Инвариантная квадратичная форма

Новая точка зрения, согласно которой эквивалентность систем отсчета требует инвариантности квадратичной формы [c.342]

Преобразования Лоренца. Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются преобразованиями Лоренца . Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами = ix, Xj = iy, x = iz, Xi = t. Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму [c.344]

Оно выполняется, если коэффициенты формы преобразуются по закону (1.3.6), а ее переменные — по (1.1.6). Это позволяет дать третье определение тензора второго ранга как величины, задаваемой матрицей 3 s ll коэффициентов инвариантной билинейной формы. Коэффициентами инвариантной квадратичной формы задается симметричный тензор второго ранга. [c.808]

Добавим к сказанному, что для рассмотренного выше четырехмерного континуума с инвариантной квадратичной формой (П2.1), т. ч. [c.431]

Свойство инвариантности квадратичной формы Q ( , т], О показывает, что компоненты напряжения Х ,. .., Xу суть компоненты (симметричного) тензора второго ранга ) этот тензор называется тензором напряжений. [c.26]

Формулы перехода можно получить из формул (1) 5, но мы предпочтем вывести их заново, пользуясь свойством инвариантности квадратичной формы Q (i, т ) (см. конец 5). Вспоминая известные формулы перехода от компонент вектора ( , tj) к компонентам ( , Г ) того же вектора относительно новой системы [c.33]

Инвариантная квадратичная форма, связанная с деформацией. Поверхность деформаций, главные оси. Замена координат. Формула (4 ) 12 может быть записана так [c.45]

В связи с этим отметим, что пятимерная группа Лоренца — группа линейных преобразований всех пяти координат, оставляющих инвариантными квадратичную форму [c.25]

Четвертый пример коэффициенты инвариантной квадратичной формы F =, где uj — компоненты векторного аргумента а и значение F не зависит от базиса. Из равенств F = fya ja j = F следует закон (2.1) для f . [c.12]

В этом равенстве содержится еще одно определение симметричного тензора второго ранга — физической величины, с помощью которой вектору а сопоставляется инвариантная квадратичная форма его компонент. Заданием квадратичной формы определяется только симметричная часть 8 тензора О, так как по (18) [c.428]

И назовем Д 5 пространственно-временным интервалом между рассматриваемыми событиями. Непосредственная проверка инвариантности квадратичной формы (2.5) по отношению к преобразованиям (1.2) не представляет каких-либо затруднений. Инвариантен, следовательно, и интервал Д 5. [c.259]

Инвариантность квадратичной формы (22.2) относительно преобразования Лоренца Л можно теперь записать следующим образом [c.242]

Инвариантная квадратичная форма [c.258]

Коэффициенты инвариантной квадратичной формы по компонентам вектора образуют симметричный тензор второго ранга. [c.65]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

Модель теории тонких оболочек, предложенная в настоящей работе, позволяет представлять НДС оболочки в виде двумерного потока в слое, ограниченном поверхностями (+Л —Л), а также вводить меньшую по сравнению с классической моделью ТТО степень усреднения компонент НДС. При этом становится возможным использовать действительно локальные свойства математической модели (ASi- 0), перейти к теории, рассматривающей третью квадратичную форму поверхности и упростить разрешающие уравнения, снизить их порядок, привести к инвариантному относительно преобразования координат виду. [c.42]

Конструирование торсовых тонкостенных оболочек предусматривает операцию построения их разверток. Задачи получения разверток торсов и их раскроя встают перед конструкторами на самых ранних этапах проектирования. Эти задачи могут быть реализованы как в графическом, графоаналитическом, так и аналитическом виде. При современном уровне развития ЭВМ в инженерной практике все большее значение приобретают аналитические методы решения. Как правило, способы получения выкройки изделия из тонкостенной торсовой оболочки основываются на свойстве инвариантности коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. На основании этого можно сформулировать следующие свойства [70] [c.111]

Имея в виду инвариантность кривизны ребра возврата (5.4) и коэффициента первой квадратичной формы поверхности В (4.24) вдоль линии ы=0, получаем систему двух уравнений для определения координат x=x s), y=y ,s) ребра возврата [170] [c.145]

Коэффициенты инвариантной относительно преобразования системы координат квадратичной формы по компонентам вектора образуют симметричный тензор (по одному из определений тензора) [c.72]

Установим некоторые простые следствия сформулированных постулатов. Рассмотрим вначале конкретные условия, налагаемые на коэффициенты квадратичной формы принципом инвариантности. [c.186]

Заметим теперь следующее. Величина N по нашему определению имеет непосредственный физический смысл и потому не должна зависеть от выбора осей координат. Так же точно величина (квадрат длины вектора) не зависит от выбора осей координат. Следовательно, квадратичная форма ( , т1, С) не должна зависеть от выбора осей координат т. е. должна быть инвариантной по отношению к преобразованию (прямоугольных, прямолинейных) координат. [c.25]

Г есть квадратичная форма переменных , т], С- Так как левая часть формулы (1), т. е. величина Р6Р, имеет смысл, совершенно не зависящий от выбора осей координат, то, следовательно, квадратичная форма ( ) Л С) инвариантна по отношению к замене одной системы осей другой. Иными словами, если вх х , е у суть компоненты деформации в новой системе координат, а т С — компоненты вектора I в той же новой системе, то будем иметь равенство [c.45]

Свойство инвариантности (5) квадратичной формы Й показывает, что напряжения а г образуют симметричный тензор второго ранга. Длину вектора г можно считать произвольной. Выберем ее так, чтобы аг = где — произвольная постоянная, от- [c.50]

В случае изотропии удельная потенциальная энергия деформации О не зависит от направления в пространстве, следовательно, инвариантна относительно поворота системы координат. Поэтому П является функцией только инвариантов тензора деформаций, а так как речь идет об однородной квадратичной форме, определяющими будут только два инварианта Л и /п (так как /щ имеет третью степень). Таким образом, и представляется как линейная комбинация [c.60]

Указание. Квадратичная форма [5 , ] инвариантна относительно [c.201]

Случай р Ф О сводится к случаю р = О следующим приемом. Рассмотрим на V риманову метрику, инвариантную относительно С. Пересечение Мр с кокасательной плоскостью к в точке V является гиперплоскостью. Квадратичная форма, задающая метрику, имеет в этой гиперплоскости единственную точку минимума к (р). Вычитание вектора к (и) переводит гиперплоскость Мр П Т в Мд П и мы получаем диффеоморфизм Рр — Р . Теорема [c.344]

Выбор варианта оправдывается степенью его близости к уравнению состояния линейно упругого тела. Например, заданию э в линейной теории квадратичной формой компонент градиента перемещения Уи с постоянными коэффициентами сопоставляется задание, приводящее к учету в уравнении состояния хотя бы квадратичных по Уи слагаемых. Другой прием основан на удержании величин этого порядка в самих уравнениях состояния, сохраняющих при этом свою инвариантную запись. Еще один критерий состоит в сравнительной доступности последующего математического рассмотрения. Наконец, в отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению определяющих уравнений статистические представления предложенные соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой. [c.150]

Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости симплектическое отображение А параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения лежат на окружности Хи = 1, / 1, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям Л, Л, квадратичная форма [А , положительно (или отрицательно) определена. [c.224]

Теорема ([316]). Существует единственная четная квадратичная форма на 2 =Я 1 (У.), инвариантная относительна группы монодромии Г, множество значений которой содержит — 2. [c.88]

Конфигурационное пространство твердого тела с закрепленной точкой — группа вращений 80 (3) трехмерного пространства. Уравнения Эйлера движения твердого тела могут быть записаны как уравнения касательного вектора к геодезической левоинвариантной римановой метрики на 0(3) (метрика задается кинетической энергией тела). Уравнение Эй/.ера движения идеальной жидкости, как показал Арнольд [5], также можно рассматривать как уравнение движения по геодезической. Обобщенным твердым телом (о. т. т.) называется система с конфигурационным пространством —группой Ли О, нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, задающей лево-(или право-) инвариантную метрику на С и равной положительной квадратичной форме на алгебре Ли С( группы [c.312]

Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные формы dx -Ь dy -f dz ) и (dx -f dy + dz — dt ) могут считаться соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и лоренц-преобразовапий в пространстве времени. Так же как эти квадратичные формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная форма определяет инвариантный элемент площади [c.292]

Преобразование i6) обеспечивает инвариантность квадратичной формы DjDj, т. е. d d +s s + b b = eid+ss + bb, что и приводит к диагональности нейтрального тока, к-рая с высокой точностью подтверждается отсутствием распадов вида К vv. [c.593]

IV. 3. Метрический тензор. Из формул (IV. 2.6) следует, что величины gskig ) являются коэффициентами инвариантной квадратичной формы переменных (или й ,), а отсюда по сказанному в п. I. 4 следует заключить, что этими величинами определен симметричный тензор второго ранга, обозначаемый g gsk и g — его ко- и контравариантные компоненты его смешанные компоненты g суть коэффициенты билинейной формы переменных as, а . Тензор g определяет в принятом базисе квадрат длины. Это объясняет его наименование — метрический тензор. Диадное представление тензора g- записывается в одном из трех видов [c.872]

Операции дифференцирования и интегрирования тензора по параметру ( в лагранжевом и эйлеровом пространствах являются основными в теории процессов. Пусть в движущейся фиксированной точке среды х=сопз1 и ее фиксированной окрестности (х+ - - ix) даны тензор Z t) и зависящая от времени инвариантная квадратичная форма <рг(0 имеющая определенный физический смысл [c.133]

Замена координат. Инвариантная квадратичная форма. Тензор напряжений. Формула (3) 4 позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, мы можем применить эту формулу для вывода формул перехода от одной системы прямоугольных осей Oxyz к другой системе Ox y z. [c.23]

Таким образом, М. п.-в, в спец. теории относительности задается инвариантной квадратичной формой, в к-рой при квадратах трех дифференциалов координат коэффициент равен —1, а при четвертом квадрате -fl (ив смешанных членах — нулю). Из-за этого отличия в знаке такая метрика наз. псевдоевклидовой. Преобразование четырех координат, оставляющее ds неизменным, выражается Лоренца преобразованиями. [c.208]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

Как и в случае правил отбора для двухфононных процессов, видим, что соотнощение (6.62) может выполняться только при к = к. Ранее этот результат рассматривался как следствие трансляционной инвариантности кристалла. Напомним далее, что, согласно результатам т. 1, 109, билинейная инвариантная эрмитова квадратичная форма может возникать только в том случае, когда сомножители преобразуются по одной и той же строке одного неприводимого представления. Поэтому выполняется равенство / = т. е. отличен от нуля только диагональный элемент [c.79]

Следовательно, квадратичная форма [А , ] невырождена при < т, включая I = 0. С другой стороны, при < О эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор г есть сумма своих проекций щ на инвариантные плоскости сг/., соответствующие парам собственных значений Л/., Л/., Л . = 1. Из следствия И29.6 мы заключаем, что плоскости ак попарно ортогональны (в смысле [ , ]). [c.223]

Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет в принципе найти скорость течения v как функцию на группе SDiff М. Таким образом, на SDiff М естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры...). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...