Классическая линейная упругость

Рассмотрим классическое линейно-упругое тело, ограниченное поверхностью F (х, у, z) = О, где х, у, z — прямоугольные декартовы координаты. Для простоты тело вначале считаем однородным и изотропным учет неоднородности или анизотропии вносит в анализ усложнения, не имеющие принципиального характера. Объемными силами пренебрегаем. Вся граница упру- [c.52]

Недостатки метода короткой балки, а также осознание необходимости более подробного описания разрушения через расслоение привели к разработке новых методов оценки межслойных свойств. Большинство из методов основано на подходах классической линейно-упругой механики разрушения с использованием критической скорости высвобождения энергии деформирования в качестве основного определяющего параметра. Линейно-упругая механика разрушения не только составляет теоретическую основу экспериментальной методики, но и является инструментом для изучения расслоения как вида разрушения. [c.194]

КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ 1. Полная система уравнений [c.69]

Рассмотрим динамическую задачу классической линейной упругости У-т + / = ри, х= Л - Чи [c.238]

Другими предпосылками классической теории упругости являются наделение материала свойствами идеальной упругости, шаровой изотропии, совершенной однородности и принятие линейной зависимости между деформациями и напряжениями. [c.6]

Ниже под классической теорией упругости понимается только линейная теория упругости однородного изотропного тела. [c.6]

Решение основных уравнений классической (линейной) теории упругости, которыми закончилась предыдущая глава, можно вести разными путями в зависимости от того, что прежде всего необходимо определить. В связи с этим можно отметить три основных направления. [c.29]

Однако такое заключение справедливо только для линейной теории упругости и, следовательно, только для задач, которые в ней рассматриваются. С позиций, нелинейной теории упругости такой вывод считается неправильным и объясняется недостаточной точностью формул классической теории упругости. [c.32]

Предметом классической теории упругости является напряженно-деформированное состояние твердых тел, модель которых имеет следующие свойства 1) сплошность, 2) идеальную упругость, 3) линейность зависимости между напряжениями и деформациями, 4) достаточную жесткость (малость перемещений), 5) однородность, 6) изотропность. [c.4]

В классической теории упругости принимается, что перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами, а относительные удлинения и углы сдвига малы по сравнению с единицей. [c.9]

Теория упругости, базирующаяся на линейной зависимости между напряжениями и деформациями и линейной связи между деформациями и перемещениями, называется линейной или классической теорией упругости. [c.9]

Принцип взаимности работ — один из основных принципов классической линейной теории упругости. [c.45]

Классическая линейная теория, описывающая малые деформации тонких упругих пластин, основана на следующих гипотезах [c.175]

Предварительные замечания. В настоящем параграфе дается более точное определение геометрических соотношений, имеющих место при деформации тела, нежели приведенные выше. Такое уточнение позволяет оценить характер ранее полученных зависимостей и ограничить область возможного их применения, т. е. область возможного применения классической (линейной) теории сплошной деформируемой среды (в частности, классической теории упругости). [c.479]

В реологии, в частности, изучаются такие представители классических идеальных тел, как твердое тело Гука, жидкость Ньютона и твердое тело Сен-Венана. Первое—идеальное линейно упругое тело—является объектом классической теории упругости, второе — простая , вязкая жидкость — объектом классической гидродинамики, третье—твердое тело, имеющее предел текучести, ниже которого тело является абсолютно твердым, а при достижении которого течет, —изучается в теории идеальной пластичности. [c.512]

Заметим, однако, что, как показал А. Ю. Ишлинский в статье О напряженном состоянии цилиндра при больших углах крутки (Прикладная математика и механика, том VII, 1943, вып. 3) эту задачу можно решить и на основе классической линейной теории упругости. Он изучил напряженно-деформированное состояние упругого круглого цилиндра при больших углах крутки в условиях, когда точки торцов в процессе деформации не перемещаются в направлении, параллельном оси цилиндра. Кроме отмеченного уже возникновения в поперечных сечениях вала нормальных напряжений, складывающихся в продольную силу, обнаружено, что, вследствие поперечной деформации продольных растягиваемых волокон, происходит уменьшение радиуса цилиндра. Наряду с этим возникают радиальные напряжения, равные нулю на боковой поверхности цилиндра и достигающие максимального значения в точках на оси цилиндра. [c.34]

Как известно, в классической теории упругости при определении компонентов деформации ограничиваются линейными членами, отбрасывая квадраты и произведения производных компонентов вектора смещения и считая последние очень малыми. [c.156]

В силу линейности основных уравнений классической теории упругости имеет место принцип суперпозиции отдельных деформаций, что делает невозможным определение вторичных эффектов и взаимного влияния двух напряженных состояний упругого тела. Между тем в некоторых случаях влияние вторичных эффектов, а также взаимное влияние двух напряженных состояний, как например, упругого призматического бруса из материалов (полимеров), обладающих сравнительно малым модулем упругости, может оказаться ощутимым. [c.156]

В классической линейной теории упругости рассматривают обычно изотропное тело, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. В этом случае при одноосном растяжении или сжатии независимо от направления закон Гука, связываюш,ий напряжения и деформации, имеет вид [c.6]

В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77]

Связь между деформациями и перемещениями в классической линейной теории упругости задается соотношениями (3.4). Как уже отмечалось, в положении равновесия ЬЭ — О, т. е. полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 6 5. Учитывая, что в соответствии с (3.15) вторая вариация Ь П = О, [c.78]

В классической теории упругости принимается, что перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами, а относительные [c.10]

Это есть отношение максимального напряжения в месте концентрации напряжений к номинальному напряжению, причем предполагается, что материал обладает линейной диаграммой растяжения и ведет себя как идеальный изотропный материал, на котором базируется классическая теория упругости. [c.12]

Деформация металла при обработке давлением начинается с его упругой деформации, которая не исчезает с появлением пластических деформаций ef/ н остается до тех пор, пока на тело действуют внешние силы. Так что упругие деформации е / являются неотъемлемой частью деформации металла гц = е / -f-+ ef/) и определяют напряженное состояние тела. Даже после снятия внешних нагрузок, если в теле есть остаточные напряжения, то имеются и соответствующие им остаточные упругие деформации. Поэтому вначале установим связь между напряжениями и деформациями в рамках классической линейной теории упругости идеально упругого тела. [c.179]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

Метод изгиба часто дает слегка завышенное значение модуля Юнга, поскольку полимеры обычно не подчиняются классической линейной теории упругости, на которой основана формула (2.5). [c.38]

В настоящей главе с этих позиций рассмотрены некоторые двумерные задачи классической теории упругости как в линейной, так и в нелинейной постановках. [c.42]

Рассмотрим задачу о плоской деформации в линейной классической теории упругости при условии гладкого контура. В этом случае соотношения (2.1.2) и (2.1.3) становятся линейными и к ним добавляется закон Гука. Предполагаем для простоты изложения, что объемные силы отсутствуют. Тогда получаем соотношения [c.43]

Безмоментная теория (уравнения (12.1) которой так напоминают классическую линейную упругость) содержит немало нетривиального и в самой общей своей части. Интересно, в частности, то, что уравнения баланса сил в компонентах относятся к элиптическому типу при положительной гауссовой кривизне и к гиперболическому — при отрицательной [20]. [c.231]

В классической линейной теории упругости твердое тело считается идеально упругим. Это означает, что в любой момент времени t в данной точке тела напряжения ст,/ зависят только от деформаций ец в этой же точке в тот же момент времени при той же температуре Т. Рассеяние W предполагается равным нулю. Перемещения Uh и их градиенты dukidxu считаются малыми. В этом случае лагранжевы и эйлеровы координаты можно считать совпадающими (х,=л ,). Для деформаций имеем выражение [c.112]

Не принимая каких-либо вспом[огательных гипотез, теория упругости не может все же обойтись без абстрагирования изучаемого объекта. Реальные твердые тела рассматриваются в виде модели, наделяемой лишь их основными и общими свойствами, характерными при определенных условиях. В зависимости от особенностей принимаемой модели твердых тел теория упругости подразделяется на классическую, линейную и нелинейную. [c.4]

Классическая теория упругости представляет собой простейший вариант линейной теории упругости, рассматривающей более широкий круг задач. Линейная теория упругости изучает напряженно-деформированное состояние твердых тел, которые могут быть неодао- [c.4]

В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при этом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась. Но основная область приложения механики твердого тела — это оценка прочности реальных элементов конструкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зре-нпя различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следуюш им образом дано пекоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос — что это, хорошо или плохо Разрушится сооружение или не разрушится Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда, зная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каждой точке тела выполнялось условие прочности, т. е. некоторая функция от компонент о.-,- не превосходила допускаемого значения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не достигалось условие пластичности, более того, чтобы по отношению к этому локальному условию сохранялся некоторый запас прочности, понятие о котором было сообщено в гл. 2 и 3. Мы знаем, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке еще не означает потери несущей способности, что было детально разъяснено на простом примере в 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пластичного материала безусловно гарантирует прочность изделия. Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично от условия наступления текучести и локальное разрушение может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при переменных нагрузках и при действии высоких температур. В этих условиях даже пластические материалы разрушаются без заметной пластической деформации и микротрещина, возникшая в точке, где 42 [c.651]

Макроскопическая трещина — предмет изучения собственно механики — имеет размеры, превышающие на несколько норяд-ков размер наибольшего структурного элемента, содержащего в себе достаточное количество кристаллических зерен для того, чтобы свойства его не отличались от свойства любого другого элемента тех я е размеров, который можно выделить из материала. Именно это условие позволяет решать задачу о трещине в рамках механики сплошной среды. Сформулированное условие относится к идеальной для применимости теории ситуации, в действительности это требование может быть смягчено, что приводит к известным натяжкам, но не делает теорию беспредметной. Но считая материал сплошным, однородным, упругим и пользуясь аппаратом классической линейной теории упругости, мы приходим неизбежным образом к парадоксальному выводу о том, что напряжения по мере приближения к концу трещины растут неограниченно. Этот парадокс служит расплатой за простоту, свя-заиную с распространением линейной теории упругости на область, где она заведомо неверна. [c.9]

Многие динамические теории континуума типа теории эффективных жесткостей весьма близки к теориям линейно упругих сред со сложной микроструктурой, развитым Миндли-ном [48]. Новые материальные константы, появляющиеся в таких теориях, в случае направленно армированных композитов определяются непосредственно в виде функций параметров, характеризующих расположение компонентов, и классических упругих постоянных компонентов. Вид такой зависимости в про-стейщей теории слоистой среды был указан в работе Геррмана и Ахенбаха 34]. [c.380]

Рассмотренные три подхода для расчета деформаций в слоях при помощи классической теории слоистых сред предполагают неизменными свойства материалов при любых уровнях приложенной нагрузки. Здесь снова при вычислении напряжений в слоях используется предположение о линейной упругости. Композиты часто в действительности обнаруживают нелинейность механических свойств, поэтому расчетные методы, пренебрегающие этим обстоятельством, могут привести к неверным результатам. Однако учет нелинейности значительно усложняет анализ напряженного состояния композита. Поэтому Коул [36] предложил использовать для расчета поверхностей прочности условные характеристики материала слоя, полученные путем некоторого занижения экспериметально определенных предельных характеристик. Предельные кривые на рис. 4.4 построены именно таким образом и, следовательно, отражают прочностные свойства материала с некоторым запасом, компенсирующим погрешности расчета, вследствие пренебрежения нелинейностью деформационных характеристик. [c.168]

Вариационные принципы, в которых истинность указанных полей гарантирует стационарность частных функционалов, постулируют выполнение и тех или иных дополнительных условий. В 15.11 и 15.12 подробно рассматриваются два из них —вариационный принцип Лагранжа (потенциальной энергии системы) и вариационный принцип Менабреа — Кастильяно (дополнительной работы) применительно к стержневым системам и пространственной задаче классической (линейной) теории упругости. В 15.20 мы возвратимся к этим принципам еще раз. В 15.21 обсуждаются вариационные принципы, соответствующие другим частным функционалам. [c.457]

Основные соотношения классической теории упругости Линейиая классическая теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположения о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к рав недействующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей пая связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости материала (линейная связь между напряжениями и деформациями) [c.137]

Пример 7. Для иллюстрации рассмотрим классическую задачу Гриффитса об устойчивости трещин отрыва в неограниченной линейной упругой среде. Длину трещин обозначим 2/, номинальные напряжения (рис. 7.3.17). Рассмотрим задачу в предположении плоской деформации и заданных смещений на бесконечности . Тогда потенпиа-льная энергия упругой деформации для половины тела выражается формулой [c.485]

Применение упругих материалов позволило получить экспериментально диаграммы деформирования оболочек при относительно больших деформациях и тем самым установить величину нижней критической нагрузки, которая в случае осевого сжатия согласуется с -Ьеоретической [7.56]. Другие эксперименты [7.52, 7.53] дали неплохое соответствие с классической линейной теорией и по форме потери устойчивости, и по величине критической нагрузки. Таким образом, в задаче об осевом сжатии круговой цилиндрической оболочки впервые в истории развития теории устойчивости оболочек наметился обнадеживающий просвет. [c.13]

В отличие от критериев классического подобия упругих тел ( 5.1) специалиг ированные критерии приближенного механического подобия оболочек в форме (6.11) допускают введение двух различных линейных масштабов масштаба общих (габаритных) размеров конструкции и масштаба толщин стенки ho- Такой вид геометрического соответствия между моделью и натурой характеризует аффинное подобие (или аффинность) явлений. [c.109]

Точно так. же пятое решение (т = 5) соответствует пластине с горизонтально направленными напряжениями, постоянными в горизонтальном и линейно изменяющимися в вертикальном направлениях. Если ось х лежит в горизонтальной срединной плоскости прямоугольной пластины, то этот случай соответствует чистому, изгибу (рис. 3.8,6). Если ось х не проходит через срединную плоскость, то можно считать, что на пластину действует комбинация осевого нагружения и чистого изгиба (рис. 3.8, в). Опять же, как видно из рисунка, нетрудно заключить, что если пластину разбить на два равных прямоугольных элемента, то допущение о линейном изменении напряжений а на концах приводит к постоянному значению напряжения Ох во всех поперечных сечениях, удовлетворяет условию равновесия (за исключением вертикальных компонент напряжений а, обусловленных кривизной, которые в рамках классической теории упругости по-лагаютея бесконечно малыми) и условию плотной подгонки всех элементов друг к другу сказанное можно распространить на любой стержень цилиндрической формы. [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...