

В последнем равенстве использовано свойство суммы убывающей геометрической прогрессии. Соотношение (4.7) полностью решает задачу об определении функции распределения абсолютного максимума для потоков статистически независимых воздействий. [c.108]

Решение (х, у) уравнений (б) называется стационарной точкой, а значение функции г в этой точке называется стационарным значением. Для ответа на вопрос, является стационарная точка точкой минимума, максимума или седловой точкой, необходимо исследовать свойства d f. Отметим, что если неравенство [c.452]

Свойство экстремального значения, являющегося абсолютным минимумом функции (9), быть абсолютным максимумом функции (26) доказывается следующим образом. Первоначальная задача состояла в нахождении минимального значения Zmm на кривой С. Теперь, задаваясь произвольным значением И, из (14) получим поверхность, которая будет соответствовать этому значению Я,. Координаты стационарной точки и минимальное значение на этой поверхности найдем из уравнений (25) и (26) соответственно. Так как эта поверхность содержит кривую С, то для любого значения А. имеем [c.456]

В третьей строке табл. 6.4 приведен результат, полученный для руг = 30 МПа. В точке оптимума активны как ограничения устойчивости, так и ограничения прочности. Сравнение проектов 1 и 3 показывает их существенное отличие в значениях структурных параметров при незначительном (- 3%) отличии в значениях /г, т. е. массы оболочек. Этот результат является следствием того, что функция дв х) имеет на О весьма пологий максимум. Расщирение множества 5 эквивалентных оптимальных структур оболочки для проекта 3 по сравнению с проектом 1 (ср. интервалы 0 ]) является следствием смещения под влиянием ограничений на прочность оптимальных значений ОСП в область нулевых значений, т. е. в направлении от границ множества 5 (см. рис. 4.4). Из определения множества 5, однако, с очевидностью следует, что его внутренним точкам по сравнению с граничными точками соответствует большее число эквивалентных по А структур армирования слоистого композита, что и объясняет указанное качественное отличие свойств полученных обобщенных модельных решений. [c.268]

С появлением первой распространяющейся гармоники в щели дифракционные свойства решетки существенно изменяются. В случае 0 > 0,5 и Хкр< > < 1 при достаточно больших h коэффициент Ь как функция от X имеет максимумы и минимумы (рис. 44, а). В грубом приближении можно считать, что для поля внутри щели брусья решетки представляют собой стенки волновода и коэффициент прохождения о имеет максимумы при тех значениях параметра х, при которых толщина брусьев 2h близка к целому числу полуволн в волноводе, образованном брусьями решетки. Это верно в данном случае лишь для первых максимумов Щ, появляющихся сразу после х = x p при очень больших h > I. Последующие максимумы начинают сильно смещаться влево по сравнению с расчетными точками [c.92]

В приложение к книге вынесены математические преобразования, встречающиеся при определении параметров математических моделей волноводных АР, краткое изложение свойств функции максимума, используемой при оптимизации АФАР по минимаксному критерию, а также программа расчета токов излучателей методом эвристического квазиобращения. [c.8]

Точки Уь 02, Уз являются точка-ми разрыва производной от функции максимума по переменной V. Отмеченное свойство функций максимума затрудняет их минимизацию, требует применения для решения этой задачи специальных методов. В этой связи построение эффективных точек с помощью функций (5.15) особенно выгодно в том случае, когда gi ) являются недифференцируемыми функциями V. Такие функции ((у) появляются, например, при решении задачи чебышевской аппроксимации. [c.138]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

Если F = onst, то согласно (2.4) может быть сформулировано следующее свойство локального максимума функции W развитие полости происходит в случае, когда изменение упругой энергии тела при вариациях ее объема достигает некоторого максимального значения. [c.356]

Действительно, из общих свойств функций Бесселя известно, что / (г) при 2 я достигает максимума вблизи точки п = 2 + 0,8г /з. Toгдa нетрудно, заметить что /2v(2vP) достигает максимума вблизи точки 2v=2vP + 0,8(2vP) 3, откуда следует, что 2v (1—P) v (i—р2) 0,8,-2 / или — [c.112]

Характерным свойством фотоядерных реакций является специфический вид функции возбуждения (рис. 89) с очень широким максимумом при энергии 15—20 Мэе. Необычайно большая ширина и положение максимума исключают возможность его истолкования как обычного резонансного максимума, связанного с определенным энергетическим уровнем возбуждения. В 1945 г. советским физиком А. Б. Мигдалом для объяснения этого максимума был предложен механизм дипольного поглощения ядрами 7-фотонов. Ядро состоит [c.290]

Что касается предсказания прочности композита по данным о прочности его компонент, результаты многочисленных работ разных авторов привели пока к результатам в общем негативным. Теория пучка, изложенная в 20.4, даст лишь материал для ориентировочных суждений, уточнение этой теории требует исчерпывающей статистической информации не только о прочности моноволокон, но и о распределении модуля упругости. Распределение Вейсбулла не описывает достаточно точным о(эразом распределение прочности моноволокон, фактически распределение оказывается бимодальным, т. е. функция имеет два максимума. Поэтому экстраполяция прочности на малые разрывные длины, основанная на распределении Вейсбулла, совершенно ненадежна. Определение неэффективной длины в большой мере условно. Поэтому здесь будут изложены лишь некоторые наполовину качественные соображения, принадлежащие Милейко и позволяющие объяснить наблюдаемое изменение прочности и характера разрушения композита в зависимости от объемного содержания волокна. В некоторых случаях эти соображения подсказывают меры, необходимые для улучшения свойств композита. [c.700]

Задачи такого рода называются поиском экстремума (максимума или минимума функции), и некоторые способы их решения широко известны. Сложность заключается в том, что функция эффективности S a (w) в рассматриваемой задаче обладает свойствами, при которых общеизвестные способы отыскания минимума неприменимы или невыгодны. Поэтому, прежде чем перейти к практическим примерам, необходимо хотя бы коротко остановиться на довольно разнообразных по процедуре и очень различных по эффективности методах отыскания экстремума одномерной функции. Прежде всего назовем две особенности функции эффективности (со). Первая особенность состоит в том, что хотя показатель эффективности (со) является дифференцируемой функцией, его нельзя представить в таком виде, при котором вычисление производных методами анализа практически возможно. Вторая особенность заключается в одноэкстремаль- -ности функции Son ( ). когда, фигурально выражаясь, на ее [c.149]

Теплообмен в области сверхкритических давлений имеет ряд отличительных особенностей, которые в основном вызваны значительным немонотонным изменением физических свойств при температурах, близких к критической 7кр или псевдокритическим Тт. Химически реагирующие вещества имеют более сложные зависимости свойств от Г и Р в связи с существенным влиянием химических реакций, особенно на теплоемкость и теплопроводность. Химически инертные вещества в области псевдокритической температуры имеют максимальную вязкость и теплоемкость с последующим монотонным снижением. Четырехокиси азота свойственны своеобразные графики pe=f(P, Т) и %e = f(P, Т). В области температур, соответствующих протеканию первой стадии реакции диссоциации, наблюдается первый максимум значений Сре и Яе, второй- максимум функции, менее выраженный для Сре, соответствует диапазону температур реакции 2N02 2N0+02. [c.72]

При торможении по пути ни одна из форм, показанных на табл. 1, не дает точного воспроизведения функций (8), у которых вогнутость обращена вниз. Аналогичным свойством обладают осуществляемые функции при коническом золотнике (форма 5) и при дисковых канавках (форма 6). Поэтому формы 5 н 6 дают лучшее приближение к закону постоянного ускорения, чем формы 2 или 3 и тем более форма 4. Формы 2, 3 и 4 при торможении по пути и г = onst более пригодны для осуществления законов, при которых модуль ускорения в начальной стадии (при подходе кромки золотника к выступу втулки) быстро возрастает до какой-либо величины, затем на некоторой части хода увеличивается более медленно до максимума, а потом до конца хода монотонно убывает. [c.303]

Другой подход к упорядочению оценивающих процедур основан на понятии функции потерь. Процедура, минимизирующая полные средние потери от принятия решения, соответствующие некоторой априорной плотности распределения неизвестного, считающегося случайным, параметра, называется байесовой. При отсутствии априорной информации относительно распределения оцениваемого показателя возможен подход, основанный на расстоянии максимума функции риска в качестве критерия эффективности. Тогда из двух оценок предпочтительнее та, которой соответствует меньший максимум. Оптимальными процедурами в этом случае считаются те, которые минимизируют максимальный риск, т.е. обладают минимаксным свойством. Так как максимум оценивает самые тяжелые (в среднем) потери, минимаксное оценивание, по сравнению с другими, дает самую надежную защиту от больших потерь, не учитывая насколько реально возможны значения показателя, приводящие к этим максимальным потерям. [c.499]

Очень важным следствием из теории А. И. Леонова является возможность расчета релаксационного спектра по кривым течения. В частности, из этой теории вытекает, что определение точки перегиба на кривой зависимости (Ig 7) позволяет легко найти максимум релаксационной функции N (s), где N — функция распределения частот релаксации (величин обратных временам релаксации), так как у = as, причем а — постоянный коэффициент. Можно легко показать, что N (s) = — (as) т) (as), где (as) — первая производная вязкости по релаксационной частоте. Точка перегиба на кривой (Ig у) отвечает условию dN/ds = 0. Также просто находится время / после начала опыта в условиях у = = onst, когда наступает интенсивное разрушение структуры материалов. Оказывается, что / = а/у. Следовательно, в согласии с опытными данными возрастание скорости деформации приводит к быстрому уменьшению времени достижения максимума на кривых т (/) при у — onst. Рассматриваемая теория позволяет определить достижение максимума функции xjxy = / (у) и многие другие важные реологические характеристики материалов. Отсюда следует, что измерение вязкости у материалов с неньютоновским поведением важно отнюдь не только для расчета процессов их течения, но имеет фундаментальное значение для характеристики их реологических свойств. [c.125]

Мы можем получить добавочные соотногаения между неизвестными функциями, если предположим, что среда находится в термодинамическом равновесии, т.е. если она имеет одинаковую во всех точках температуру, совпадаюгцую с температурой ограничиваюгцих среду стенок. Как известно, энтропия системы в случае термодинамического равновесия достигает максимума. Что касается интенсивности излучения 7 , то она обладает в этом состоянии особо простыми свойствами [c.303]

Условия разрешимости обгцей краевой задачи, включаюгцей отражение на внешних границах, найдены в [49]. В [50, 51] проведены также исследования локальных свойств решения уравнения переноса установлен принцип максимума, описаны области непрерывности и гладкости решения и интеграла столкновений, выявлены особенности этих функций у поверхностей разрыва коэффициентов и функций, описываюгцих источники излучения, и в окрестности лучей, касательных к этим поверхностям. [c.775]

Пример 5.14. Для модельного примера рассмотрим случай, когда все свойства системы включены в один параметр — математиче ское ожидание срока службы Пусть распределение срока службь аппроксимировано нормальным рас пределением с математическим ожи данием Тс и средним квадрати ческим значением Oj < Тс, а на чальная стоимость и функция потерь зависят только от Тс- Задача состоит в том, чтобы найти Тс. при которых функция / Т, Тс) имеет максимум. На рис. 5.17 приведены результаты вычислений при С L = п (0,6+ -= [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...