Волны при конечной глубине жидкости

Волны при конечной глубине жидкости. Предположим теперь, что глубина жидкости конечна и равна h. Ограничимся для этого случая выводом формул для стоячих и прогрессивных волн. Опять имеем формулу (5.1) [c.436]

Решение с конечной длиной волны не существует также при малых глубинах жидкостей. Действительно, при /г/г <С 1 формулу (3.3.23) можно переписать, разложив в ряд по /г и ограничиваясь степенями к, не выше второй, следующим образом [c.118]

Скорость волны с не является скоростью частиц жидкости, которые при волновом движении на поверхности канала конечной глубины движутся по эллиптическим траекториям, а в жидкости бесконечной глубины — по круговым. При стоячей волне частицы жидкости описывают отрезки прямых линий, наклоненных к горизонтальной плоскости под разными углами. [c.86]

Мы возвращаемся теперь к теории волн на поверхности тяжелой жидкости, первые результаты в которой были получены Лагранжем (см. выше, п. 15). Поучительно сопоставление следующих работ. В начале XIX в. пражский профессор Герстнер нашел одно из возможных точных решений (для бесконечной глубины жидкости). Зыбь Герстнера описывается весьма простыми формулами. Но в течение более чем ста лет этот результат оставался, изолированным, единственным примером прогрессивных волн конечной амплитуды. Его физическое значение тоже ограниченно, так как движение при зыби Герстнера является вихревым, следовательно (согласно классической теореме Лагранжа), не может быть создано из состояния покоя (как и не может быть разрушено) под действием потенциальных сил. [c.280]

Чтобы объяснить этот результат физически, нужно принять во внимание, что в предыдущем исследовании не было учтено влияние силы тяжести. Предположим, что пластина шириной I движется горизонтально со скоростью и, причем ее нижняя часть находится ниже поверхности жидкости на глубине Ь и составляет угол di с горизонталью. Предыдущий результат показывает, что по мере того как скорость v увеличивается, высота волны, возникающей перед пластиной, безгранично возрастает в океане бесконечной глубины, находясь в равновесии для достаточно больших скоростей, даже если Ь отрицательно. Аналогичное замечание справедливо и при проникании в океан струи, что можно рассматривать как предельную форму соударяющихся струй модели п. 4, в которой две струи сливаются. Случай океана конечной глубины будет рассмотрен в гл. V, п. 6, 7. [c.70]

Рассмотрим сначала безвихревые периодические волны длины X на жидкости конечной глубины к (при й = со получаем случай бесконечно глубокой жидкости). [c.456]

Основные уравнения. В 11 при рассмотрении волн, распространяющихся на жидкости конечной глубины, была выведена формула (11.7) для скорости распространения волн с в том случае, когда длина волны X весьма велика в сравнении с Л [c.512]

В настоящее время значительные успехи в решении задач этого класса достигнуты при использовании различных численных методов (см. обзор в [4]). Наиболее глубоко стационарная нелинейная задача о движении вихря под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины исследована в [5]. Предложен численно-аналитический метод расчета докритических режимов обтекания вихря. Основное отличие предложенного метода от предыдущих - возможность расчета волн любой длины и крутизны. Введено понятие предельного режима обтекания как режима с максимально возможной интенсивностью вихря, при которой существует стационарное решение. Выявлено три типа предельных режимов задачи обтекания вихря. Приведен анализ чисел Фруда, при которых реализуется выход на тот или иной предельный режим. [c.126]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Между длинными безвихревыми гравитационными волнами в жидкости постоянной малой глубины и волнами сжатия в адиабатическом газе при т = 2 существует замечательная аналогия. Длинные гравитационные волны бесконечно малой амп-литуды распространяются с постоянной скоростью с = Уgh без изменения своей формы, совсем как при линеаризованном приближении сверхзвукового течения в 10. Длинные гравитационные волны конечной амплитуды распространяются со скоростью которая возрастает с увеличением местной высоты волны. Следовательно, гребень всякой длинной волны на мелководье нагоняет впадину так, как это описано в 13. Наклон фронта волны постепенно становится все круче, пока он не станет вертикальным, и волна, наконец, обрушивается под собственной тяжестью. [c.41]

При Re—>-оо уравнение (5-75) принимает канонический вид уравнения Кортевега де Фриза, полученного в конце прошлого века для волн на повер.чности тяжелой жидкости конечной глубины. Характерные решения этого уравнения, иллюстрирующ11е эволюцию единичного куполообразного возмущения поверхности, показаны на рис. 5-7. [c.122]

Работа Ю. П. Красовского содержит еще ряд новых фактов и, в частности, ряд теорем несуществования . Например, Красовским дано строгое доказательство невозможности существования в незавихренной однородной жидкости уединенных волн типа впадины. Далее, им показано, что в бесконечно глубокой жидкости не может существовать уединенная волна, в жидкости конечной глубины также не могут существовать уединенные волны, если только число Фруда меньше 1, и т. д. Работа Ю. П. Красовского является, бесспорно, важным вкладом в теорию волн. Во всяком случае, она наглядно продемонстрировала возможности новых методов анализа, не являющихся традиционными в гидродйнамике. Однако вопрос о существовании предельной волны Стокса остается и по сей день открытым. Дело в том, что, по существу, методы, используемые Ю. П. Красовским, позволяют исследовать только аналитические решения, в то время как предельная волна, по-видимому, уже не будет аналитическим решением. Трудности исследования предельной волны связаны не только с ее неаналитичностью. При доказательстве теорем существования всегда важную роль играют априорные оценки решения. В задачах теории волн большое значение имеет априорная оценка снизу модуля скорости частиц жидкости на свободной поверхности. В задаче о предельной волне не удается указать такое положительное число, которое ограничивало бы снизу величину модуля скорости, поскольку в вершине волны эта величина обращается в нуль. [c.61]

Стоячие волны. В работе Tadjbakhsh, Keller (1960) на основе разложения решения для стоячих волн в жидкости конечной глубины Н до третьего порядка но амплитуде обнаружен интересный нелинейный эффект, который заключается в том, что частота колебаний возрастает с амплитудой для воли, длина которых превышает значение А>к 5, 94ii, и, наоборот, убывает для волн длины меньшей А>к. При А = А>к частота от амплитуды не зависит. Точнее, для безразмерной частоты была получена следуюгцая зависимость [c.70]

Теория безвихревых волн получила дальнейшее развитие в исследованиях Рейлея (1876 г.), однако решение все еще оставалось приближенным. И лишь в 1921 г. советским ученым А. М. Некрасовым было получено точное решение этой задачи для периодических волн установившегося типа конечной высоты на поверхности глубокой тяжелой жидкости. В 1927 г. А. М. Некрасов дал строгое доказательство для таких же волн при жидкости ограниченной глубины. Уравнения [c.515]

Теория мелкой волы. Здесь дается вывод приближенных уравнений, описывающих динамику волнового движения идеальной несжимаемой жидкости на поверхности водоема конечной глубины при условии, что толщина слоя жидкости мала по отношению к характерному горизонтальному размеру (например к длине волны). Оказывается, что гюлучаемая модель этой задачи, казалось бы не имеющей отношения к динамике, в точности совпадает с уравнениями движения политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2. Возникающая при этом гидродинамическая аналогия не только дает за.мечательный пример единства природы волновых явлений, но может быть полезной и при анализе конкретных движений. [c.128]

Решим в заключение задачу о волнах на поверхности жидкости конечной глубины. В отличие от предыдущей, в этом случае надо сконструировать решение так, чтобы на дне вертикальное перемещение частиц обращалось в нуль. Сделать это можно, если обратить внимание на то, что во всех предыдущих рассуждениях нигде не требовалось предполагать, как мы, ни говоря об этом ни атова, сделали во всех предыдущих выкладках, что вращение жидкой частицы происходит так, чтобы на гребне волны скорость вращательного движения была направлена против набегающего потока жидкости, т.е. чтобы скорость на гребне была меньше, а во впадине больше скорости потока. С равным правом можно предположить и обратное направление вращения, из-за чего скорость частицы на гребне станет больше скорости ее во впадине. С энергетической точки зрения это выглядит странновато, но если предполагать, что поток создан за счет работы какого-то источника энергии, то нетрудно понять, что ничто не мешает некоторой части этой работы быть использованной на то, чтобы поднять жидкую частицу со впадины на гребень и при этом еще и увеличить ее скорость. Повторив выоадки предыдущего раздела, а проще всего просто изменив в них знак угловой скорости, нетрудно получить, что в волне с та КИМ направлением вращения амплитуда обязана экспоненциально возрас тать с глубиной. Значит, на глубине и должен находиться источник, застав ляющий частицы жидкости двигаться столь странно. По существу, появле ние дна в задаче сопровождается появлением сил, действующих со сто роны дна на поток жидкости. [c.150]

При распространении прогрессивной волны по поверхности жидкости бесконечной глубины частицы жидкости на бесконечной глубине находятся в покое. По отношению к покоящейся в бесконечности жидкости и берется скорость прогрессивной волны с. Но по отношению к каким частям жидкости следует измерять скорость волны в канале конечной глубины, ведь все частицы жидкости находятся в этом случае в движении Покажем, что центр тяжести всякой массы жидкости, содержащейся в какой-нибудь момент времени (например, в начальный) между свободной поверхностью,/дном канала и двумя прямыми линиями удаленными друг от друга на расстояние длины волнынаходится в покое. [c.37]

Методика, использованная в этом пункте, была формализована Стокером [1957] для описания поверхностных волн в жидкости. Эта методика была использована при рассмотрении взаимодействия капиллярных и гравитационных волн на воде бесконечной и конечной глубины Пирсоном и Файфом [1961] и Баракатом и Хаустоном [1968] соответственно. Она использовалась также Мэслоу и Келли [1970] при рассмотрении волн в течении Кельвина — Гельмгольца. [c.90]

Результаты, полученные в полной нелинейной постановке, весьма немногочисленны. В [17] с использованием локального метода конечных элементов рассмотрена задача о движении крылового профиля под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины. Решение в данной работе строится с приближенным учетом системы волн, возникающих в дальнем поле за профилем, и полученной на основе линейной теории. Для решения этой же задачи в [18, 19] использовался метод граничных интегральных уравнений. В [20] рассмотрена задача об определении гидродинамических реакций контура, движущегося на небольшой глубине. Жидкость идеальна, а распространение волн, генерируемых телом, описывается уравнениями Тулина, модифицированными с учетом ненулевого угла атаки. Численное решение осуществляется с помощью панельного метода, при этом используются нелинейные граничные условия на свободной поверхности и постулат Кутта - Жуковского в задней кромке профиля. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными. Следует отметить, что волны, представленные в этой работе, далеки от максимально возможных для поверхностных гравитационных волн. [c.127]

Теория неустановившихся волновых движений обширна и имеет много интересных направлений. В настоящей статье я остановлюсь только на одной из групп задач этой теории — на проблеме стоячих волн, составляющей один из больших разделов теории неустановившихся волн. Здесь возникает много интересных вопросов даже в линейной теории. Элементарными являются только задачи о волнах малой амплитуды над гладким горизонтальным дном или в цилиндрическом сосуде. В то же время существует большое число технических задач, требующих расчета стоячих волн на поверхности жидкости, заключенной в сосуд весьма сложной формы. Исторически п.ервыми задачами подобного рода были задачи об озерных сейшах — свободных колебаниях, возникающих в водоемах. Даже предположение малой глубины водоема не делает задачу доступной аналитическому исследованию. Возникающие краевые задачи остаются настолько сложными, что аналитическое решение для них получено только в исключительных случаях. Большое количество работ, многие из которых опубликованы в последнее время, посвящено различным численным аспектам теории сейшей. Теорией стоячих колебаний жидкости интересуются также инженеры, проектирующие порты и портовые сооружения. К числу задач теории стоячих волн, решение которых важно при проектировании порта, относится знаменитая проблема тягуны . Эта проблема сводится в конечном счете к определению точек, находящихся посредине между узлами. В этих точках горизонтальные перемещения воды наиболее значительны. Если около причала окажется такая точка и в этом месте расположится судно, то при возникновении стоячих волн оно начнет совершать большие горизонтальные перемещения колебательного характера. Все это будет сопровождаться ударами о причал и может привести к повреждению корпуса судна. [c.62]

Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.) [c.64]

Следуя Броеру [92], получим параметр Урселла формальным путем и обсудим проблему взаимодействия нелинейности (или амплитудной дисперсии) и дисперсии (т. е. фазовой дисперсии) при распространении волн. Уравнение Буссинеска (1.6) приблизительно описывает распространение плоских волн конечной амплитуды в слое жидкости постоянной глубины, когда отношение глубины к длине волны хотя и мало, но не пренебрежимо, как в теории приливов. Классическая форма этого уравнения такова [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...