Приближенные решения для прямоугольного сечения

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 63 [c.63]

Сен-Венан дал точные решения не только для эллиптического сечения, но также для равностороннего треугольного и для прямоугольного сечений, которыми мы еще займемся. Кроме того, он рассмотрел еще ряд сечений с контурами, образованными алгебраическими кривыми более высокого порядка, для которых точное решение легко указать. Эти контуры он брал такими, чтобы они не слишком отличались от применяемых в технике, для которых нельзя было найти одновременно простых и точных решений. Например, Сен-Венан заменил квадратное и прямоугольное сечения такими, контуры которых образованы кривыми четвертого порядка, подходящими к сторонам этих сечений весьма близко. Это приводит к приближенной теории для квадратного и прямоугольного сечений, точное решение для которых не слишком отличается от решений для сечения, измененного указанным образом. Потребность в приближенном решении возникла потому, что точное решение для прямоугольного сечения можно представить лишь в вида бесконечного ряда, а не в конечной форме. Нам удобнее будет вывести приближенные решения другим путем, что мы и сделаем дальше. [c.58]

Если бы мы принимали во внимание только вертикальную стенку балки, то предположения предыдущего параграфа были бы выполнены полностью. Но не принимать во внимание горизонтальных полок нельзя, так как они в рассматриваемом явлении играют существенную роль. Мы на основании предыдущего знаем, что при переходе плоской формы равновесия в искривленную кроме изгиба приходится учитывать и кручение. В шестой главе мы уже детально занимались кручением прокатных балок и в 70 нашли удобное приближенное решение для двутавровой балки. Но в задаче об устойчивости плоской формы равновесия при изгибе кручение следует рассматривать совершающимся при других граничных условиях на концах балки, чем в случае чистого кручения. Как и в предыдущем параграфе, мы рассмотрим случай балки, защемленной одним концом. Если бы на свободном конце такой балки действовал крутящий момент, ось которого совпадала бы с осью балки, то мы не получили бы случая чистого кручения, так как на защемленном конце поперечное сечение вынуждено оставаться плоским, в то время как в случае чистого кручения оно перекашивалось бы ). Чтобы осуществить такие граничные условия в точности, можно поступить так воспрепятствовать повороту обоих концов балки около оси ее, а к среднему сечению приложить некоторый момент. Тогда вследствие симметрии среднее поперечное сечение будет оставаться плоским. Само собой разумеется, что сказанное относится к балке любого сечения. В предыдущем параграфе в случае прямоугольного сечения мы это обстоятельство оставляли без внимания, так как там оно большого влияния не оказывало. В случае же двутавровой балки дело обстоит иначе. Сохранение плоской формы концевого сечения имеет здесь потому большее влияние на угол закручивания балки, который получается от действия на свободный конец крутящего момента, что в силу рассматриваемого граничного условия горизонтальные полки, особенно вблизи места защемления, работают на изгиб. Подобный случай кручения стержня эллиптического сечения при [c.335]

Исследуем подробнее вопрос о вероятной ошибке при приближенном решении. Для этого рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, загруженную на конце моментом (фиг. 7) при—= 0. Такой выбор обусловлен следующими причинами [c.172]

Для стержня прямоугольного поперечного сечения линии уровня и поверхность z = F (х, у) имеют вид, показанный на рис. 5.6, однако получить выражение функции F значительно труднее, чем в случае стержня круглого сечения. В том случае, когда сечение имеет форму прямоугольника, вытянутого в одном направлении так, что одна его сторона во много раз меньше другой стороны (рис. 5.7, а), с помощью мембранной аналогии легко можно найти приближенное решение. [c.138]

Широкое применение для оребрения труб имеют поперечные, круглые или квадратные, ребра. Для круглых ребер прямоугольного сечения имеются точные аналитические решения задачи охлаждения Л. 3-15, 3-5], для квадратных — приближенное аналитическое решение Л. 3-14]. Однако и эти решения неудобны для практического использования. [c.51]

Кручение стержня прямоугольного сечения. Тема о кручении стержней в течение ста с лишним лет, со времени классического мемуара Сен-Венана, была и остается предметом многочисленных исследований. Накопленные результаты необозримы, а для построения решений использовалось все многообразие точных и приближенных методов математической физики следует отметить и обратное влияние — задача кручения служила образцом, на котором развивались эти методы и проверялись возможности их эффективного использования. Далее будет приведено небольшое число решений для областей частного вида. [c.401]

Нормальные напряжения в поперечном сечении распределяются по гиперболическому закону. Сопоставление с точным решением для стержня с узким прямоугольным сечением (плоская задача в полярных координатах, решение Головина) показывает, что приближенное решение на основе гипотезы плоских сечений [формула (45) ] обладает [c.437]

Как отмечалось выше, изложенная теория чистого изгиба является приближенной технической теорией вследствие неточности второго допущения. Однако сопоставление точного решения данной задачи методами теории упругости с учетом взаимодействия между продольными волокнами, полученного русским ученым X. С. Головиным в 1880 г. для кривых стержней прямоугольного сечения, с приближенной формулой (12.10) выявляет значения погрешностей этой формулы, приведенные в табл. 12.1, в зависимости от го и высоты к. [c.368]

Из точного решения для бруса прямоугольного поперечного сечения, впервые полученного X. С. Головиным, непосредственно следует, что при чистом изгибе поперечные сечения действительно остаются плоскими. Расхождения между приближенным и точным решениями по С. П. Тимошенко объясняются тем, что при элементарном решении пренебрегают составляющей напряжения Ог и предполагают, что продольные волокна изогнутого бруса испытывают простое растяжение или сжатие (С. П. Тимошенко, Теория упругости, 1934, стр. 74). [c.96]

Установившаяся ползучесть скрученного бруса, поперечное сечение которого круглое, тонкостенный замкнутый профиль, тонкостенный открытый профиль или прямоугольное, рассмотрена в книгах [80] и [32]. За исключением последнего случая (прямоугольное сечение) задачи решены в замкнутом виде. Для бруса прямоугольного поперечного сечения в работе [32] приведено решение задачи вариационным методом, а в работе [80] — методом Бубнова — Галеркина. Приближенное значение жесткости для такого бруса в условиях ползучести дано в заметке П. Я. Богуславского [7]. [c.260]

Мы получили ряд решений плоской задачи для случая пластинки, ограниченной прямоугольным контуром. Каждому найденному решению соответствуют вполне определенные условия закрепления и вполне определенное распределение усилий по контуру. Например, в случае изгиба балки силой, приложенной на конце, мы предполагали закрепление одной точки и одного линейного элемента, проходящего через эту точку на левом конце балки, и нашли распределение напряжений в том предположении, что касательные усилия, приложенные к правому концу балки, изменяются по высоте балки по параболическому закону. Если способ закрепления балки будет отличаться от принятого нами или изгибающая сила Q будет распределена по какому-либо иному закону, то полученное нами решение не будет точным решением соответствующей задачи теории упругости. Однако во многих технически важных задачах им можно будет пользоваться для приближенного определения напряжений. Например, его можно применить к тому случаю, когда все точки опорного сечения балки закреплены и сила Q распределена любым образом по плоскости нагруженного концевого сечения балки. При этом погрешности будут тем меньше, чем меньше высота балки по сравнению с ее пролетом. [c.83]

В статье инж. Б. Г. Бажанова (ЦНИИСК) приводятся результаты экспериментальных исследований, проведенных на внецентренно сжатых стержнях прямоугольного и Н-образного сечений из алюминиевого сплава АВ-Т1. В статье дан также приближенный метод решения задачи устойчивости внецентренно сжатого стержня для тех же форм сечения. Приводится также сравнение теоретических значений критических сил, определенных с помощью предложенного приближенного метода, с результатами экспериментов. [c.19]

С другой стороны, методы, использованные в 165— 158, для того чтобы получить решение для тонкостенной круглой трубы, можно обобщить так, что они будут давать приближенное решение для труб других сечений малой постоянной толщины. Прямоугольный лист (рис. 47, а и й) с касательными напряжениями, действующими на его краях, можно представить себе изогнутым в Щ1линдр какой-нибудь некрз говой формы. Боковые стороны листа приводятся в соприкосновение и скрепляются точно так же, как и раньше. Пусть поперечное сечение получившейся трубы [c.205]

Всем требованиям статики, которые предъявляются как к точному, так и приближенному решению, мы удовлетворим, выбрав произвольную функцию напряжений F, которая, во-первых, во всех точках, расположенных на контуре, принимает одно и то же значение и в которую, во-вторых, входит одинаковый для всех членов множитель последний и должен быть определен таким образом, чтобы напряжения, дзЯствую-щие в сечении, уравновешивались, крутящим моментом М. В отдельных случаях вряд ли представит затруднение составление подходящего выражения для функции F, удовлетворяющей этим требованиям и одновременно содержащей одну или несколько произвольных постоянных. Для прямоугольного сечения, взятого нами в качестве основного примера применения рассматриваемого метода, это сделать во всяком случае легко, и притом это можно сделать различными способами. В других случаях при составлении подходящего выражения для функции F также не может встретиться никаких принципиальных затруднений, однако, вычисления могут оказаться столь сложными, что их будет трудно преодолеть, и по этой причине метод может оказаться непригодным. [c.62]

Приближенное решение, излагаемое ниже, пригодно для всех форм поперечных сечений, а для прямоугольного сечения весьма мало отличается от решения Головина. Обращаясь к рис. 169, гдеиг бра-жены два бесконечно близких сечения до и после деформации, найдем, что удлинение ли волокна, находящегося на расстоянии т] от нейтральной оси, есть т]9 ф. Здесь — угол поворота одного сечения относительно другого. Первоначальная длина aforo волокна / л = (е- -т1) ф. Поэтому относительное удлинение есть [c.246]

Приближенное общее решёние для плоского напряженного состояния. Для исследования напряжений в балке прямоугольного поперейого сечения, которая нагружена по верхней и нижней, поверхностям или торцам, но имеет свободные от нагрузок боковые поверз ности или грани, необходимо получить решение для плоского напряженного состояния, а большинство представляющих интерес случаев не охва[тывается точными решениями (3.12а) — (3.12в). Для того чтобы получить п риближе нное (но более, точное, чем в рамках классической теории балок) общее решение для плоского напряженного состояния, начнем с предположения, что Oz = Oxz Oyz = 0. Тогда при равных нулю объемных силах в направлении оси z третье уравнение равновесия системы [c.147]

Исследуя цилиндрические оболочки, подвергнутые внутреннему давлению, Грасхоф не только применяет формулы Ламе, но учитывает и местные напряжения изгиба, возникающие в тех случаях, когда края оболочки жестко соединяются с торцовыми плитами. В этом исследовании он пользуется дифференциальным уравнением прогибов продольных полосок, вырезанных из обо-лочки сменшыми радиальными сечениями ). Грасхоф дает также полные решения для некоторых случаев симметрично нагруженных круглых пластинок. Рассматривает он и равномерно нагружен-нью прямоугольные пластинки, предлагая для некоторых случаев приближенные решения. [c.163]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Установившаяся ползучесть скрученного бруса, поперечное сечение которого круглое, тонкостенный замкнутый профиль, тонкостенный открытый профиль, прямоугольное рассмотрено в книгах Л. М. Качанова [63], С. Д. Пономарева и др. [120], Ю. Н. Работнова [132]. За исключением последнего случая (прямоугольное сечение) задачи решены в замкнутом виде. Для бруса прямоугольного поперечного сечения в работе [63] приведено решение задачи вариационным методом на основе принципа минимума дополнительного рассеивания, а в работе [120] — методом Бубнова — Г алеркина. Приближенное значение жесткости для такого бруса в условиях ползучести дано в заметке П. Я- Богуславского [12]. Ряд задач установившейся ползучести скрученных призматических стержней решен в статье Пателя, Венкатрамна и Ходжа [117]. Авторы нашли верхние и нижние границы функций энергии и показали возможность получения двусторонних оценок угловой скорости при заданном моменте. При п = 3 разница между верхней и нижней границами состав- [c.229]

Из формулы (17.2) вытекает, что тонкостенные стержни односвязного (или, как часто говорят, открытого) профиля, составленные из прямоугольных полос, столь же невыгодны при кручении, как и длинная прямоугольная полоса, поскольку их жесткость значительно уступает жесткости стержня с круговым поперечным сечением той же площади. Необходимо, однако, подчеркнуть, что данное заключение нельзя рассматривать как окончательное. Оказывается тонкостенные стержни открытого профиля обладают (по сравнению со стержнями иных профилей) дополнительными ресурсами в отношении сопротивления на кручение. Суть дела состоит в том, что максимальный характерный размер торца стержня — высота профиля — в данном случае существенно превосходит наименьший характерный размер стержня—толщину полок или стенки профиля. Соответственно (см. 2), две статически эквивалентные нагрузки, приложенные к его торцам, могут вызвать существенно разные поля напряжений, причем различие это не будет носить локальный характер. В частности, если решить для тонкостенного стержня открытого профиля задачу о кручении, предположив (в отличие от постановки этой задачи по Сен-Венану), что депланация на торцах устранена, то жесткость на кручение получится гораздо большей, чем результат (17.2). На практике условия закрепления торцов скручиваемых стержней всегда. (в большей или меньшей степени) запрещают депланацию. Для нетонкостенных стержней это несущественно, ибо здесь действует принцип Сен-Венана. Иначе обстоит дело для тонкостенных стержней, стеснение депланации которых (на торцах) является весьма существенным фактором, оказывающим решающее влияние на величину жесткости на кручение. Поэтому для таких стержней интерес представляет не столько задача о свободном (Сен-Венановом) их кручении, сколько задача о стесненном их кручении. Приближенное решение этой последней задачи (детально разработанное В. 3. Власовым) тесно связано с кругом идей, используемых в теории пластин и оболочек, и на этом вопросе мы здесь останавливаться более не будем. [c.274]

В этом разделе мы рассмотрим обратную связь для излучения в пассивном оптическом резонаторе. Такой резонатор обычно является открытым, т. е. в соответствии с рис. 2.1 у него нет боковых стенок, а имеются только два расположенных друг против друга зеркала. Приближенно, однако, открытый резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, можно заменить при расмотрении закрытым, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда с идеально отражающими стенками. Будем считать ось г направленной по его длине (полная длина равна L), а оси X и у направим по сторонам квадратного поперечного сечения (длина стороны 2а). Волновые поля в таком резонаторе вблизи его оси лишь мало отличаются от соответствующих полей открытого реального лазерного резонатора. Как известно, для идеального полого резонатора решение волнового уравнения с учетом граничных условий имеет вид стоячих волн. На- [c.55]

До открытия общих уравнений существовала теория кручения и изгиба балок, ведущая свое начало от исследований Галилея и соображений Кулона. Проблемы, являющиеся предметом этих теорий, принадлежат к числу наиболее важных по своему практическому значению, так как многие проблемы, с которыми приходится иметь дело инженерам, в грубом приближении сводятся к вопросам сопротивления балок. Коши был первым исследователем, который пытался применить общие уравнения к проблемам этого рода и, хотя его исследование о кручении прямоугольной призмы 85] оказалось ошибочным, оно все же имело большое сторическое значение, так как он установил, что поперечные сечения не остаются Плоскими, Значение его исследований для практических приложений было невелико. Практические руководства первой половины прошлого столетня содержат теорию кручения, которая приводит к выводам, принадлежащим, как мы уже указывали. Кулону этот вывод состоял в том, что сопротивление кручению равно произведению упругой постоянной на величину угла закручивания, отнесенного к единице длины (степень кручения), и на момент инерции поперечного сечеиия. В отношении изгиба практические руководства этого времени следовали теории Бернулли-Эйлера (в действительности принадлежащей Кулону), согласно которой сопротивление изгибу связано только с растяжением и сжатием продольных волокон. Сен-Венану принадлежит заслуга приведения проблемы кручения и изгиба балок в связь с общей теорией. Он учитывал трудность нахождения общих решений и настоятельную необходимость получения в практических целях какой-либо теории, которая могла бы служить для определения деформаций в сооружениях ему было вполне ясно также, что только в очень редких случаях можно знать точное распределение нагрузки, приложенной к части какой-либо конструкции это привело его к размышлениям о методах, применявшихся к решению частных задач до того, как были получены общие уравнения. Таким образом о пришел к изобретению полу-обратного метода, который носит его имя. Многие из обычных допущений и выводов, оказываются верными, по крайней мере, в большинстве случаев следовательно, сохраняя некоторые из этих допущений и выюдов, можно упростить уравнения и получить их решения правда, пользуясь этими решениями, мы не можем удовлетворить любым наперед заданным граничным условиям однако же граничные условия практически наиболее важного типа могут быть удовлетворены. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...