Рассмотрение возмущений второго порядка

Рассмотрение возмущений второго порядка в S2 и а [c.126]

Рассмотрение возмущений второго порядка в й и а 127 [c.127]

На этом этапе можно было бы перейти к аналитическому определению возмущений второго порядка, которые представляют собой приращения возмущений первого порядка и получаются вычислением приращений возмущающих сил при допущении, что планеты движутся не просто по эллипсам, а по эллипсам, измененным возмущениями первого порядка. Однако разложения, которые получаются в этом случае, будут неудобны для вычислений, и мы предпочитаем отложить этот вопрос до тех пор, пока не рассмотрим метод, свободный от такого недостатка. Тем временем мы переходим к дальнейшему рассмотрению выражения (75). [c.338]

Проведенное рассмотрение малых неавтономных периодических возмущений автономной системы второго порядка обнаружило естественность появления с переходом от двумерных к многомерным динамическим системам притягивающих гомоклинических структур и, в частности, стохастических синхронизмов. [c.377]

План рассмотрения во многом подобен плану предыдущего параграфа. Выделяется часть гамильтониана, рассматриваемая как возмущение (взаимодействие поля излучения с электронами и ионами), а затем используется теория возмущений для вычисления соответствующей вероятности перехода. В обобщенной теории Плачека процессы рассеяния рассматриваются во втором порядке теории возмущений. [c.21]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

При рассмотрении вопроса о сходимости ряда (1) следует различать две проблемы. Возмущения различных порядков будут даваться не конечными выражениями, а в виде бесконечных рядов. Первая проблема состоит в исследовании сходимости этих рядов. Вторая проблема связана с исследованием сходимости ряда (1), образованного возмущениями различного порядка. [c.495]

Основной вывод из нашего рассмотрения пробле.мы малых делителей можно сформулировать следующим образом если главный малый делитель порядка квадратного корня из возмущающей массы или больше, то построение точной планетной теории при помощи метода вариации произвольных постоянных является, вообще говоря, выполнимым. Из-за присутствия вековых и смешанных вековых членов срок пригодности такой теории неизбежно ограничен. Можно увеличить этот срок путем включения возмущений второго и высших порядков, однако ни одна теория рассмотренного типа не может сохранять пригодность п течение бесконечного промежутка времени. [c.260]

Однако это интегральное уравнение есть не более чем приближение, учитывающее слагаемые второго порядка, входящие в ряд теории возмущений типа (10.39). Фактически в нем приняты во внимание только эффекты интерференции волн, рассеянных парами атомов жидкости. Статистическое распределение атомных центров учитывается в уравнении (10.48) только через структурный фактор 5 (ч), представляющий собой фурье-образ (4.9) парной корреляционной функции (1, 2). Желая учесть эффекты многократного рассеяния электронов атомами, мы должны явно ввести в рассмотрение высшие корреляционные функции 3, и т. д., определенные в 2.6. Эффекты, связанные с локальной геометрией расположения атомов, невозможно полностью отразить в теории без учета соответствующих членов ряда теории возмущений [16]. [c.480]

Общие замечания. Как отмечалось в 10.4, рассеяние света в первом порядке описывается двухфотонными процессами. При рассмотрении рассеяния света надо использовать оба оператора взаимодействия ha — в первом приближении метода возмущений и hj — во втором приближении. Исходя из (10.2.13) и (10.2.16), представим вероятность рассеяния света в виде [c.275]

Таким образом, из рассмотрения экспериментальных и теоретических работ по устойчивости следует, что линейная теория неустойчивости позволяет определить границы устойчивого течения. Поскольку уравнения движения Навье-Стокса содержат нелинейные члены, проблема устойчивости в общем случае должна рассматриваться как нелинейная. Влияние нелинейности при развитии возмущений конечной амплитуды сводится в основном к двум факторам. Во-первых, появляются гармоники колебаний более высоких порядков, чем основная, в результате чего происходит перераспределение энергии между этими гармониками и осредненным течением во-вторых, напряжение Рейнольдса приводит к изменению исходного профиля скорости. [c.184]

Решение задачи для локально невязкой области 22 не может дать равномерно точного первого приближения для решения задачи при Де оо. Во-первых, локально невязкое решение не удовлетворяет граничному условию прилипания на теле. Это требует введения вязкого подслоя 32 (см. рис. 3.9), в масштабах которого главные вязкие члены имеют порядок инерционных. Слой 32 рассмотрен ниже. Во-вторых, из найденных асимптотических формул (3.56) и (3.57) следует, что при 522 в нижней части области 22, управляющей , как было показано, распределением давления при 522 +СЮ, для которой на таких расстояниях Ф22 главные вязкие члены также становятся порядка инерционных. (Ситуация аналогична той, которая рассмотрена в 3.2 для течений разрежения.) Таким образом, возникает необходимость рассмотреть области 2 и 3 с продольным масштабом 5 (так как 522 = /е) и возмущениями давления Ар 1/2 рассмотренных ранее [c.93]

Второе важное направление исследования сверхзвукового обтекания тел с учетом скачков уплотнения связано с рассмотрением течений, близких к известным точным решениям задач обтекания клина и круглого конуса сюда же можно отнести работы по уточнению линейной теории обтекания тел и распространения возмущений от них посредством учета членов более высокого порядка, а также работы, относящиеся к определению элементов течения за скачком уплотнения заданной формы. [c.165]

Рассматривая геометрические аберрации третьего порядка как малые возмущения параксиальных траекторий, замечаем,, что аберрационные члены будут зависеть от различных факторов. Члены, обусловленные наклоном траектории, присутствуют всегда и растут с возбуждением линзы. Дополнительные-члены возникают из-за контурных полей, мультипольных компонент и изменений осевого электростатического потенциала. Мультипольные аберрации можно разделить на те же классы,, что и аберрации осесимметричных линз. Однако число коэффициентов аберрации больше вследствие более сложной природы распределений полей. Определение этих коэффициентов аберрации различно в разных публикациях в зависимости от предположений, принимаемых в конкретных ситуациях [37, 362]. К примеру, астигматизм первого порядка квадрупольных систем можно применить в ускорителях частиц, что в свою очередь требует отдельного рассмотрения для стигматических астигматических систем в первом случае определение подобно тому, которое используют для круглых линз, а во втором отклонение оценивается из линейности изображения. Чтобы в общем обеспечить единое представление электронно-ионных оптических свойств мультипольных линз, [363], можно применить метод характеристических функций (разд. 5.1). [c.575]

Оба предположения хорошо оправдываются на практике. Предположение 2 позволяет считать нейтрон-фо-нонное взаимодействие слабым. Поэтому для вычисления интересующих нас сечений рассеяния можно воспользоваться стандартной теорией возмущений (второго порядка). Мы наметим здесь лишь основной ход расчета более детальное рассмотрение можно найти, например, в работе Котари и Синджви [17]. [c.62]

Аналогичные ряды получаются и для других элементов [а также для р, если воспользоваться уравнением (6.35) I. Зная значения оскулирующих элементов и ре1ления первого порядка, полученные из уравнений (6.38), мы можем получить решения второго порядка из уравнений (6.39). В результате мы получим возмущения второго порядка. Очевидно, продолжая этот процесс, можно получать возмущения все более и более высокого порядка. В то же время очевидно, что с каждым последующим порядком многократно возрастает объем работы, которая должна быть выполнена. К счастью, па практике уже члены третьего порядка включать в рассмотрение ие обязательно. Исключением являются взаимные возмущепня гигантских планет. Юпитера и Сатурна. [c.205]

Из задач 7.1 и 7.2 и замечаний к задаче 7.7 ) ясно, что метод парциальных молярных величин очень удобен для рассмотрения однофазных систем, так как он снимает трудности, связанные с обратимым возмущением (увеличением или уменьшением количества вещества в системе), не сопровождающимся изменением интенсивных переменных. Однако, как видно из задачи 7.4, в применении к сосуществующим фазам такой метод не является вполне строгим он приводит к правильным достаточным условиям равновесия однако эти условия могут и не быть необходимыми. Это связано с тем, что члены второго порядка, пол5П1енные в методе парциальных молярных величин, могут и не совпадать с соответствующими членами, получающимися при использовании экстенсивных переменных. Сравним, например, (7.3.7) и (7.4.5) последнее выражение содержит член третьего порядка, в частности [c.265]

Существенный шаг в псевдопотенциальной теории сплавов сделан в [20, 21]. В [20] рассмотрен случай сплава с дальним порядком или соединения, а сплава с ближним порядком — в [21], где была предпринята попытка учесть высшие порядки теории возмущений. Отметим, что поскольку учет второго порядка теории возмущений эквивалентен модели парных взаимодействий, то учет более высоких порядков равносилен учету многоионных взаимодействий. Проведенный в [20] анализ показал, что вторым порядком мояшо ограничиться лишь, еслп выполнено условие [c.248]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Теперь мы рассмотрим возмущение, создаваемое в звуковой волне твердым препятствием, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Рассеянные волны, наблюдаемые на большом расстоянии, обусловлены главным образом двумя причинами. Если бы препятствие отсутствовало, то в пространстве, которое оно занимало, происходили бы попеременные сжатия и разрежения. На большом расстоянии влияние преиятствия, заключающееся в отсутствии соответственных расширений и сжатий его объема, приблизительно таково, как если бы в среде, находящейся в покое, этот объем испытывал бы периодические изменения в точности противоположного характера. Результат эквивалентен действию простого источника. На создаваемое таким образом возмущение накладывается вторая система волн, вызванная неподвижностью препятствия. Если бы препятствие могло колебаться свободно и, кроме того, имело ту же плотность, что и окружающий воздух, то оно колебалось бы вместе с частицами воздуха и второй системы воля не было бы. Эта вторая система волн такова же, как если бы препятствие совершало колебания, в точности равные и противоположные по фазе колебаниям в исходной невозмущепной волне. Как мы видели в 79, этот эффект эквивалентен действию двойного источника. На первый взгляд может показаться, что первый из рассмотренных эффектов много меньше, чем второй, однако вдали от препятствия оба эффекта оказываются сравнимыми по порядку, ввиду того, что волны от двойного источника сильно ослабляются наличием бокового обтекания. [c.304]

Снова нужно рассмотреть возмущения типа Ферми и Кориолиса, каждое из которых может вызвать колебательные или вращательные возмущения. Взаимодействовать могут только уровни с одинаковой полной симметрией, с одинаковыми числами J и с ААГ=0, 1. За исключением отличия в типах симметрии, рассуждения совершенно аналогичны нашим прежним рассуждениям для случаев линейных молекул. Однако нужно учитывать, 410 вращательные уровни Е не могуг быть расщеплены каким бы то ни было взаимодействием врап1ения и колебания (см. Вильсон [934]). В отличие от действия сил Кориолиса, рассмотренного выше, которое приводит к расщеплению вырожденных колебательных уровней при увеличении числа К и является эффектом первого порядка, кориолисовы возмущения, рассматриваемые нами сейчас, являются эффектами второго и более высоких порядков, так как они обусловлены взаимодействием двух различных колебаний в результате наличия сил Кориолиса. Как и для линейных молекул, в данном случае этот эффект обычно весьма мал. Для молекул, принадлежащих к точечной группе Сщ, из правила Яна, приведенного ранее (стр. 404), сразу вытекает, что возможны кориолисовы возмущения между колебательными уровнями Ai и Е, А-, и Е, Ai я А , Е и Е. Для первых двух пар уровней возмущение должно возрастать с увеличением числа J, для последних двух пар оно должно возрастать с увеличением числа К. До сих пор ни один из подобных случаев не изучался подробно. Частным случаем таких возмущений является удвоение типа К, рассмотренное выше, т. е. расщепление уровня с данным J и при условии, что типы полной симметрии двух составляющих уровней являются [c.443]

Перейдем к рассмотрению конкретных следствий из гипотезы об обращении в нуль семиинвариантов порядка п- -. При = 2 отбрасывание семиинвариантов порядка п + 1 эквивалентно отбрасыванию третьих моментов в уравнениях Кармана — Ховарта и Корсина, рассматривавшемуся в 15 поэтому первое нетривиальное применение указанной гипотезы получается при п==3. В этом случае используются уравнения для вторых и третьих моментов, причем в последних трехточечные четвертые моменты заменяются специальными комбинациями вторых моментов (см. ниже (19.25)). В следующем приближении надо уже уравнения для вторых и третьих моментов использовать без всяких упрощений и дополнить их уравнениями для четвертых моментов, в которых пятые моменты заменяются специальными комбинациями моментов второго и третьего порядков но это приближение столь громоздко, что до сих пор оно остается почти не исследованным (см., впрочем, работу Хазен (1963) об эволюции возмущений в потоке с постоянным градиентом скорости). [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...