Инварианты гамильтоновых систем

Основной и универсальный классические интегральные инварианты гамильтоновых систем. Пусть при движении гамильтоновой системы сохраняется интеграл (интегральный инвариант, открытый Пуанкаре) [c.225]

Инварианты гамильтоновых систем [c.284]

ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 285 [c.285]

ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ [c.287]

ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 289 [c.289]

Доказательство. Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть преобразование (113) каноническое. Тогда оно преобразует старую гамильтонову систему в новую гамильтонову систему. Для преобразованной, новой системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре [c.313]

Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильтоновых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов. [c.274]

Полезным понятием при изучении эволюции решений гамильтоновых систем на конечных, но асимптотических больших интервалах времени (порядка х ) является понятие адиабатического инварианта [166]. [c.203]

Д. Адиабатические инварианты. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, с функцией Гамильтона Н р, q Ц, зависящей от параметра к. [c.262]

Использование методов топологического анализа к интегрированию задач динамики твердого тела, а именно изучение перестроек торов Лиувилля при прохождении через критические значения, впервые предложено М. П. Харламовым [170] и получило свое развитие в теории топологических инвариантов, созданной для классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Почти все известные результаты, полученные с помощью этой техники, представлены в недавно вышедшей книге [25]. Комплексные методы, в основном приводящие к тем же результатам, пропагандируются в книге М. Оден [134]. [c.16]

Для гамильтоновых систем, кроме законов сохранения — первых интегралов — имеют место законы сохранения особого вида интегральные инварианты. Потребуется понятие трубки прямых путей. [c.118]

Из теоремы 9 можно вывести интегральный инвариант Пуанкаре—Картана, играющий важную роль в теории гамильтоновых систем. Пусть 7о — замкнутый путь в расширенном фазовом пространстве Р его можно задать периодической функцией [c.69]

Детально изучены адиабатические инварианты линейных многочастотных систем [1641. Эта теория относится к линейным гамильтоновым системам с периодическими по времени коэффициентами, зависящими, кроме того, от плавно изменяющегося со временем параметра Я = Я(е/). Предполагается, что при каждом фиксированном Я система сильно устойчива, т. е. она устойчива и любое достаточно малое изменение коэффициентов не нарушает устойчивости. Все мультипликаторы сильно устойчивой системы лежат на единичной окружности и отличны от 1 (см., например, [61). Поэтому при изменении Я мультипликаторы перемещаются по верхней и нижней единичным полуокружностям, не переходя с одной полуокружности на другую . [c.220]

Из этого определения следует, что для первых интегралов величину е можно взять равной нулю. Знание адиабатических инвариантов гамильтоновых систем позволяет иногда значительно продвинуть проблему инте1 рируемости нелинейных систем. [c.203]

Фоменко А, Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц, анализ и его прил, —1988, т, 22, 4, 38-51, [c.424]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

В этой книге впервые предпринята попытка систематизировать результаты по проблеме интегрируемости гамильтоновых систем, полученные за последние 10-15 лег, а также дать современное изложение классических результатов по этой тематике. Структура книги такова. Во введении дан исторический обзор исследований по проблеме интегрируемости уравнений динамики. Основы гамильтоновой механики изложены в гл. I. Глава II посвящена методам точного интегрирования уравнений Гамильтона в ней обсуждаются различные аспекты понятия интегрируемой гамильтоновой системы. В гл. III указаны грубые препятствия к интегрируемости, выраженные через топологические инварианты конфигурационного пространства. Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в гл. IV-VIIL Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики. Особое место занимает обсуждение механизма стохастизации гамильтоновых систем при малом изменении функции Гамильтона. [c.7]

Для того, чтобы провести классификацию динамических систем, естественно искать их инварианты относительно соответствующей группы группы аффинных преобразований для геодезических потоков, группы канонических преобразований для гамильтоновых систем, группы сохраняющих меру диффеоморфизмов для классических систем. Абстрактные инвар нты име1ё более г окий смысл и задаются следующим определением. [c.19]

Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического инварианта. Для одночастотных гамильтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В переменных /, <р. У, X, введенных в п. 4. 1, гамильтониан задачи имеет вид [c.221]

Именно так формулировал свою теорему Пуанкаре. Эта теорема аналогична теореме Томсона из гидродинамики. Интеграл (6.12) называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре. Слово универсальный означает, что интеграл (6.12) является инвариантом для всех гамильтоновых систем, заданных на одном и том же фазовом пространстве. Согласно теореме Ли Хуа-Чжуна [69], любой универсальный инвариант первого порядка отличается от инварианта Пуанкаре лишь постоянным множителем. Более того, как установлено в работе [38], конкретные гамильтоновы системы со сложным поведением фазовых траекторий вообще не допускают других интегральных инвариантов. Примером могут служить уравнения задачи трех тел. [c.71]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Пусть в гамильтоновой системе с п>2 степенями свободы зависимость гамильтониана Е от всех координат, кроме одной (обозначим ее q), плавная Е=Е(р, q, у, ех). Здесь q, д —координаты, а р, у — сопряженные им импульсы . Адиабатический инвариант такой системы — это функция фазовых переменных, изменение которой мало на временах 1/е. Систему с одной степенью свободы, в которой ех= onst, = onst, назовем невозмущенной. Пусть фазовый портрет невозмущенной системы содержит замкнутые траектории (рис. 46), частота движения по которым отлична от нуля, так что можно ввести переменные действие — угол [c.215]

Основные принципы механики достаточно полно и подробно изложены в книгах 161, [20). [21], [ЗЭ]. С генезисом основных понятий механики можно познакомиться по книге [28]. В [26] содержится оригинальное построение динамики, в которой отсутствует понятие ускоряющей силы искривление траекторий вызывается лишь связями, наложенными на систему. Сборник статей [10] дает хорошее представление о развитии вариационных методов классической механики до 1950 года. В книге [23] развивается систематический подход к гамильтоновой механике, основанный на использовании интегральных инвариантов. Работа [25] содержит построение теории гамильтоно вых систем со связями. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...