Метод Биркгофа

В методе Биркгофа нормализующее преобразование (96) задается неявно с помощью производящей функции S X, р, t) и имеет вид [c.213]

Вместе с тем отметим, что изложенный классический метод Биркгофа обладает рядом существенных недостатков, особенно проявляющихся при нормализации многомерных гамильтоновых систем до членов высокого порядка с применением ЭВМ [c.214]

МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 307 [c.307]

МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 309 [c.309]

Описанный метод приведения к нормальной форме, основанный на использовании производящих функций, называется методом Биркгофа. Он удобен для выяснения структуры нормальной формы. Для проведения вычислений в конкретных задачах удобен другой метод, основанный на привлечении однопараметрических групп Ли. [c.310]

МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 311 [c.311]

МЕТОД БИРКГОФА НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 313 [c.313]

Этот результат формально не вытекает из теоремы 1, поскольку мы не предполагаем аналитичности поля и по координатам 91,92- Доказательство теоремы 2 основано на методе Биркгофа (см. п. 2 2). [c.154]

Ниже даны доказательства теорем 1-4, основанные на методе Биркгофа. [c.159]

Применяя метод Биркгофа (см. 11 гл. П), в окрестности положения равновесия можно найти каноническое преобразование х,У р, Я, аналитическое по и такое, что в новых координатах [c.320]

В книге Методы теории размерностей и теории подобия в механике , вышедшей в 1944 году ), автором настоящего предисловия была предпринята попытка внести некоторый порядок в рассматриваемые теории. Ряд примеров и соображений, содержащихся в этой книге, можно найти и в предлагаемой книге Биркгофа. Еще до этого в книге Бриджмена Анализ размерностей (2-е английское издание вышло в 1931 г.) ) было дано систематическое изложение теории размерности. Однако книга Бриджмена оказалась недостаточной для установления правильной точки зрения на связь между теорией размерности и теорией подобия. После ее появления неоднократно высказывалось мнение, что следствия из анализа размерностей и из теории подобия не являются эквивалентными. От этих сомнений не свободен и Биркгоф в предлагаемой книге (см. гл. IV). [c.8]

В книге Биркгофа сделана попытка привлечь к проблеме интегрирования уравнений гидромеханики методы теории групп, что позволяет обозреть с единой точки зрения свойства различ- [c.10]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

В частности, все еще неизвестно, сходятся ли преобразования Биркгофа в ограниченной задаче трех тел при фиксированном отношении масс в окрестности лагранжевых равновесных решений. По поводу этой задачи К. Зигель заметил, что она, по-видимому, лежит вне возможностей известных методов анализа [60]. [c.311]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Символич. системы играют в Э.т. двоякую роль. Во-первых, они используются для проверки тех или иных общих идей, во-вторых, составляют основу метода символич. динамики, позволяющего успешно изучать нек-рые классы ДС путём построения их символич. моделей. Суть этого метода, восходящего к Ж. Адамару (J. S. Hadamard), Биркгофу и М. Морсу (М. С. Morse), со- [c.631]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения физико-математических наук АН СССР Теория точечных преобразований Пуанкаре— Брауера—Биркгофа и теория нелинейных колебаний . [c.94]

В последнее время пользовались предположением о проводимости через неограниченный объем расширяющейся жидкости, в которой имеется такое распределение температуры, что Я возрастает строго пропорционально корню квадратному из времени. Скривен [23], а также Биркгоф, Гаррет, Маргулис и Хорнинг [3] пошли именно по такому пути. Эти уравнения решаются численными методами, причем простого решения в общем виде не существует. Когда перегрев жидкости значительно меньше скрытой теплоты парообразования и когда плотность жидкости значительно больше плотности пара (и то и другое справедливо для рассматриваемых здесь опытов), общее решение упрощается и сводится точно к уравнению (3). [c.333]

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равно-ise Horo решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято иа- 1ывать нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [c.195]

Первый завершенный метод нормализации гамильтонианов был изложен Дж. Биркгофом [162], хотя и до него Ш. Делоне [221 и С. Ньюкомб [110] фактически пользовались таким математическим аппаратом в теории движения Луны и больших нланет. [c.213]

Истоки рассмотренных ниже исследований по устойчивости нелянуновско-го типа лежат в области небесной механики. Исследования Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений привели их автора к таким сопоставлениям. Мы закончим этот раздел кратким обзором развития тех относящихся к теории устойчивости идей, которые разрабатывались Пуанкаре, а затем главным образом Дж. Биркгофом, что в значительной мере составляет одновременно заметную часть истории качественных методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.135]

Вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу также для широкого круга гладких дуг (см. М. А. Лаврентьев [2] н Биркгоф и Сарантонелло [4]). [c.185]

Этот аргумент был выдвинут в 1945 г. Лумисом и Биркгофом, но не был опубликован в 1944 г. Мунцнер и Рейхардт пришли к тому же заключению эмпирически (UM № 6616). В связи с этим см. также работу Tulin М. Р., DTMB Rep. 834, 1953, По-видимому, метод Тулина можно приспособить к рассмотрению осесимметричных течений. [c.303]

В общем случае метод позволяет вскрыть важные свойства движений путём сравнения их не только с возможными, но и с невозможными (перефразированное высказывание Эддингтона в отношении принципа Гамильтона [87]). Такая широкая свобода сравнений открывает целый спектр направлений исследования интегральных свойств движения на базе современных методов неголономной механики [101], обратных методов аналитической динамики, движения систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу [24 связей [c.11]

В настоящей работе мы сосредоточили внимание на применении метода виртуального варьирования и метода переменного действия в области механики в связи с изучением классических дифференциальных и интегральных принципов. Метод переменного действия позволяет изучать основные образы всех трёх картин механики силовой, энергетической и геометрической. Без понятия о действии не обходятся и в других областях естествознания. Вспомним, например, принцип неопределённости в квантовой механике законы сохранения и симметрии уравнений движения в математической физике теорию интегральных инвариантов построение аналитической динамики систем Гельмгольца, Биркгофа и Намбу и т. д. Эти и многие другие направления исследования остались вне рамок книги. Обобщая сказанное, можно заметить важнейшую роль понятия о действии в развитии теории несвободных динамических систем и в становлении новой парадигмы науки в целом. Достаточно отметить, что понятие о действии стоит в одном ряду с понятиями энтропии и информации, которые являются концептуальными для естествознания. [c.264]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Итак, каждой траектории 8 г), г В, п Ъ, содержащейся в квадрате В сопоставлена последовательность символов и) = о п , причем действию отображения 3 отвечает ее сдвиг на один элемент влево. Этот метод кодировки траекторий восходит к работам Адамара, Биркгофа, Морса, Хедлунда по исследованию геодезических на замкнутых поверхностях отрицательной кривизны и составляет содержание символической динамики". Подробнее с этой теорией можно ознакомиться по книгам [4, 221]. [c.303]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...