Переход к стохастическим моделям

Переход к стохастическим моделям [c.301]

Выражение (2) пригодно для описания баланса энергии усредненного потока, когда проявление турбулентности учитывается рассмотрением в составляющих баланса во входном в — б) и выходном (О — 0) сечениях патрубка только усредненной энергии турбулентных пульсаций. Переход к стохастической квазистационарной модели, учитывающей не только усредненные характеристики составляющих баланса, но и их отклонение от среднего значения, состоит в вероятностно-статистической интерпретации [c.100]

Чтобы перейти от формулы (5.109) к (5.110), область М следует разбить на малые части А/И, использовать формулу (5.109) для каждой подобласти и совершить предельный переход А/И ->0. Аналогичные вычисления были приведены в 4 2. и далее применительно к стохастическим моделям разрушения. [c.195]

Для двух моделей композиционных сред установлены условия перехода к детерминированному хаосу в распространении траектории трещины. Работа посвящена прогнозированию распространения трещины в неоднородных средах. Для композита с кусочно постоянными свойствами переход происходит по типу перекрытия резонансов, для периодически неоднородной среды — по типу стохастического аттрактора [5. [c.372]

Из (23), (24), (26) следует, что координаты точек поверхностного луча удовлетворяют нелинейным уравнениям с переменными коэффициентами. Волноводный характер лучей и их устойчивость определяются конкретной моделью неоднородности. Возможно такое распределение неоднородности, что поведение луча в детерминированной среде становится стохастическим и необходимо переходить к вероятностному описанию волнового процесса. [c.808]

Мы рассмотрели несколько характерных и сравнительно простых физических моделей, в которых можно установить условия перехода от динамического к стохастическому движению. Эти модели позволяют представить себе в очень слабом приближении, с чем должно быть связано возникновение локальной неустойчивости. Мы выделили особую роль сильного изменения фазы колебаний в процессе перемешивания траекторий. [c.74]

Наиболее интересное явление, описываемое стохастическими моделями, — это случайные переходы между различными стационарными режимами. Такой эффект принципиально невозможен в детерминистской динамике. Даже если они и обладают несколькими стационарными состояниями, их эволюция (в смысле динамики численности) однозначно определяется начальными условиями. При этом на достаточно длительном отрезке времени численность оказывается (и остается далее) вблизи устойчивого равновесного значения или предельного цикла. Совсем иная картина наблюдается, если система находится в случайной среде. Внешние флуктуации (а для популяций и сообществ - и случайные отклонения в интенсивности внутри- и межвидовых отношений) постоянно выводят систему из равновесных режимов, а иногда и из областей их притяжения. Таким образом, на больших временных интервалах существенную роль продолжает играть структура всей системы, что представляет собой действительно динамическое равновесие системы с окружающей средой. В этом случае важнейшей характеристикой сообщества или популяции становится вероятность попасть в условия, ведущие к вырождению. В свою очередь, вероятность и характерное (среднее) время пребывания сообщества в областях устойчивых режимов могут служить мерой устойчивости данного сообщества по отношению к случайным воздействиям. [c.353]

Функция Грина (3.120) не только обладает свойством гладкого убывания до нуля при приближении к своему фронту, но, с учетом (3.113), дает возможность для достаточно удобного теоретического и численного исследования решений уравнения (3.33) или (3.38) при постановке различных начальных и граничных задач. Интегральное представление (3.120) совместно с (3.113) является математически точным представлением рещения фундаментальной задачи Коши (3.78)-(3.79) для этих уравнений, поэтому вопрос о математической точности этих выражений не стоит, а точность и скорость численных вычислений по этим формулам определяется только точностью и скоростью примененного метода численного интегрирования. Вопрос о границах применимости самого уравнения (3.33) для описания физических процессов, определяется наличием у физических систем фрактальных стохастических самоподобных свойств, границы диапазона масштабов самоподобия которых достаточно широко охватывают, например, полосу длин волн в спектре переходных волн, распространение которых мы описываем с помощью этого уравнения. В случае если спектр переходных волн приближается (или переходит) к нижней или верхней границам диапазона масштабов самоподобия фрактальной структуры, определяющей закон дисперсии волн данного типа в рассматриваемой системе, следует перейти к использованию других моделей описания этого процесса, в частности, можно воспользоваться другими уравнениями, из предложенных в Главе 1 данной части книги. [c.173]

Переход к стохастическим моделям сообществ нетрудно осу ществить, вводя случайный шум непосредственно в коэффициенты исходных уравнений. Например, если считать, что флуктуациям подвержена матрица взаимодействия + ст,у , то легко по- [c.344]

Принцип стохастнческого детермииязма. Гарантии в условиях случайных воздействий обеспечивают, используя устойчивость результатов массовых случайных явлений. Обидае формы такой устойчивости нашли свое выражение в законе больших чисел и предельных теоремах теории вероятностей. Явление это названо стохастическим детерминизмом. Явление стохастического детерминизма во многих случаях облегчает построение и изучение моделей сложных массовых явлений, позволяя легко учитывать или пренебрегать, когда это допустимо, элементом случайности. Так, при исследовании вещества от стохастических моделей на молекулярном уровне переходят к детерминированным характеристикам (например, плотности и давлению) на макроуровне. [c.490]

Другая подходящая для наших целей модель содержит 4-вектор, не преобразующийся при переходе к другой системе отсчета по обычному векторному закону, а остающийся неизменным. Именно по этой причине здесь меняется и кинематика, в частности соотношение между сечениями в разных системах отсчета (см. серию работ Ингрэхема [6], где рассматривалась конкретная схема стохастического пространства-времени). Систематическое рассмотрение обобщенного варианта релятивистской теории, содержащего 4-вектор, и его возможных приложений к физике космических лучей сверхвысоких энергий и составляет содержание настоящей работы. [c.162]

Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема Хенон и Хейлес 188] обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии Н = Е происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего интеграла. Форд и др, [136] исследовали численно гамильтониан Тоды Н, ожидая получить такой же результат. Каково же было их удивление, когда они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной энергии Н = Е, т. е. все пересечения траектории с поверхностью х = О ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для значений Е = я Е = = 256. Эти результаты резко расходятся с данными следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона—Хейлеса траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до такой низкой энергии, как Е = 1/8. Это различие связано, конечно, с тем, что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон [186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла [c.54]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Рис. 22.21. Переход к стохастичности через перемежаемость а — осциллограмма стохастических колебаний, возникающих непосредственно после перехода к стохастичности б — модельное одномерное отображение, соответствующее предтурбулентному режиму (г > Гкр) в — отображение при г > Гкр г — отображение, соответствующее модели Лоренца при г = 166,2

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере ] элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр сглаживается ). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник при дальнейшем движении вниз по потоку этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса. [c.527]

Одпако для ряда стохастических уравнений и для некоторых конкретных типов случайных процессов удается построить замк-нутое описание таких задач и без перехода к дельта-коррелированному приближению. Это позволяет проследить, во-первых, влияние радиуса корреляции на динамику системы и, во-вторых, влияние самой модели флуктуирующих параметров на статистические характеристики решения задачи. Подобные вопросы будут рассмотрены в следующей главе. [c.112]

Наиболее распространенная процедура получения стохастических моделей в математической экологии заключается в переходе от нелинейных детерминистских моделей к моделям, в которых случайные возмущения входят линейно. Результаты анализа этих особенностей показывают, что приближение случайных возмущений б-коррелированными процессами, с одной стороны, позволяет широко использовать хорошо развитый аппарат, а с другой - ограничено случаями, когда характерное время корреляции возмущений значительно меньше собственного времени системы (популяции как биологического сообщества). Применение схемы Стратоновича является тем более предпочтительным, чем более процесс отличается от марковского, т.е. чем более существенным фактором является последействие. [c.352]

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел-). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651). [c.16]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...