Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода)

Составление уравнений движения. Уравнения движения составим в форме уравнений Лагранжа 2-го> рода, выбрав в качестве обобщенной координаты угол фь отсчитываемый от горизонтальной оси х системы координат Охуг [c.106]

Прежде всего рассматривается задача о равновесии системы (статика системы), решение которой дается на основе принципа возможных перемещений. Вводится понятие обобщенных сил и формулируются аналитические условия равновесия. Здесь же можно кратко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия. Далее, как обычно, рассматривается принцип Даламбера и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода. Тем самым указывается метод решения основных задач динамики несвободной системы. Здесь же рассматриваются некоторые другие вопросы. Две системы активных сил, приложенных к определенной системе точек, называются эквивалентными, если их обобщенные силы совпадают при каком-нибудь выборе обобщенных координат (или если они выполняют одинаковую работу на любом возможном перемещении). Это определение вытекает из того факта, что активные силы входят в уравнения движения только через обобщенные силы, вследствие чего замена системы сил ей эквивалентной не сказывается на движении. Следует иметь в виду, что две эквивалентные в указанном смысле системы сил могут вызывать, конечно, различные реакции связей. Но в ряде задач эти реакции не представляют интереса и это различие можно игнорировать. Если это не так, то с помощью принципа освобождаемости реакции связей следует перевести в разряд активных сил. [c.75]

План решения. Система имеет две степени свободы. Основные уравнения задачи следуют из уравнения Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенных координат принимаем горизонтальные и вертикальные перемещения узла х ж Х2- Предполагая, что упругие силы линейно зависят от перемещений, записываем уравнение Лагранжа [c.343]

Уравнения Лагранжа 2-го рода в новых обобщенных координатах Хи Хг,. .х будут иметь следующую простую форму [c.508]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Таким образом, движение голономной материальной системы можно описать, составляя систему уравнений Лагранжа 2-го рода в виде (4.67). Специфическая (очень удобная ) форма этих уравнений при первом знакомстве с ними как бы скрывает их структуру, и мы не видим, как в уравнения входят производные по времени от обобщенных координат, к какому виду дифференциальных уравнений могут быть отнесены уравнения Лагранжа в каждом конкретном случае. [c.213]

Мы уже убедились в том значении, которое имеет кинетическая энергия системы при составлении уравнений Лагранжа 2-го рода. В каждой задаче, решаемой с помощью уравнений Лагранжа, после подсчета числа степеней свободы системы и выбора обобщенных координат, нужно составлять выражение кинетической, энергии. Поэтому очень важно знать характер зависимости кине- [c.215]

Для описания движения гироскопа в кардановом подвесе удобно применить уравнения Лагранжа 2-го рода, приняв в качестве обобщенных координат углы ф, г] и 0. [c.421]

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин ). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2-го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом ). [c.848]

Однако бывают случаи, когда силы зависят не только от положения, но еще и от скорости и времени или зависят только от скорости или от времени. Например, в электродвигателях (кроме синхронных машин переменного тока) развиваемый ими движущий момент зависит, как правило, от угловой скорости их ротора точно так же в центробежных насосах и вентиляторах потребляемый момент изменяется в квадратичной зависимости от угловой скорости (о механических характеристиках машин см. п. 27). В этих случаях теорема об изменении кинетической энергии не может свести задачу i интегрируемым дифференциальным уравнениям (так как работа сил не может быть определена без знания самого закона движения), поэтому задача определения движения машины должна в таких случаях строиться на решении дифференциального уравнения движения системы в обобщенных координатах, соответствующего обобщенным силам или обобщенным моментам, т. е. так называемого дифференциального уравнения Лагранжа 2-го рода. Для установления этого уравнения воспользуемся зависимостью (48). Из нее для бесконечно малого промежутка времени получим [c.251]

Уравнения движения системы материальных точек в обобщенных координатах д, 2, , Яп заданы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода [c.204]

Если кинетическую энергию можно представить в виде Т = 0.5g /(q ), где f q) — известная функция обобщенной координаты, то уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид [c.308]

Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода) [c.490]

Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.225]

Динамические уравнения Эйлера в виде (6.60) не являются уравнениями Лагранжа 2-го рода, так как углы поворота тела вокруг ортогональных осей не могут быть выбраны в качестве обобщенных координат. Но, разумеется, уравнения (6.63) могут быть получены из (6.60) и, наоборот, от (6.63) можно перейти к симметричной записи уравнений в виде (6.60). [c.387]

Рассмотрим системы материальных точек и тел с идеатьными голономными связями и, следуя Лагранжу, выведем уравн. ния движения таких систем в обобщенных координатах — уравнения Лагранжа 2-го рода. Как станет ясно из самого вывода уравнений, предположение относительно голономности связей здесь очень существенно. Кроме того, существенно также, чтобы переход от декартовых координат, определяющих положение материальных точек и тел относительно инерциальной системы отсчета, к обобщенным независимым координатам совершался с помощью конечных формул точечного преобразования (см. 4). [c.209]

После того, как мы нашли силы Q и составили выражение функции и, позволяютцее определить посредством (1.15) силы деформации пневматиков и, следовательно, силы реакции, действуюгцие на баллонное колесо со стороны дороги, нам известны все силы, действующие на рассматриваемую систему. Для системы, освобожденной от кинематических связей (1.14) с заменой их соответствующими силами реакции, уравнения движения записываются в виде обычных уравнений Лагранжа 2-го рода. При этом существенным является то, что после приведения сил деформации -го пневматика к точке /Сг, положение которой определяется через обобщенные координаты Я] и = 1,2,..., п)у уравнения Лагранжа 2-го рода следует составлять лишь для координат используя уравнения кинематических связей для выражения сил реакций. Найдем выражения обобщенных сил R ( , ф, %) реакций кинематических связей, обусловленных деформацией пневматиков. Для этого составим выражение виртуальной работы сил и моментов (1.15) [c.324]

Пользуясь формулой (26), легко показать, что уравнения Лагранжа 2-го рода являются обыкновенными дифференциальными уравыепиями второго порядка относительно обобщенных координат. В сахмом деле, из формулы (26) следует, что [c.495]

При решении задач методом уравнений Лагранжа 2-го рода полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Прежде всего нужно определить число степеней свободы рассматриваемой механической системы и выбрать обобщенные координаты. Затем следует установить связь между декартовыми и обобщенными координатами, т. е. установить зависимости типа уравнений (12). После этого нужно составить выражение для кинетической энергии в функции обобщенных координат. В большинстве практических задач кинетическая энергия определяется простыми формулами на основании теоремы Кёнига формулами (25) или (26) приходится пользоваться сравнительно редко. При определении обобщенной силы можно пользоваться формулой (150 или находить ее, руководствуясь следующими соображениями. Пусть требуется найти обобщенную силу Рд, отнесенную к координате Дадим точкам системы такие [c.496]

Система уравнений Лагранжа 2-го рода представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой неизвестными функциями времени явлйются обобщенные координаты д,. Число неизвестных функций — в силу голономности системы —равно числу уравнений. [c.212]

ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ (кинетический потенциал) — характеристич. фуню(ия L (q,-, q,-, f) механнч. системы, выраженная через обобщенные координаты обобщённые скорости qi и время t. В простейшем случае < -сервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через д,- и д/, т. е. L= Т q,-, qi, t) — П (g,). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные ур-ния движения механич, системы. Понятие о Л. ф. распространяется и на др. физ. системы (см. Лагранжиан, Лагранжа уравнения механики 2-го рода, Лагранжев формализм). [c.543]

Составление уравнений Лагранжа для электрических цепей с сосредоточенными параметрами Уравнения движения для соответствующих электрической и механической систем аналогичны. Но уравнения механической системы можно получить, используя методику составления уравнений Лагранжа. 2-го рода если использовать ту же методику, но вместо обычных механических величин брать электрические, по приведенной таблице, то уравнения Лагранжа, например, вида (1) будут являться уравнениями многоконтурной электрической системы. Рассмотрим систему рис. 3. Нетрудно убедиться, что эта система имеет две степени свободы например, задание силы тока /1 на участке АВ и /2 на участке ВС полностью определяет силу тока на любом участке. Действительно, обозначая /3 силу тока на участке ВЕ, из условия = 4 + (так как при разветвлении в точке В потерь тока не происходит), находим = —121 при слиянии тока с участков ОЕ и ВЕ получаем для ЕР (и ЕА) силу тока /2+( 1— 2)= . Можно считать, что ток в цепи получается за счет тока 1 по контуру АВЕР и тока /2 по контуру ВСВЕ тогда на ВЕ — разность токов 1 —/2. Так же, как выбор обобщенных координат для механических систем, выбор определяющих токов неоднозначен. Можно, например, принять за основные ток на АВ и ток 2 на ВЕ остальные токи при этом выборе определяющих параметров показаны на рис. 4. Сила тока равна скорости изменения величины заряда объекта обобщенные координаты в данном случае — величины зарядов д и 2, отсчитываемые от некоторого уровня. Индексы у параметров цепи берем соответственно токам на АВ при токе (если есть еще индуктивности при токе /1, то и т. д.), Си при токе /1—/2 и т. д. [c.118]

Задание № 4. В этом же варианте, взяв за обобщенную координату угол ф, с помоихью уравнения Лагранжа 2-го рода определите угловое ускорение балки, как функцию угла ф. [c.189]

Это уравнение носит название дифференциального уравнения движения машины в форме дифференциального уравнения движенияточки переменной массы. Оно вместе с тем представляет собой уравнение Лагранжа 2-го рода при обобщенной координате, взятой в виде перемещения [c.252]

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнениедвижения машины в форме дифференциального уравнения вращения тела с переменным моментом инерции, а вместе с тем оно является уравнением Лагранжа 2-го рода при обобщенной координате в виде угла ф. [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...