Вычисление некоторых интегралов

Приложение 7.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.313]

Вычисление некоторых интегралов [c.173]

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.475]

Разрезы должны уходить на бесконечность. Положение разрезов (между точками h — —к и h — ioo и точками h = к и h = —ioo) можно выбирать различным образом. Каждому положению разрезов соответствует свое определение ветви функции x=V — всей плоскости /г. Мы проведем разрезы параллельно мнимой оси, это облегчит нам в п. 16.5 вычисление некоторых интегралов, входящих в приближенные формулы для поля. [c.158]

Метод последовательной смены стационарных состояний при всех обстоятельствах требует предварительного опреде-, ления количества жидкости или газа в пласте. Это определение сводится к вычислению некоторых интегралов, где переменной интегрирования обычно является длина. Предлагаемое ниже упрощение заключается в том, что интегрирование по длине заменяется интегрированием по переменной, за которую принимается давление или удельный вес. При этом, если квадратура выполнима в конечном виде, вычисле [c.185]

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением (7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотношения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу О < S < оо) компонент тензора X и производные материальных функций основного течения. Такие соотношения называются соотношениями согласованности и могут быть получены при помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоянной деформации того же самого типа. Пусть /с и N определяют основное течение с предысторией постоянной деформации, а /с + еАг и N — возмущенное течение с такой же предысторией. Простые вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет уравнению (7-3.2), если G определяется в виде [c.274]

Канторович Л. В. О приближенном вычислении некоторых типов определенных интегралов и других применениях метода выделения особенностей.— Матем. сборник, 1934, 41, вып. 2. [c.679]

Важно отметить, что оценка (3.7.1) слишком груба и не дает полного представления о вкладе неупругих столкновений е коэффициенты переноса. Естественно, что исследование процессов переноса в реагирующем газе с помощью уравнения Больцмана приводит к новым скобочным выражениям и интегралам столкновений, существующим только для реагирующего газа. Вычисление этих интегралов возможно, если детализирована динамика неупругого взаимодействия частиц. Одна из возможных моделей (можно показать, что при некоторых дополнительных связях между сечениями она отвечает и принципу микроскопической обратимости) [c.127]

Внутри объема У и на некоторых поверхностях 2 установившееся движение среды и физические процессы могут быть сколь угодно сложными. Например, могут происходить химические реакции, горение, различные фазовые превращения, могут быть внешние механические силовые воздействия и т. п. На всей или на некоторой части выбираемой контрольной поверхности для вычисления поверхностных интегралов можно пользоваться некоторыми асимптотическими выражениями или допущениями. В связи с этим соотношения (7.1) — (7.4) полезны для вычисления суммарных сил и притоков энергии по заданному или по предполагаемому движению, которое требуется знать только в точках контрольной поверхности 2. [c.54]

Вычисление некоторых определенных интегралов может быть произведено при помощи дифференцирования определенного интеграла по параметру. [c.174]

При вычислении главного значения по Коши (см. [13], [14]) некоторых интегралов [c.109]

Значения коэффициентов по (7.43), (7.45) для круга единичного радиуса и некоторых граничных условий приведены в таблице 7.3. Для вычислений интегралов применялась формула Симпсона в режиме двойной точности с шагом /г = 1-10 " (текст программы приведен в Приложении). Достоверность результатов таблицы 7.3 проверялась аналитическим вычислением отдельных интегралов. [c.417]

Однако ВО многих случаях первообразная функция F x) не мол<ет быть определена или же функция х) за--дана в узлах некоторой сетки. В этом случае вычисление определенного интеграла по формуле (VI.92) невозможно. Аналогичные вопросы возникают и при вычислении кратных интегралов. [c.229]

Напряжения и смещения в выбранных внутренних точках области могут быть найдены из интегральных тождеств вида (15.1) и 15.2), правые части которых определяются путем численного интегрирования. Стоимость вычисления таких интегралов для внутренних точек высока. Например, стоимость вычисления коэффициентов системы для некоторого граничного узла при помощи соотношения (15.1) почти совпадает с затратами на вычисление интегралов для любой внутренней точки. [c.423]

Квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов. Приведем некоторые квадратурные формулы интерполяционного типа для вычисления интегралов [c.26]

Поясним способ вычисления некоторых из этих интегралов. При вычислении интегралов 1 и 1в сначала необходимо продифференцировать их по г, а затем применить интегрирование по частям. [c.136]

Практические приёмы нахождения координат центра инерции. В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение координат центра инерции, или, что то же, центра тяжести, приводится к вычислению предела некоторых сумм, т. е. в сущности к вычислению определённых интегралов. Однако в простейших случаях центр инерции можно разыскать элементарным путём, причём оказывается полезным применение следующих приёмов. [c.98]

В ГЛ. 4 задача о распростра нении волн рассматривается с позиций теории дифракции и состоит главным образом в вычислении поля в некоторой области с учетом вкладов от самого поля на опорной поверхности. Этот метод, который можно считать прямым следствием принципа Гюйгенса, связан с вычислением дифракционных интегралов. Данная задача и различные систематические способы ее решения рассматриваются в гл. 5. [c.9]

Функция /(1, т)) оказывается весьма полезной при вычислении некоторых определенных интегралов со сложными подынтегральными выражениями типа [c.139]

Решение дифференциальных уравнений, описывающих ряд процессов нестационарного теплообмена (Л. 92, 137], нахождение распределения вероятности некоторых событий (Л. 205] и ряд других задач приводят к многократным интегралам с подынтегральными выражениями типа (П-5). Вычисление таких интегралов затруднительно даже с привлечением электронной вычислительной техники. Подобные интегралы можно свести Л. 57] к комбинации функций /( , (п), Io(2Y r ) и /,(2К ). Например, [c.140]

Как уже отмечалось, применение ПЭВМ предопределяется разработанным для них программным обеспечением. В соответствии, с назначением тех или иных моделей на передний план выходят то игровые программы, то автоматизированные учебные курсы. Персональные ЭВМ, предназначенные для инженеров, наряду со средствами мащинной графики, обработки текстов, сервисными программами должны содержать программы решения повседневных научных и технических задач. В этот набор, как правило, входят программы решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, вычисления определенных интегралов, интерполяции функций, нахождения корней многочленов, определения экстремумов функций одной и нескольких переменных, спектрального анализа, статистической обработки данных и т. п. Обычно такие программы оформляются в виде библиотек или пакетов и размещаются на внешних носителях. Напомним, что основное различие между пакетом и библиотекой программ заключается в следующем пакеты построены по модульному принципу (одни и те же фрагменты используются в различных программах), в то время как программы библиотек работают независимо друг от друга. Применение пакетов позволяет более экономно использовать машинные ресурсы с библиотеками в ряде случаев проще ра тать, особенно неподготовленному пользователю. На русском языке тексты прикладных программ публикуются довольно давно - в 60-е, 70-е годы в основном на Алголе и Фортране, в последнее время все чаще на Бейсике и некоторых других языках. [c.91]

Заметим, что вычисление этих интегралов возможно только в некоторых частных случаях. Применение же формул численного обращения преобразования Лапласа позволяет получать приближенные решения с любой степенью точности. [c.466]

Теорема Коши и теорема о вычетах дают широкие возможности для преобразования интегралов и сумм, в частности для вычисления контурных интегралов при обращении преобразования Лапласа. Но так как большинство интегралов, встречающихся на практике, не вычисляются в конечном виде, то особое значение имеют различные методы асимптотических оценок некоторые из этих методов также приведены здесь. [c.523]

Интегралы столкновений. Прежде чем с помощью представленных в предыдущем пункте формул можно будет вычислять коэффициенты переноса, нужно путем использования потенциалов межмолекулярного взаимодействия частного вида вычислить некоторые интегралы, строго выведенные в теории Чепмена — Энскога. Здесь мы приведем соответствующие интегралы, а в следующем пункте обсудим их вычисление для большого числа различных потенциалов межмолекулярного взаимодействия. [c.379]

Использование метода конечных элементов в САПР приводит к вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых или в некоторых областях. При интегрировании по области можно использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для интегралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и точные методы численного интегрирования. [c.82]

Основная сложность при проведении вычислений для любого из этих режимов заключается в определении перепада давлений в области испарения. Ранее было отмечено, что в некоторых случаях протяженность области испарения мала по сравнению с толщиной пластины (f - /) 0. В этом случае отпадает необходимость в вычислении интегралов в выражениях (6.37)... (6.40) и расчеты значительно упрощаются. [c.143]

Проинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некоторых видах функции F эти интегралы могут быть получены. В очень многих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующих машинах. [c.263]

Имеется группа полуэлширических теорий, в которых вместо вычисления некоторых интегралов употребляются их численные значения, выбираемые в согласии с экспериментальными данными. Эта группа включает МО-метод Хюккеля — МОХ (МОН), его итерационные варианты, расширенный. метод Хюккеля — РМХ (ЕН). простейший МО-метод, разработанный Дель Ре, и др. Методы МОХ я РМХ пренебрегают перекрывание.м атомных орбиталей, не учитывают электрон-электронное взаимодействие и прини.мают во внимание только взаимодействие электронов с ионным остовом. При этом предполагается, что гамильтониан системы Н можно записать в виде суммы эффективных гамильтонианов Н , каждый из которых является функцией координат единственного электрона. Нет нужды расшифровывать операторы ибо все матричные элементы [c.139]

Однако в общем случае приходится использовать методы теории возмущений для приближенного вычисления винеровских интегралов. Последние широко используются не только в теории брауновского движения, но и (с некоторыми изменениями) в квантовой статистической физике, в физике полимеров, в квантовой механике (фейнмановские интегралы по траекториям) и в ряде других областей физики и математики. [c.95]

VI. Вычисление некоторых винеровских интегралов [c.227]

Вычисление некоторых определённых интегралов может быть произведено с помощью дкференцирования определённого интеграла по параметру. [c.171]

Вычисление интегралов в формулах (2.64) весьма затруднено, так как для газов Hv является сложной функцией частоты. Поглощение излучения в одиночной изолированной линии представляет простейший случай для вычисления этих интегралов. Поглощение в колебательно-вращательной полосе, однако, очень трудно проанализировать. Предложено несколько моделей для описания изменения Иу с частотой. Рассмотрим некоторые из этих моделей, чтобы охарактеризовать поглощение излучения в отдельной изолированной линии и в колебательнотвращатель-ной полосе. [c.107]

Вычисление многократных интегралов удобно выполнять методом Монте-Карло. Однако проще рассчитывать одностолкновительные течения непосредственно методом Монте-Карло, не выписывая интегралов. -Как и выше, рассчитывается функция ). Зная -Щ на теле, по закону отражения молекул находим функцию I). Из равномерно распределенных по поверхности случайных чисел выбираем два числа, определяющих точку поверхности. Далее, выбирая три случайных числа с плотностью вероятности, соответствующей Щ, выбираем некоторую отраженную молекулу, т. е. определяем ее скорость и направление. Разыгрывая далее случайные, величины, соответствующие вероятностям свободного пробега отраженной молекулы и параметрам столкновения, рассчитываем результат столкновения отраженной и набегающей молекул. Если после столкновения одна или обе молекулы попадают в какие-либо Ячейки на поверхности тела, то в этих ячейках запоминаются приносимые ими импульс и энергия. После этого выбирается новая отраженная молекула, и расчет повторяется. Здесь, как и выше, расчет существенно упрощается для гипертермического течения. Примеры расчетов методом Монте-Карло приведены в следующем параграфе. [c.390]

На основании этих трех работ для каждого щелочного металла нами был выбран некоторый усредненный интеграл столкновений. Для этого удобно представить имеющиеся данные в виде зависимости lg ]эфф=1дот gT. Усредненные интегралы выбирались таким образом, чтобы при низких температурах они были ближе к данным [7]. Учитывая то, что авторы оценивают погрешность вычисленных ими интегралов равной примерно 25%, вполне возможно представить зависимость интегралов от температуры в логарифмических координатах прямой линией, причем наклон [c.367]

Этот пример приведен в названной выше статье Е. Л. Минцберга [1]. Автор исходит из полученной им общей формулы, более сложной, чем приведенная в предыдущем параграфе поэтому ему приходится вычислять некоторые интегралы, тогда как по способу, изложенному в тексте, решение получается почти без всяких вычислений. Так же, почти без вычислений, можно решить и другой пример, приведенный в названной статье. [c.456]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Функция иЦ, т]) обладает рядом интересных свойств, знание которых позволяет уверенно оперировать с ней при решении обменных и ряда других задач, в том числе и вероятностных. Она оказывается весьма полезной при вычислении некоторых типов определенных интегралов (однократных и многократных) со сложнььми подынтегральными выражениями, которые появляются в результате решения уравнений с частными производными. С ее помощью можно найти оригиналы для одного класса изобралсений в преобразовании Лапласа. [c.57]

Встает вопрос нельзя ли рассчитать несколько членов таких рядов, если даже нет строгого решения для произвольного размера Эта важная проблема была успешно решена Стивенсоном (1953а). Стивенсон рассматривает однородное тело произвольной формы, имеющее комплексную диэлектрическую постоянную е + 4яга/(о (соответствующую нашему при ином выборе знака при ) и магнитную проницаемость ц. Это означает, что его исследование охватывает как диэлектрические (а=0, (х=1), так и полностью отражающие частицы (е=оо, [х=0). Если считать, что Е и Н разложены в степенные ряды по к, то коэффициенты можно найти в виде решений некоторых хорошо известных задач теории потенциала. Разумеется, первый из них дает поляризацию тела в стационарном и однородном электрическом и магнитном полях (разд. 6.1 и 6.4). Другие члены рядов являются решениями последовательно более сложных задач теории потенциала. Это означает, что в принципе проблема решена и требует только вычисления определенных интегралов, которые можно написать в явном виде. Переход от ближнего поля к полю на больших расстояниях содержит известные математические трудности, обсуждать которые здесь не представляется возможным. [c.388]

Ранее было показано, что перед формированием системы уравнений МКЭ требуется построить функции формы и вычислить интегралы от матричных функций для каждого конечного элемента. При этом вычисления и нужные математические преобразования соотносились к глобальной системе координат, что вызывает некоторые неудобства. Во-первых, для определения функций формы < эле1ментов необходимо обращать матрицу Фо . Во-вторых, может случиться, что некоторые интегралы от матричных функций весьма непросто вычислить. Особенно это относится к трехмерным элементам. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...