ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лагранжа о равновесии системы из "Курс теоретической механики Издание 2 " Лагранж рассматривал теорему только для случая двусторонних идеальных связей. Распространением теоремы на случай односторонних идеальных связей впервые занимался французский математик Ж. Фурье в связи с задачей о равновесии нити. В 1834 г. М. Г. Остроградским (1801—1861) была предложена полная формулировка с доказательством обобщенной теоремы Лагранжа для случая односторонних связей. [c.160] Доказательство. Необходимость. Пусть система материальных точек, на которую наложены освобождающие идеальные связи, находится в равновесии под действием активных сил с проекциями на неподвижные оси координат Ху, Уу, Z-j. [c.160] Заметим, что работа реакций связи на действительном перемещении системы всегда равна нулю, т. е. [c.161] Предполагая, что при выполнении условия (а) система не на.хо-дится в положении равновесия, мы обнаружили перемещение, на котором не выполняется условие (а), что противоречиво и, следовательно, система в действительности находится в равновесии. [c.162] Замечания. 1. В том случае, когда иа систему материальных точек наложены только двусторонние связи, теорема Лагранжа получает более простую формулировку. [c.162] Теорема. Для того чтобы рассматриваемое положение системы было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю. [c.162] Это уравнение называется общим уравнением статики. [c.162] Это условие говорит о том, что в положении равновесия силовая функция имеет стационарное значение для всех неосвобождаю-и пх перемещений системы. [c.163] Пример 44. Полиспаст (механизм, состоящий из двух блоков, каждый из которых смонтирован в общей обойме, причем блоки насажены на эбщую ось или на отдельные оси), как показано на рис. 124, оснащен нитью, один конец которой прикреплен к неподвижной точке, а другой остается свободным. Нить обходит последовательно все блоки, насаженные как на подвижные, так и иа неподвижные оси. К нижнему блоку подвешен груз весом Q, а к свободному концу нити приложена сила Р, которая должна уравновесить груз Q. Определить соотношение величин силы Р и веса Q при равновесии системы. [c.163] Пример 45. Два однородных стержня ВО и ОА соответственно длиной 2а и 21 и весом Р каждый могут свободно вращаться в одной вертикальной плоскости первый вокруг своей середины Ои второй вокруг шарнира О, расположенного на одной вертикали с Оь на расстоянии а от точки О) (рис. 125). К концу О стержня ВО прикреплен груз Q. Определить угол ф в положении равновесия системы. [c.164] Переходя к анализу освобождающих перемещений, которые могут появиться то.чько при потере контакта между стержнями, заметим, что здесь су.чма работ всех активных сил всегда будет отрицательна, так как освобождение сопровождается либо поднятием груза Q, либо поворотом вверх стержня ОА. Таким образом, рассмотренное положение является положением равновесия. [c.165] Пример 46. Однородный гладкий стержень АВ длиной 41 и весом Р опирается одним концом на гладкую вертикальную стенку и, кроме того, опирается в точке С на край неподвижного стола (рис. 126). Определить угол ф, который образует стержень со столом в положении равновесия, если расстояние от стенки до стола равно а. [c.165] При м е р 47. В полый цилиндр радиуса R, который может кататься ез скольжения по горизонтальной плоскости, вложен массивный цилиндр весом Р с радиусом г (рис. 127). К малому цилиндру в плоскости чертежа приложена пара сил с моментом М. На полый цилиндр на.мотана нить, несущая на свободном конце груз Q. Полагая поверхности цилиндров достаточно шероховатыми, найти положение равновесия системы и определить, при какой зависимости между данными силами оно возможно. [c.165] Вернуться к основной статье