Треугольные плоско-напряженные элементы

Треугольный плоско-напряженный элемент [c.135]

Постройте матрицу жесткости для приведенного в разд. 5.3 треугольной плоско-напряженного элемента из ортотропного материала. [c.150]

Треугольные плоско-напряженные элементы [c.273]

Основным элементом при конечно-элементном анализе является пластина, нагруженная в своей плоскости (условие плоского напряженного состояния). На рис. 1.1 (Ь) изображены треугольный и четырехсторонний плоско-напряженные элементы. К этому классу элементов можно отнести еще много элементов, имеющих различную форму в плане, однако они используются в весьма специальных случаях. Эти элементы называются основными не только благодаря их полезности при численном исследовании целого ряда прикладных задач проектирования, но также ввиду их приоритетной роли в истории развития метода конечных элементов. Теоретические работы на протяжении первых лет развития метода конечных элементов были целиком посвящены этому типу элементов. [c.21]

Элементы типа изгибаемых тонких пластин используются не только для описания поведения плоских пластин, но также для представления оболочек и тонкостенных элементов. Конфигурация элементов схожа с геометрией плоско-напряженных элементов, причем наибольшее распространение имеют треугольные и четырехсторонние элементы рис. 1.1 (е). [c.21]

Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, построим матрицы жесткости для трех простых элементов стержневого, балочного, треугольного плоско-напряженного. [c.126]

Две задачи, которые долго служили основой сравнения альтернативных формулировок плоско-напряженных элементов, иллюстрируют существенно различные свойства треугольных элементов. Существование этих задач как основы сравнения вытекает из того факта, что они принадлежат тому небольшому количеству плосконапряженных задач теории упругости, которые тщательно исследовались с помощью традиционных методов решения. [c.286]

Осесимметричные сплошные элементы являются обобщением плоско-напряженных элементов и так же, как и в случае плоской деформации, здесь применимы многие построения из гл. 9. Поэтому ниже рассмотрим подробно соотношения лишь для изображенного на рис. И.З простейшего треугольного осесимметричного элемента. Элемент расположен произвольным образом в плоскости г — г так, что ни одна из сторон его не направлена вдоль оси симметрии. [c.330]

Пусть тонкая пластина находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (рис. 9.54). Мысленно разобьем ее на треугольные конечные элементы и рассмотрим один из них с узлами /, т, п (на рис. 9.54 этот элемент выделен точками). Перемещения каждого узла, например /, имеют две компоненты [c.329]

Зная компоненты напряжений Оу, в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям X W у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения a,j, х у известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость ВС, параллельную оси z, так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму РВС. Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке ВС, будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р. [c.36]

Появление ЭВМ стимулировало развитие метода конечных элементов (МКЭ), математические основы которого были сформулированы известным математиком Р, Курантом в 1943 г. Рассмотрим применение этого метода к расчету упругой пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния, при использовании простейших треугольных конечных элементов. [c.488]

Для решения задач плоского напряженного состояния наиболее употребительны треугольный и прямоугольный конечные элементы, имеющие по две степени свободы в узле и независимую аппроксимацию перемещений Ux и Uy. [c.32]

Треугольный конечный элемент плоского напряженного состояния. В неявном виде аппроксимирующие функции перемещений принимаются в виде линейных полиномов [c.32]

В табл. 2.6 приведены матрица жесткости прямоугольного плоского элемента оболочки, полученная простым совмещением матриц жесткости прямоугольных элементов плоского напряженного состояния (см. табл. 2.3), и плиты (см. табл. 2.5). Так можно получить, матрицу для плоского треугольного элемента. [c.46]

Подставив выражения (3.103) и (3.105) в соотношение (3.104), получим матрицу жесткости треугольного конечного элемента для тела, находящегося в плоском напряженном состоянии [c.99]

Матрицы и векторы реакций. Рассмотрим плоское напряженное состояние конечного элемента на примере треугольной пластинки толщиной h, срединная плоскость которой совпадает с плоскостью О ху локальной правой системы координат О хуг. Узлы расположены в вершинах элемента и имеют по две степени свободы. Конкретизируем векторы и матрицы, записанные в общем виде в подразд. 2.1 [c.70]

На рис. 48, а показана простая тонкостенная конструкция открытого профиля, находящаяся под действием кососимметричной нагрузки Р, что характерно для автомобильных конструкций. Жесткость и прочность этой конструкции в основном определяют изгибом боковых панелей, которые находятся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 48,6). На рис. 49, а приведена консольная балка толщиной t, к свободному концу А которой приложена сила Р. Нагружение балки в этом случае аналогично нагружению боковой панели рассматриваемой конструкции. Балка моделировалась элементами четырех типов [11], На рис. 50, а представлены результаты численного эксперимента по определению прогиба свободного конца балки уа в зависимости от числа степеней свободы при идеализации балки треугольными элементами с постоянной деформацией (кривая 1) и линейной деформацией (кривая 2). Треугольный элемент с постоянными деформациями, что равнозначно постоянству напряжений, построен на описании поля перемещений полным линейным полиномом. Этот элемент часто называют С5Г-элементом [11], или симплекс-элементом [20]. Представление поля перемещений элемента полным квадратичным полиномом приводит к линейным распределениям деформаций или напряжений. Такой элемент обычно называют 57 -элемен-том [11], или комплекс-элементом [20]. Как видно из рис. 50, а, характеристики сходимости для треугольных элементов не очень [c.76]

Рассмотрим элемент, выделенный из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии, и имеющий форму треугольной призмы (рис. 50). Проектируя усилия, действующие по ее граням, на направления N и АВ, получим [c.78]

Выделим элемент бруса df у отверстия при действии осевой растягивающей силы Р (рис. 172, а). Так как площадка ей, принадлежащая к отверстию, свободна от напряжений (рис. 172, б), то для уравновешивания напряжений о , возникающих по площадке поперечного сечения й/, необходимо приложить касательные напряжения т по площадке йс. Но напряжениям т по площадке йс, согласно закону парности тангенциальных напряжений соответствуют равные им напряжения X по горизонтальной площадке й/. В свою очередь по условию равновесия треугольной призмы ей/ найдем, что должны возникать горизонтальные нормальные напряжения Оа- Таким образом, для случая бруса прямоугольного поперечного сечения (полоса) получаем плоское напряженное состояние. В случае же тела вращения в глубине от поверхности выточки получаем пространственное напряженное состояние. [c.257]

Ниже вписана матрица податливости для треугольного пластинчатого элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (рис. Р2.3). Вычислите [c.65]

Проверьте выполнение условий равновесия для третьего и четвертого столб-пов матрицы жесткости треугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (см. рис. 5.4). [c.67]

Матрица жесткости треугольного пластинчатого элемента, находящегося в плоском напряжением состоянии, задана в координатных осях х, у ), причем Р =(к] А , где [c.67]

Рис. 5.4. Матрица жесткости изотропного плоско-напряженного треугольного элемента с постоянной деформацией внутри элемента.

Таким образом, для простого треугольного элемента в плоском напряженном состоянии внутри элемента выполняются и условие равновесия, и условие совместности, однако вдоль линий, разделяющих элементы, выполняется лишь условие непрерывности перемещений и и V. Условия равновесия нарушаются вдоль границ элемента, но равновесие граничных сил выполняется в среднем для узлов элемента. В результате измельчения сетки треугольных элементов можно добиться уменьшения ошибки, вызванной невозможностью удовлетворить условиям равновесия в каждой точке конструкции. [c.139]

Постройте согласованную матрицу массы [ш] для треугольного элемента из изотропного материала в случае плоского напряженного состояния (см рис 5 3), где р — масса, приходящаяся на единицу объема При этом геометрические [c.201]

Постройте матрицу податливости треугольного элемента для плоского напряженного состояния (см. рис. 5.3), используя гибридный метод перемещений. Наложите условия закрепления и1=с/1=1/2=0. Сравните полученную матрицу с матрицей из задачи 2.3. [c.203]

При помощи гибридного метода напряжений постройте матрицу жесткости треугольного элемента, находящегося б плоском напряженном состоянии (рис. 5.3), используя для этого постоянное поле напряжений и линейное распределение перемещений на границах. Сравните результат с рис. 5.4. [c.204]

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума дополнительной энергии при построении треугольных конечных элементов. [c.266]

В этом разделе рассматриваются плоско-напряженные треугольные элементы, построенные в предположении, что поля перемещений представлены соответственно полными линейными, квадратичными [c.270]

В постановках задач о плоском напряженном состоянии с использованием понятия дополнительной энергии в качестве неизвестных в узлах могут приниматься также напряжения и другие силовые параметры. Некоторые авторы (см., например, [9.181) выбирали схемы этого типа для численной проверки верхней границы решения. При этом величины напряжений в треугольных элементах принимаются постоянными, а уравнения для элемента записываются с помощью матрицы жесткости, так что вся конструкция может быть рассчитана методом перемещений. Применение этой аналитической схемы наталкивается на трудности, обусловленные кинематической неустойчивостью (см. разд. 3.3). [c.289]

Наконец, заметим, что для плоского напряженного состояния формулировки на основе функционала энергии Рейсснера обладают теми же преимуществами и недостатками, что и формулировки на основе дополнительной работы. В 19.1] даются примеры применения подхода с использованием функционала энергии Рейсснера для треугольных элементов. [c.290]

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткост элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную тол щину 1, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси л Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, та как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя нне (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткост приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областя практических приложений. [c.134]

Опыт показал, что при расчете полей напряжений во всей конст рукции можно не учитывать локальное выпучивание обшивк летательного аппарата. Поэтому обшивку можно представить со стоящей из плоско-напряженных элементов, таких, как изображен ные иа рис. 1.1 (Ь) и (с) треугольные и четырехсторонние элементы, а несущую конструкцию можно смоделировать набором элементов типа изображенных на рис. 1.1 (а). Расчет методом конечных элементов участка соединения крыла с фюзеляжем самолета Боинг-747 , изображенного на рис. 1.2 (Ь), потребовал около 7000 неиз- [c.22]

Прямоугольный конечный элемент плоского напряженного состояния. Для этого элемента приведены (см. п. 1.3) аппроксимирующие функции (1.20) и иссяедован порядок сходимости, который совпадает с треугольным элементом. Вместе с тем численные эксперименты показывают, что решение, полученное на основе прямоугольного элемента, гораздо ближе к точному, чем на основе треугольного. Это объясняется наличием в аппрокси-, мирующем полиноме для прямоугольного элемента члена ху, что обусловливает переменные значения деформаций и напряжений по области Qr, в то время как у треугольного элемента они постоянны. [c.34]

Прямоугольный конечный элемент оболочки нулевой кривизны. Матрица жесткости приведенного выше элемента несвободна от эффекта жесткого смещения, который обусловливается противоречиями гипотез технической теории оболочек. Использование гипотез общей теории оболочек приводит к значительным усложнениям, а попытка избавиться от эффекта жестких смещений при помощи определенной обработки матрицы жесткости приводит к вырождению элемента в плоский Ч В связи с этим естественно с точки зрения физического смысла использовать для расчета оболочек двоякой кривизны плоские элементы. Здесь элемент оболочки может быть получен простой комбинацией элементов для плоского напряженного состояния и изгиба пластины с удовлетворением всех необходимых требований. Учет же геометрических особенностей оболочки будет обеспечиваться учетом геометрии вписанного многогранника. Причем из чисто физиче-. ских соображений о том, что со сгущением сетки J5yдeт увеличиваться точность аппроксимации поверхности оболочки геометрией вписанного многогранника, можно судить, что сходимость М КЭ в этом случае будет обеспечена. При назначении расчетной схемы оболочки необходимо, чтобы плоские КЭ вписывались в геометрию оболочки. Поэтому для развертывающихся на плоскость поверхностей (цилиндрические поверхности) можно использовать прямоугольные КЭ, а при неразвертывающихся поверхностях (поверхности двоякой кривизны) —треугольные КЭ. [c.46]

Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера рассматриваемой задачи и от той точности решения, которую требуется обеспечить. Например, при решении одномерных задач распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых конструкций область разбивают на одномерные конечные элементы, взаимосвязанные между собой по концам. При решении плоских задач (плоское напряженное состояние, задача теплопроводности в пластине и т. д.) области аппроксимируются треугольными или четырехугольными плоскими конечными элементами (рис. 1.5.1). Если рассматривается трехмерная область, то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоугольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников (рис. 1.5.2). [c.55]

Треугольные элементы. Для получения матрицы и вектора реакций р-го треугольного элемента в общем случае нагружения (при плоском напряженном состоянии и изгибе) вычисляют геометрические параметры элемента и матрицу преобразований при переходе от локальной системы координат элемента к глобальной с пом ощью процедуры PR S [c.111]

MRDBS1 — вспомогательная для МТ0321 процедура, с помощью которой для IJ-ro конечного элемента вычисляются R — расстояние г от оси симметрии до центра тяжести треугольного сечения элемента D (4,4) — матрица упругости для изотропного материала при плоском напряженном состоянии В (4,6) — матрица связи вектора деформаций е и напряжений о S — площадь сечения конечного элемента [c.128]

MR002 вычисления матрицы и вектора реакций треугольного элемента в локальных координатах для плоского напряженного состояния — Текст 441 [c.515]

Постройте матрицу податливости трехузлового треугольного элемента для плоского напряженного состояния, используя принцип минимума дополнительной работы. Используйте условия закрепления u =v =v =0 (см. рис. 5.3). Сравните результат с матрицей податливости из задачи 2.4. [c.204]

Результаты показывают, что использование формулировок на базе линейных смещений на границе (межэлементно совместимых) приводит к довольно медленной сходимости к эталонному решению То же самое справедливо и для треугольных элементов (см. рис. 9.11). Напротив, использование формулировок с несовместимыми модами приводит к очень точным решениям в этой задаче Результаты для наименьшего числа степеней свободы 60 степеней свободы) получены при измельчении сетки лишь в направлении оси х, т. е. при одном элементе по толщине балки. Поэтому формулировки для плоско-напряженных задач общего вида можно использовать в представлении частных случаев изгиба, где обычно требуется выполнение гипотезы плоских сечений (плоские сечения до деформации остаются плоскими после нее). Для задач изгиба балок не часто требуется строить элементы, отличающиеся от простейшего изгиб-ного элемента, однако в гл. 10 будет показано, что концепция несовместимых мод, являющаяся альтернативной в смысле интегрирования энергии деформации элемента на грубых сетках, весьма полезна при использовании трехмерных элементов теории упругости для анализа пластин и оболочек. [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...