Проецирование точки и прямой линии

Глава V. Проецирование точки и прямой линии [c.7]

Задания И...18 освещают особенности проецирования точек и прямых линий, а также их относительного расположения. [c.7]

На рис. 7 даны две пересекающиеся в точке Е прямые линии — АВ и D. Построим при заданном направлении проецирования [c.13]

Одна проекция точки определяет ее положение в пространстве, если известен центр (направление) проецирования и прямая линия или плоскость, которой инцидентна точка. [c.13]

Родственное преобразование отсека эллиптического параболоида в отсек параболоида вращения показано на рис. 286. При данном расположении фигуры ее горизонтальной проекцией является эллипс. Расположим окружность диаметром = 2 2 так, чтобы она была в проекционной связи с фронтальной проекцией параболоида. Возьмем на эллипсе произвольную точку ), и, проведя линию связи, отметим родственную ей точку О, на окружности. Аналогично построим точки С,, Е, и f родственные соответственно точкам С,, Е, и f Проведя прямые 1 ] и ,Р,, отметим точку их пересечения. Найдем точку 2, пересечения прямых и 0)С,. Через точки У, и 2, проходит прямая Е,—горизонтальная проекция плоскости родства I. Теперь родство задано плоскостью родства I и парой родственных точек, например О и Д т. е. Я (5 I О О). Направление преобразования перпендикулярно П2 и совпадает с направлением проецирования, поэтому фронтальные проекции параболоидов данного и преобразованного совпадают. Горизонтальной проекцией отсека преобразованного параболоида является круг диаметра А, В,.. [c.103]

При прямоугольном проецировании проецирующая прямая совпадает с направлением плоскости проекций и проецируется на эту плоскость в точку. Прямая линия, направление которой совпадает с направлением горизонтальной плоскости проекций, т. е. прямая линия, перпендикулярная к горизонтальной шюскости проекций Н, называется горизонтально-проецирующей. [c.32]

Во вспомогательном проецировании при решении позиционных задач наибольшее значение имеет косоугольное проецирование. Здесь центр проецирования в заданном направлении удален в бесконечность. Направление проецирования выбирают в зависимости от преобразования чертежа в большинстве случаев, когда на дополнительную плоскость проекций прямые проецируются в точки, плоскости — в прямые линии, т. е. прямые линии и плоские фигуры представляются вырожденными проекциями. [c.96]

Проецирование точки пространства на плоскость можно выполнять линией (прямой) И.ЛИ поверхностью (плоскостью). В первом случае точка проецируется на плоскость в точку (рис. 1.1, а) или в точки (рис. 1.1, б). [c.10]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

В дальнейшем изложении курса определенную роль будут играть точки, прямые линии и плоскость, бесконечно удаленные от нас, называемые несобственными. Понятие о задании этих элементов, их свойствах и проецировании поможет в будущем упростить некоторые доказательства или даже отказаться от них, сделать ряд обобщений. [c.9]

Все прямые, проецирующие точки А, В, С,. .. данной прямой I (рис. 2), лежат в одной плоскости, проходящей через прямую I и параллельной направлению проецирования s. Эта плоскость, называемая проецирующей плоскостью, пересекает плоскость проекций П по прямой линии которая, согласно определению проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек, и является проекцией данной прямой. Это свойство будем называть свойством прямолинейности. [c.13]

Построим дополнительную проекцию цилиндрической поверхности и прямой I на поверхность Г основания цилиндрической поверхности, приняв за направление проецирования образующие цилиндрической поверхности. Тогда цилиндрическая поверхность спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая I — в прямую I. Если теперь отметить точки и N1 пересечения проекции с горизонтальной проекцией линии основания, то основные проекции М1, Л/1 и М2, можно будет найти при помощи обратного проецирования. [c.169]

В этом случае, применив дополнительное параллельное проецирование по направлению s боковых ребер призматической поверхности, строим две дополнительные проекции S и S" вершины 5 конической поверхности соответственно на плоскостях 0 и Л. Далее находим прямую к пересечения плоскостей. Тогда, проведя на плоскости Л дополнительные проекции S"—7 и S"—2 двух произвольных образующих S—I и S—2 конической поверхности, легко найти с помощью точки 3 прямой к дополнительные проекции этих образующих на плоскости . Отметив точки А = В и =D пересечения этих проекций со следом призматической поверхности и проведя через них обратные лучи, получим на образующих S—1 и S—2 точки А, , С и D, принадлежащие искомой линии пересечения. Таким же образом могут быть построены и другие точки этой линии и в первую очередь — опорные точки. [c.188]

Чертежи строят на основе метода проекций. Пусть даны точка S - центр проецирования, некоторые точки А и В, задающие отрезок, и плоскость проекций (рис. 1.1а). Если из точки 5 через точки А и В провести прямые линии, называемые проецирующими, до пересечения с плоскостью проекций П,, на плоскости в точках пересечения получим проекции точек Л, и В,. Соединяющая их линия -проекция отрезка АВ. Полученные здесь проекции называют центральными (их используют для построения изображений, именуемых перспективными). Если представить, что центр проецирования 5 находится в бесконечности, проецирующие линии будут параллельными, и проецирование в этом слз ае будет называться параллельным. [c.20]

Теорема Егера. Для центрального и параллельного проецирования характерна прямолинейность проецирующих линий. Проецирующие прямые в своей совокупности образуют множества, называемые связками. Общим для всех прямых, входящих в связку, является центр связки. В случае центрального проецирования центр связки — точка 5, при параллельном проецировании — несобственная точка S . Это условие реализуется заданием направления проецирования — вектора s. [c.12]

На плоскости (рис. 27, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например, р, А - А. Линия связи А-А указывает направление родства. Если задать точку В, то легко найти точку В, и наоборот (это можно проследить по рис. 27, б). [c.39]

На рис. 2 изображена операция параллельного проецирования отрезка АВ. Проецирующие линии всех точек этого отрезка лежат в одной (проецирующей) плоскости. Поэтому проекцией отрезка АВ является отрезок А В прямой линии. Это свойство общее для центральной и параллельной проекций. [c.8]

Проецирование отрезка прямой на две и на три плоскости проекций. Отрезок прямой определяется двумя концевыми точками. Проекция же отрезка прямой определяется проекциями двух концевых точек. Поэтому проецирование отрезка прямой линии сводится к построению проекций концевых его точек (рис. 328). Чертеж в трех проекциях отрезка прямой АВ показан на [c.181]

Для получения центральных проекций центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекций — точкой, не лежащей в этой плоскости (рис. 1 плоскость Р и точка 5). Взяв некоторую точку А и проведя через 5и Л прямую линию до [c.10]

Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей). [c.11]

Если между плоскостями Т и Р в пространстве было установлено родственное соответствие, то и после совмещения этих плоскостей (рис. 485) между их точками, прямыми и фигурами будет также иметь место родственное соответствие, по своим свойствам совпадающее со свойствами родства, установленного при параллельном проецировании. Действительно, в обоих случаях прямой линии соответствует прямая, точке на одной из прямых соответствует определенная [c.357]

Рассматривая рис. 91—94, убеждаемся в справедливости второго свойства параллельного проецирования (см. 17) и для ортогональных проекций. Действительно, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и имеют линии связи, перпендикулярные к соответствующим осям проекций. Справедливым является и обратное утверждение если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, то и сама точка принадлежит изображенной прямой. Об этом судим по проекциям конечных точек отрезков. [c.90]

Все проецирующие прямые при заданном направлении проецирования 5, проходящие через некоторые точки А, В, С прямой к фис. 3.16), лежат в одной плоскости. Такую плоскость называют проецирующей. Линия пересечения двух плоскостей всегда прямая, следовательно, и в данном примере проецирующая плоскость пересекает плоскость проекций П по прямой линии. Поэтому проекцией прямой к на плоскость П является прямая к. В частном случае, когда прямая является проецирующей, ее проекцией будет точка (рис. 3.16, прямая /). [c.75]

Так как аксонометрическое изображение получается в результате параллельного проецирования предмета на плоскость аксонометрических проекций, то оно обладает следующим свойством прямые линии и плоские фигуры, параллельные между собой в пространстве, изображаются параллельными и в аксонометрии. [c.48]

Построение теней в перспективе и в аксонометрии имеет много общего. Так же, как и в аксонометрии, для построения теней в перспективе необходимо иметь две проекции-перспективу луча и вторичную ее проекцию. Но поскольку в основе перспективы-центральное проецирование, а не параллельное, то лучевые прямые, а также их проекции, параллельные в пространстве, имеют в перспективе свои точки схода. При этом точки схода вторичных проекций лучей находятся на линии горизонта, так как источник света (солнце) считается удаленным в бесконечность. [c.255]

Остановимся подробнее на определении положения в пространстве прямой линии. Прямая может быть задана не только двумя проекциями двух ее точек, но и двумя проекциями самой прямой. Пусть даны проекции а и а прямой а (рис. 20), построенные при направлениях проецирования 51 и 82 на плоскости П. Так как направления проецирования известны, достаточно через прямую а провести проецирующую плоскость параллельно 52, а через прямую а — проецирующую плоскость параллельно 51- Пересечением плоскостей будет искомая прямая. [c.19]

В некоторых случаях определить точку пересечения прямой с плоскостью удобно способом вспомогательного проецирования. Например, чтобы построить точку пересечения прямой ЕР с плоскостью и (рис. 179) приемом, описанным выше (см. /81/), нужно было бы заключить прямую в горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость. Но фронтальный (горизонтальный) след вспомогательной плоскости вышел бы за пределы чертежа. Поэтому линию пересечения плоскостей пришлось бы строить путем дополнительного сечения их горизонтальной или фронтальной плоскостью или используя родственное преобразование, как это было описано к рис. 168 и 169. Построения стали бы очень сложными. Самый простой способ решения задачи — способ вспомогательного проецирования. [c.109]

На практике закономерные линии иногда задаются уравнением или для них может, быть составлено уравнение линией п-го порядка называется линия, уравнение которой в системе декартовых координат является уравнением /1-й степени. Отсюда следует, что с прямой линией такая кривая может пересечься не более чем в п точках. Каркасные линии часто являются результатом опытных данных, которые позволяют установить расположение отдельных точек относительно неподвижной системы координатных осей. Остальные точки, как и сама линия, определяются эмпирически графические линии в основном используются в процессе проецирования, когда первоначально строятся проекции линий, удовлетворяющих каким-нибудь, например, эстетическим требованиям, а уже затем определяется положение самих линий в пространстве. Каркасные и графические линии, как правило, не подчинены известным математическим законам, поэтому являются незакономерными. [c.130]

Рассматривая крупные предметы, например здания, в натуре, мы, как должное, воспринимаем кажущуюся сходимость параллельных горизонтальных и наклонных линий. Так как аксонометрия строится на основе параллельного проецирования, при котором параллельные в натуре прямые изображаются также в виде параллельных прямых, то возникает несоответствие зрительного восприятия предмета в натуре его аксонометрическому изображению его следует в некоторой мере компенсировать. Чтобы понять, как это сделать, вспомним еще об одной особенности натурного восприятия предметов фигуры, расположенные в плоскостях, наклоненных к направлению взгляда зрителя, воспринимаются в глубину укороченными по сравнению с их действительной величиной (не следует смешивать описанное явление с осмысливанием формы фигуры в результате накопленного опыта мы иногда довольно точно устанавливаем форму и размеры фигуры, расположенной в плоскости, наклоненной к направлению взгляда, здесь же говорится только о видимой форме фигуры). Следовательно, нужно использовать такие виды аксонометрии, которые позволяют уменьшать на изображении размер фигур в направлении осей х л у. [c.347]

Соединив точки А и 5 прямой линией, называемой проецирующей прямой, отметим точку А ее пересечения с плоскостью П, Точка А является проекцией точки А на плоскости П, построенной из центра проецирования 5. Построения не изменятся, если центр проецирования будет расположен между плоскостью проекций и проецируемой точкой (точкой а). [c.6]

Разделим ребро тетраэдра ВС в той же пропорции, в какой точка Р пересечения диагоналей четырехугольника делит его диагональ ВС, получив при этом точку Е. Точкой О разделим ребро тетраэдра АО в той же пропорции, в какой точка Р делит диагональ четырехугольника АО. Соединив прямой линией точки Еи О, получим направление проецирования. Точки О и Е конкурирующие, поэтому их проекции на некоторой плоскости П совпадают. Ребро тетраэдра АО проецируется в отрезок А О, а ребро ВС — в отрезок В С. В силу /41/ СЕ -.ВЕ=С Е В Е =СР ВР. [c.178]

Метод центрального проецирования заключается в следующем выбирается произвольная точка О — центр или полюс проецирования и картинная плоскость К., на которой получается изображение (проекция). Для того чтобы получить проекции точек А, В, С, В, принадлежащих стрелке (рис. 75), надо соединить центр О с данными точками и продолжить прямые линии (проецирующие лучи) до пересечения с картинной плоскостью /С. Точки а, в, с, с1, полученные на картинной плоскости, называются проекциями точек А, В, С, О, а геометрическое место проекций всех точек предмета на картинную плоскость называется проекцией предмета. [c.58]

На рис. 78 изображены четыре куба, передняя грань которых расположена параллельно картинной плоскости. Ребра кубов, перпендикулярные к передней грани, изображаются в виде прямых, сходящихся в точке О (главная точка картины), находящейся на линии горизонта. Проекции граней куба, расположенных параллельно картинной плоскости, будут представлять собой квадраты, т. е. сохраняется параллельность сторон и прямые углы остаются прямыми. Такой способ проецирования называется фронтальной перспективой. Его часто применяют для изображения внутренних видов помещений. [c.59]

Проецирование можно производить параллельными прямыми. Зададим плоскость проекций л и какое-либо направление б (черт. 2). Проведем через данные точки А, В, С,... проецируюи ие прямые линии, параллельн()1е направлению з, н найдем точки пересечения прямых с плоскостью п -проекции А, В, С, . .. данных. точек. Их называют параллельными проекциями точек А, В, С,. .. Можно считать, что параллельные проекции получены проецированием из бесконечно удаленной точки 5 пространства, находящейся в направлении [c.4]

ГИИ с цилиндрическим колесом винтовой передачи с пересечением осей под углом, отличным от прямого) штрих-пунктирной линией в виде окружности, диаметр которой равен большему основанию начального конуса. То же колесо, проецируемое на плоскость, перпендикулярную к оси парного колеса, изображают в виде треугольника, верншна и основание которого получаются проецированием вершины и диаметра большего основания начального конуса (черт. 202). Такое изображение взамен ранее действовавшего (черт. 203), впервые установленного ОСТ/НКТП 7544 645, было единодушно принято при разработке рекомендации по стандартизации для стран—членов СЭВ, РС643—66. [c.122]

Проецирование заключается в проведении через каждую точку А, В С,. .. изображаемого объекта и выбранный рпределенным образом центр проекций S прямой линии (луча), называемой проецирующей (черт. I). Пересечение этой прямой с некоторой плоскостью проекций к дает точку, являющуюся проекцией данной точки. На плоскости проекций при этом каждой [c.4]

Установим связь между положением осей аксонометрии и показателями иск жения. Для этого на эпюре (черт. 354, а) зададим направление проецирования, про ведя прямую s(s, s ) через точку О, и какую-либо плоскость проекций Ла, перпендикулярную к )тому направлению. Плоскость Ла определим горизонталью h и фронталью f, лежащими соответственно в плоскостях Я и П2 (т. е. следами). Через прямую s пронедем плоскость а, перпендикулярную к горизонтали А, которая, очевидно, будет горизонтально проецирующей и пройдет через ось z, и плоскость р, перпендикулярную к фронтали f и проходящую через ось у. Отметим точки / и 2, в которых эти плоскости пересекают линии Ли/. [c.124]

В черчении широко используются положения начертательной геометрии, устанавлнваюш.ей методы построения изображении пространственных форм объектов ва плоскости. Изображения на плоскости получают, используя метод проекций. Процесс получения изображений (проекций) называют лроецироваиием. Проецирование заключается в проведении через соответствуюшле точки (Л и др.) изображаемого объекта и выбранный определенным образом центр проекций 5 прямых линий (лучей) SA и др., называемых проецирующими (рис. 1). Точка пересечения проецирующей прямой с некоторой плоскостью проекций даст точку А, являющуюся проекцией точки А. Так как изображаемый объект представляет некоторую совокупность точек, то проекцией объекта будет совокупность проекций всех его точек. [c.6]

Прямая линия, перпендикулярная плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны одноименным следам плоскости или соответствующим проекциям горизонтали и фронтали (рис. 32). На рис. 32, я показана прямая АВ, перпендикулярная плоскости Р, заданной следами. Проведем в плоскости Р через точку В горизонталь. На основе правила проецирования прямого угла (см. рис. 13, 4) угол, образованный перпендикуляром АВ и горизонталью, будет проецироваться на плоскости Я прямым (Labn = 90°). Аналогичный вывод можно сделать и в отношении фронтальной проекции перпендикуляра. [c.25]

Вспомогательное проецирование может быть центральным, параллельным (большей частью косоугольным) и криволинейным. В качестве плоскости проекций обычно принимается одна из плоскостей ортогональных проекций или плоскость биссектора 1 и IV углов пространства. При центральном проецировании на эпюре должен быть задан собственный центр проекций, при параллельном задается направление проецирования и, наконец, криволинейное проецирование определяется формой проецирующих линий и их расположением в пространстве. Рассмотрим первые два случая вспомогательного проецирования. Пусть требуется прямую 0(01 02) спроецировать из точки 5 на плоскость П1 (рис. 95). Возьмем на прямой произвольные точки Л и А и проведем через них проецирующие прямые и 8В до их пересечения с плоскостью П1 иначе говоря, построим горизонтальные следы проецирующих прямых. Соединив горизонтальные проекции следов —точки А н Вх — прямой линией, получим вспо. могательную центральную проекцию ах прямой а на плоскость Пх (см. /II/). [c.67]

Для решения задачи, приведенной на рис. 389, а, удобно воспользоваться вспомогательным центральным проецированием (рис. 389, б). Спроецируем коническую поверхность и кривую а (в пределах между точками А а В) на плоскость 2 Проекцией поверхности будет окружность, JIpoeкциeй кривой а — кривая 01. Эти линии пересекаются в точках К1 и М1. Проведя через них проекции проецирующих прямых, построим точки и /И,, а затем Кг и Мг. [c.262]

Вспомогательное проецирование может быть центральным и параллельным. При центральном проецировании на эпюре должен быть задан собственный центр проецирования, при параллельном задается направление проецирования. В качестве плоскости проекций часто принимается одна из плоскостей ортогональных проекций. Пусть требуется прямую а (Oi 02) спроецировать из точки 5 на П, (рис. 100). Возьмем на прямой произвольные точки А и В и проведем через них проецирующие прямые SA и SB до пересечения с плоскостью П, иначе говоря, построим горизонтальные следь проецирующих прямых (см./64/). Соединив горизонтальные проекции следов — точки Л", и 5, — прямой линией, получим вспомогательную центральную проекцию а, прямой а на плоскости П]. Аналогично решается задача, когда проецирование параллельное (рис. 101). Оно задано направлением i(i, i2)- Плоскость П) в приведенных примерах становится носителем двух полей проекций П, и П(. [c.39]

Центральное проецирование заключается в следующем выбирается произвольная точка О — центр или полюс проецирования и картинная плоскость К, на которой получается изображение (проекция). Для того чтобы получить проекцип точек Л, В, С, О, принадлежащих стрелке (рис. 89), надо соединить центр О с данными точками и продолжить прямые линии (проецирующие лучи) [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...