Элементарные особые точки

Элементарные особые точки. [c.87]

Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек на плоскости [c.88]

Элементарность особых точек имеет двоякий смысл 1) сложная особая точка рассыпается на элементарные, как на атомы. 2) Элементарные особые точки сравнительно просто устроены (см. 2 и 5). Указанная в заглавии классификация получена для всех ростков гладких векторных полей, за исключением подмногообразия коразмерности бесконечность, и, в частности, для всех ростков аналитических векторных полей с изолированной особой точкой она дается следующими двумя теоремами. [c.88]

Теорема. Росток аналитического векторного поля в изолированной элементарной особой точке на вещественной плоскости гладко орбитально эквивалентен одному из векторных по-лей указанных в следующей таблице (здесь и всюду в этой главе числа р, q я k натуральные, а — вещественное, x R , х= = (х, у), г =х +у , I — оператор поворота на я/2, е 0 1 —1 , дробь р/<7 несократима). [c.88]

Вырожденная элементарная особая точка [c.88]

Аналитическая классификация элементарных особых точек в комплексной области [c.97]

Настоящий параграф посвящен орбитальной аналитической классификации ростков векторных полей в элементарной особой точке с резонансной линейной частью. Эта классификация имеет функциональные модули. Первым шагом является изучение ростков одномерных отображений. [c.97]

Орбитальная топологическая классификация элементарных особых точек на комплексной плоскости [c.101]

Вырожденные элементарные особые точки. Росток класса A2 формально орбитально эквивалентен ростку [c.101]

Два частных решения, для которых вблизи особых точек перемещения неограниченно возрастают, Буссинеск (1842—1929) назвал элементарными решениями первого и второго типов. [c.337]

Осуществим порознь дискретизацию каждой из поверхностей. Таким образом, никакая элементарная область не будет располагаться на нескольких поверхностях, а регулярные точки будут принадлежать двум (или более) поверхностям. При такой дискретизации все центральные точки будут точками регулярности поверхности и нет нужды поэтому перестраивать расчетные формулы. Аналогичным образом следует поступить и в случае изолированных особых точек (конические точки) каждая из этих точек должна быть вершиной нескольких элементарных областей. [c.581]

Теорема остается справедливой и в том случае, когда силовая функция не однозначна, но при условии, что движущаяся жидкая поверхность не встречает особой точки этой функции. Действительно, силовая функция однозначна в окрестности всякой не особой точки. Поэтому теорема применима к элементарному перемещению каждой достаточно малой части жидкой поверхности. Складывая эти части поверхности и элементарные перемещения, убеждаемся в том, что теорема применима ко всей поверхности и к любому конечному перемещению ее. [c.311]

Особые точки соответствуют решениям (23.10.16), (23.10.17), в которых а и ф постоянны. Эти решения представляют так называемые стационарные колебания, в которых главный член ряда (23.10.11) является чисто синусоидальным Z = а sin pt — ф), где а и ф постоянны, причем а является вещественным корнем уравнения (23.10.19). Зависимость а от к показана на рис. 103. Отбрасывая член с а в левой части (23.10.19), получаем для а выражение а = М кр ), совпадающее с элементарным решением (23.10.4), полученным для колебаний с ма.той амплитудой. Уравнение (23.10.19) имеет либо три вещественных корня, либо один, в зависимости от того, превышает ли параметр к некоторое критическое значение ко или нет. Если к <. к , то имеется одно стационарное колебание если к к , то — три стационарных колебания. Значение к равно 3/(25/Зр4/з). [c.484]

Здесь (рис. 134) Г < 0, С > 0, 2 < и по (82) dVi < 0, что как раз и соответствует показанному на рисунке расположению точки О, где определяется элементарная индуктивная скорость по отношению к вихревому лучу, выходящему из точки М. От элементарной индуктивной скорости dVi перейдем к полной индуктивной скорости П в точке О, производя суммирование величин dvl по всем элементарным полоскам вихревой пелены, исключая ту, которая исходит из отрезка несущей линии (г — е, 2 -Ь е), заключающего внутри себя точку О с координатой 2. Это объясняется тем, что, как известно, вихревая нить не индуцирует определенных скоростей в своих точках, которые являются особыми точками поля скоростей вокруг вихревой нити. Величина е может быть выбрана сколь угодно малой и в результате указанного суммирования будем иметь следующее выражение индуктивной скорости [c.305]

Имеются, кроме того, операции вращения и отражения, называемые точечными операциями симметрии. Операции вращения и отрал<ения можно применить в районе произвольных точек решетки или особых точек внутри элементарного параллелепипеда, в результате ч его кристаллическая структура перейдет сама в себя . Точечные операции симметрии являются дополнением к трансляционным операциям. Возмол<ны еще и другие, сложные симметричные преобразования, которые состоят из комбинации операций трансляции и точечных операций. Предназначением кристаллографического языка является главным образом краткое описание операций симметрии. [c.23]

О ФОРМЕ СПЕКТРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК 13] [c.33]

Определение. Особая точка векторного поля на плоскости называется элементарной, если хотя бы одно собствен-лое значение линейной части поля в этой точке отлично от нуля. [c.87]

Хорошие раздутия. За конечное число полярных раздутий или о-процес-сов вырожденную особую точку векторного поля на плоскости можно рассыпать на конечное число элементарных при очень слабых ограничениях на векторное поле. [c.87]

Определение. Сложный цикл называется элементарным, если все особые точки на нем — элементарные. [c.112]

Если элементарный сложный цикл — не-одноточечный и допускает преобразование монодромии, то все особые точки на нем принадлежат классам 1, 4 и 5 из таблицы п. 2.1 главы 5. Из классификационной теоремы пп. 2.1 и 2.2 главы 5 вытекает [c.113]

Регулярность алгебраической функции в особых точках доказывается элементарно. Тем самым, можно применить предыдущую теорему. > [c.131]

И первый и второй вопросы были решены Пуанкаре для общего случая неконсервативной системы, и мы дадим это решение в дальнейшем. Для рассматриваемого же частного случая ответ на эти вопросы получается из самых элементарных соображений. Ответим сперва на первый вопрос. Очевидно, что максимумы и минимумы кривой г—У (х) чередуются между собой. Отсюда следует, что особые точки типа седла и типа центра также чередуются между собой на оси абсцисс фазовой плоскости. [c.121]

Топологическая классификация изолированных элементарных особых точек на вещественной плоскости проста кроме узлов, седел, фокусов и центров среди них встречаются еще лишь седлоузлы (рнс. 16). [c.87]

Теорема. К таким же, как выше, нормальным формам приводятся ростки гладких векторных полей в элементарных особых точках, удовлетворяющие условию Лоясевича и не име- [c.88]

Это построение проводится следующим образом. Сначал делается хорошее полярное раздутие. Затем рисуются фазовы портреты в окрестности полученных при этом элементарны особых точек. При наличии характеристической траектории это1 позволяет построить, с точностью до гомеоморфизма, фазовый портрет полученного при раздутии векторного поля в окрест ности вклеенной кривой (объединения вклеенных окружностей) Затем полученная картина проектируется в исходную окрест- ность особой точки с помощью отображения, обратного разду тию. 1 [c.92]

Таким образом, характеристики прямолинейны. Так как в точке контура вектор т должен быть направлен по касательной к кон-Tjrpy, то характеристики представляют собою прямые, нормальные к контуру. Очевидно, что для односвязных сечений поле напряжений оказывается разрывным. При кручении стержня кругового сечения характеристики будут радиусами и центр сечения будет особой точкой, в которой направление вектора т не определено. Если контур сечения имеет выступающий угол, как показано на рис. 15.16.2, элементарные геометрические сообра- [c.530]

Ребро возврата есть геометрическое место особых точек на дискриминантной поверхности его уравнения получаются следующим образом к уравнениям огибающей поверхности присоединяется дважды продифференцированное по параметру ф уравнение семейства поверхностей. После элементарных преобразований получим уравнения ребра возврата эвольвентной каналовой поверхности [c.53]

К двухкратному решению задачи Коши сводится вопрос и в случае, когда кривизна оболочки неположительна. Если кривизна равна нулю, то рассуждения становятся элементарными. Они проведены в 15.17—15.19 и показали, что для оболочки нулевой кривизны обсуждаемая здесь полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, конечно, если края неасимптотические. Если кривизна оболочки отрицательна, то обе упоминав-щиеся выше задачи Коши должны решаться для систем гиперболического типа. Это значит, что их решение будет существовать в двухсвязной области при любой, достаточно гладкой нагрузке. Исключение может иметь место только тогда, когда в области G будут содержаться некоторые особые точки срединной поверхности, например, точки, через которые проходят две асимптотические линии одного семейства. [c.268]

Если в некоторый данный момент времени выделить в области, через которую движется жидкость, замкнутый, не пересекающий себя контур a d (рис. 3.2), ни одна из точек которого не является особой точкой потока, то через каждую точку такого контура в данный момент времени проходит единственная линия тока. Совокупность линий тока, проведенных через все точки этого контура, образует поверхность, которая называется трубкой то ка. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, образует струй-к у. Внутри трубки тока в данный момент жидкость течет, не пересекая боковых стенок , так как скорости потока касательны к линиям тока. Если контур abed ограничивает бесконечно малую площадку, то струйка называется элементарной. Если контур abed ограничивает конечную площадку, то струйка называется конечной. [c.60]

Проведем элементарное исследование траекторий р = р х) и определим характер особой точки (О, 0) в соответствии с терминологией, предложенной одним из гигантов математиче ской мысли — Анри Пуанкаре (1854-1912 гг.). [c.140]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Замечание 1. В силу того, что в рассматриваемой особой точке а =0, ни прп каких (достаточно малых) добавках среди грубых особых точек Oi,. .., 0 системы (А) не может быть фокусов и не может быть также предельных циклов, рождающихся из состояния равновесия О (это элементарно устанавливается использованием критерия Дюлака). [c.173]

Введение (193 —130. Сосредоточенная сила (193).— 131. Элементарное решеиие первого типа (195).— 132. Типы решений, обладающих особыми точ- сани (196).- 133. Местные возмущения (200). —134. Элементарные решения второго типа (2С0).—135. Сила, приложенная в точке плоской граничной поверхио- f4 (201). — 136. Распределенное давление (203). — 137. Давление двух касающихся Г-1Л. Геометрические соображения (204). — 138. Решение задачи о давлении двух касающихся тел (205). — 139. Теория удара Герца (209). — 140. Удар двух шаров (211). — 141. Деформации, соответствующие решениям, имеющим особые точки применение полярных координат (211).— 142. Задачи о равновесии конусов (213). [c.9]

Здесь описан метод разрешения особенностей. Он позволяет заменить сколь угодно вырождейную особую точку векторного поля на плоскости так называемыми элементарными, которые хорошо изучены как в вещественной, так и в комплексной области. Типичные поля не имеют вырожденных особенностей. [c.85]

Шаг I. Сложный цикл в обобщенной теореме Дюлака заменяется элементарным. Это делается с помощью хорошего раздутия неэлементарных особых точек, существующего по теореме Бендиксона—Дюмортье ( 1, гл. 5). [c.112]

Для функции с изолированной критической точкой коразмерность ее якобиева идеала в fi+i (то есть коразмерность 2е-орбйты в On+i) совпадает с числом морсОвСкйх критических точек, на которые распадается особая точка при деформации. В рассматриваемом случае Сирсма [212] ввел аналоги указанных коразмерностей, которые показывают, сколько элементарных точечных особенностей (изолированных или нет) рождается при деформации сложной особенности. Такими аналогами являются уже знакомое нам число [c.75]

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения теории аналитических функций. Уравнения геодезических на сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского не имеют вещественных особенностей. Поэтому вдоль геодезической координаты. т, , связанные с р = рх. рг) формулами (14) (16), являются аналитическими (и даже элементарными) функциями длины дуги я, не имеющими на вещественной оси —эо<5<-Ьос особых точек. Прокол поверхности в точке-обра-зерос порождает у функций ж (.9) устранимую особую точку (по стандартной терминологии курсов ТФКП). Ясно, что ее обход по пути, близкому к всщсствеппой оси, приводит к тому же результату, что и про- [c.29]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

Во-первых, представление о квазиодночастичном характере некоторых ветвей энергетического спектра системы многих тел возникает в теории без каких-либо предположений специального типа. Оно в общем виде вытекает из спектральных теорем 3—5, касающихся связи особых точек функций Грина с величинами, определяющими эволюцию системы во времени. Эти теоремы справедливы при весьма общих предположениях, и поэтому данное обоснование идеи об элементарных возбуждениях не связано с какими-либо аппроксимациями и в указанном смысле является окончательным. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...