Второй метод полуплоскость

В цитированных выше работах было дано решение поставленной задачи двумя методами. Согласно первому методу она сводится при помощи результатов 95 к интегральному уравнению Фредгольма первого рода и затем к сингулярному интегральному уравнению и некоторому условию на бесконечности. Решение сингулярного интегрального уравнения, удовлетворяющее упомянутому условию, находится сразу. Согласно второму методу решение задачи приводится к решению смешанной задачи теории аналитических функций для полуплоскости, которое легко получается применением формулы Келдыша — Седова (см. Мусхелишвили [25]). [c.627]

Из последнего параграфа было видно, что затруднения при отыскании решения, связанные с методом функции напряжений, облегчаются вследствие использования комплексного потенциала и соответствующего конформного преобразования однако наибольшее преимущество от использования комплексного потенциала получено благодаря методам, развитым Мусхелишвили ), позволяющим определять потенциалы непосредственно по граничным условиям. Эти методы применимы к телу, занимающему в плоскости Z односвязную область, конечную или бесконечную, которую можно отобразить с помощью конформного преобразования на круг или полуплоскость исследование многосвязных областей значительно сложнее и обсуждаться здесь не будет. Области, отображенные на круг или на полуплоскость, можно исследовать двумя методами первый основан на использовании обычных интегралов Коши, второй основан на более тонких свойствах интегралов Коши. Второй метод наиболее при- [c.104]

На втором этапе по новым (полученным на первом этапе) параметрам упругости вновь решается контактная задача и определяется ширина площадки контакта и контактные давления на ней. Расчет выполняется методом последовательных приближений до удовлетворения с наперед заданной точностью краевых условий контактной задачи (равенства нулю контактных давлений на краях и вне площадки контакта). Далее уточняются параметры упругости в каждом узле полуплоскости. [c.138]

Важно отметить, что такой способ вывода уравнений не ограничивается случаем, когда тело помещается внутрь бесконечной плоскости. В работе [15], как отмечалось ранее, рассматривается погружение тела в последовательность полуплоскостей. Чтобы получить уравнения, допускающие эффективное численное решение, т. е. уравнения Фредгольма второго рода, согласно этому подходу, требуется, чтобы полуплоскости последовательно касались заключенного в них тела при обходе его границы. Такой подход несколько громоздок и особенно неудобен при решении задач теории упругости для анизотропного тела [16] из-за необходимости поворота тензора упругих постоянных. Для эффективности численного решения при любом методе вывода уравнений (включая рассматриваемый в статье) важно, чтобы фиктивные нагрузки были приложены непосредственно к контуру В. Это не позволяет, например, рассматривать тело, заключенное в полуплоскости, при фиктивных нагрузках, приложенных к границе полуплоскости. Следует также заметить, что какой бы метод не использовался, фундаментальное решение для выбранной фиктивной области должно быть простым. Этому требованию лучше всего удовлетворяет бесконечная плоскость. [c.157]

Задачи третьей группы наиболее сложны, так как в ряде случаев система ОДУ может быть локально неустойчивой могут периодически попадать в правую полуплоскость, например для генераторов). Основное требование к методам интегрирования — Л (л/2)-устойчивость. При умеренных требованиях к точности интегрирования можно применять метод трапеций или комбинированный (оба второго порядка точности). В большинстве случаев предъявляются более высокие требования к точности интегрирования-. Одношаговые Л (п/2)-устойчивые методы наиболее перспективны и разработаны специально для решения систем ОДУ общего вида. На каждом шаге интегрирования вводится 5 промежуточных значений 1)/ неизвестного вектора и, вычисляемых для моментов времени ti в пределах шага на основе следующей системы уравнений [c.45]

Следует отметить, что решение этим же методом задачи для изотропной полуплоскости было дано Н. И. Мусхелишвили оно приведено во втором издании его монографии. Эквивалентность обоих методов решения (сведение к интегральному уравнению и к задаче Римана — Гильберта) была установлена позднее. [c.154]

Далее, Шульц распространяет метод на периодическую область в виде полосы, ослабленной рядом одинаковых круговых отверстий. Для этого случая функцию напряжений можно взять в виде суммы четырех функций. Первая из них соответствует плоскости с рядом отверстий и имеет вид (1.24), вторая и третья отвечают верхней и нижней полуплоскостям (1тг с и 1тг>—с), прямолинейные границы которых загружены некоторой системой нормальных и касательных напряжений вида [c.231]

В [83] метод пространственной фильтрации получил дальнейшее развитие. Во-первых, в этом методе снималось условие однородности (постоянства) показателя преломления вдоль оси заготовки стекловолокна. Во-вторых, для получения данных о функции отклонения в отличие от описанной выше схемы требовались лишь одномерная пространственная фильтрация, отображение и считывание оптических сигналов. Треугольная маска 3 (см. рис. 3.4) была заменена на вертикальную полуплоскость, движущуюся вдоль оси со. Конструктивно такой фильтр был выполнен в виде вращающегося диска с вырезанным сектором, причем ось вращения располагалась ниже оптической оси z, параллельно ей. С помощью данного фильтра величина смещения лучей в фокальной плоскости линзы 2 кодировалась во времени. В плоскости изображения 4 центрального сечения заготовки 1 данная информация выделялась с помощью специальной детектирующей системы с опорным электрическим каналом. [c.85]

Второй метод полуплоскость. Допустим опять, что тело занимает полуплоскость 1т(2)<0, обозначенную через в этой полуплоскости определены комплексные потенциалы. Первый шаг состоит в том, чтобы построить аналитическое продолжение функции Ф(2) = ф (г) в верхнюю полуплоскость через ненагружениые отрезки границы Ь. Из формул (32.16) и (32.17) имеем [c.121]

Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Ti равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Г, = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение U2 t) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t [Q, 6 + L/y], если 0 —тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени U2(t) неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу Uiip) не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл [c.599]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Во второй главе дано исследование плоских смешанных задач для упругих тел, усиленных прямоугольными накладками. Здесь рассматривается задач-а о передаче нагрузки от полубесконечной накладки к упругой полуплоскости и плоскости. Нри этом модуль упругости накладки по ее длине изменяется по произвольному закону. В случае однородной накладки при помощи одного интегрального соотношения и аппарата полиномов Чебышева — Эрмита разрешающее интегро-дифференциальное уравнение задачи сведено к дискретному уравнению Винера — Хопфа довольно простой структуры. Таким путем удается получить принципиально повое замкнутое решение задачи о полубесконечной накладке. Далее излагается решение задачи о контактном взаимодействии Стрингера конечной длины и переменной жесткости с упругой полуплоскостью или плоскостью, описываемой интег-ро-дифференциальным уравнением Прандтля при определенных граничных условиях. На основе аппарата полиномов Чебышева это уравнение сведено к вполне или квазивполне регулярной бесконечной системе. Здесь же обсуждены многие частные случаи и произведен их численный анализ. Эта же задача исследуется в случае двух одинаковых стрингеров или периодической системы стрингеров. Дано построение решений задачи о взаимодействии стрингера конечной длины с полуплоскостью, когда концентрация напряжений на концах участка контакта отсутствует. Излагаются другие методы решения задачи о взаимодействии накладки конечной длины с полуплоскостью. Именно, используются асимптотические методы и метод специальных ортонормировап- [c.11]

Весьма обилий подход к решению плоских задач теории движения грунтовых вод был развит в цикле работ С. Н. Нумерова (1939 и сл.), который сводил гидродинамические задачи к соответствующ.им смешанным краевым задачам для полуплоскости и строил их решения с помош,ьн> интегралов типа Коши. Этот метод прило5ййм к задачам, область движения для которых заранее известна на плоскости комплексного потенциала f или функции Жуковского G. Впоследствии (1953, 1954) Нумеров обобщил свой подход применительно к задачам, область движения для которых заранее не известна ни на одной из этих плоскостей. При этом задачи сводятся к фредгольмовым интегральным уравнениям второго рода (вооб-ш,е говоря, сингулярным). [c.610]

Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин (1947) и В. Л. Рвачев (1959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полупространство клиновидного штампа в работах Н. А. Кильчевского (1958, 1960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом контакте с некоторой экстремальной проблемой В. Л. Рвачев (1956, 1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго порядка работы Г. Я. Попова (1961, 1963) посвящены смешанным задачам для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости и квадранта Н. М. Бородачев (1962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев (1965) исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полога кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах [c.35]

В работе Д. В. Грилицкого [99] рассмотрена контактная задача второго типа для ортотропной плоскости с круговым отверстием на одной дуге отверстия заданы компоненты перемещения м и и, а на остальной части — нулевые напряжения. Методы решения этой задачи и задачи об анизотропной полуплоскости, жестко связанной со штампом, упомянутой в конце 3, схожи между собой. В задаче о круговом отверстии совершается переход к полярным координатам, после чего производные перемещений по полярному углу ф выражаются через напряжения Тгф на участке контакта по формулам типа (6.13). Использование граничных условий приводит к системе двух краевых задач Римана — Гильберта с переменными коэффициентами. Эта система разбивается на две независимые задачи линейного сопряжения, решение которых удается получить в явном виде. [c.157]

Вопрос о том, относить те или иные задачи к классическим и неклассическим, является су0ъективным. Классическими будем считать задачи динамической механики разрушения, рассматриваемые в рамках идеализированной линейно-упругой модели хрупкого динамического разрушения, которые допускают точные или приближенные аналитические решения. Это задачи для областей, содержащих бесконечно удаленные точки (пространство, полупространство, слой в трехмерном случае плоскость, полуплоскость, полоса в двумерном). Такие задачи могут быть сведены к смешанным краевым задачам для уравнений с частными производными. Для их решения применяются простые и хорошо разработанные методы интегральные преобразования, дуальные интегральные уравнения, теория функций комплексного переменного, метод Винера — Хопфа, интегральные уравнения Фред-гольма второго рода, сингулярные интегральные уравнения. Эти методы подробно изложены в известных курсах математической физики 121, 56, 208, 209, 249, 259, 260 и др.], а также более специальных руководствах [265, 266, 278, 288, 299, 313, 350, 352 и др.]. [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...