Вывод уравнений равновесия из принципа возможных перемещений

Общее уравнение динамики для систем, подчиненных голономным, идеальным, неосвобождающим связям, дает полную информацию о движении таких систем, т. е. из него аналогично тому, как из принципа возможных перемещений получались условия равновесия системы, можно получить полную систему дифференциальных уравнений. Для вывода этих уравнений следует использовать понятия обобщенных координат и обобщенных сил. [c.387]

Вывод уравнений равновесия из принципа возможных перемещений [c.201]

Следуя А. И. Лурье , для вывода статического уравнения равновесия твердого тела в положении предельного равновесия воспользуемся принципом возможных перемещений [c.201]

Применительно к твердым телам начало возможных перемещений было сформулировано Лагранжем в его аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел принцип возможных (виртуальных) перемещений позволяет получить уравнения равновесия, так и для упругих тел он может заменить геометрический вывод уравнений равновесия аналитическим. [c.38]

Ж. Лагранж в трактате Аналитическая механика справедливо отмечает, что принцип равенства давлений по всем направлениям... является 1771 основой равновесия жидкостей . Однако сам Лагранж предпринял попытку вывода всех свойств жидкости в состоянии равновесия непосредственно из самой природы жидкостей, рассматривая последние как собрание молекул, сильно разобщенных, независимых друг от друга и способных совершенно свободно двигаться во всех направлениях . Лагранж предпринял новую систематизацию материала гидростатики. Он стремился все закономерности механики вывести чисто математически из единого принципа. Этим единым принципом всей механики Лагранжа была так называемая общая формула динамики (теперь называемая уравнением Даламбера — Лагранжа). В частном случае равновесия системы эта формула переходила в общую формулу статики (принцип возможных перемещений). [c.177]

Лагранж вывел уравнения равновесия несжимаемой жидкости из принципа возможных перемещений с помощью своего знаменитого метода неопределенных множителей. В механике несжимаемой жидкости в качестве условного уравнения он записал условие несжимаемости или неизменности объема каждого элементарного параллелепипеда dx dy dz. Умножив вариацию условного уравнения на неопределенный множитель К, сложив это с правой частью общей формулы статики и детально разработав вывод вариации б (dx dy dz), Лагранж получил уравнение равновесия несжимаемой жидкости в виде [c.177]

Таким образом, мы доказали, что если механическая система С идеальными связями находится в равновесии, то действующие на нее активные силы удовлетворяют условию (110). Справедлив также и обратный вывод, т. е. если приложенные к механической системе активные силы удовлетворяют условию (110), то система находится в равновесии. Отсюда вытекает следующий принцип возможных перемещений ) для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически необходимое и достаточное условие равновесия любой механической системы выражается равенством (ПО), которое называют еще уравнением возможных работ. Это условие можно также представить в аналитической форме (см. 112) [c.443]

Прежде всего рассматривается задача о равновесии системы (статика системы), решение которой дается на основе принципа возможных перемещений. Вводится понятие обобщенных сил и формулируются аналитические условия равновесия. Здесь же можно кратко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия. Далее, как обычно, рассматривается принцип Даламбера и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода. Тем самым указывается метод решения основных задач динамики несвободной системы. Здесь же рассматриваются некоторые другие вопросы. Две системы активных сил, приложенных к определенной системе точек, называются эквивалентными, если их обобщенные силы совпадают при каком-нибудь выборе обобщенных координат (или если они выполняют одинаковую работу на любом возможном перемещении). Это определение вытекает из того факта, что активные силы входят в уравнения движения только через обобщенные силы, вследствие чего замена системы сил ей эквивалентной не сказывается на движении. Следует иметь в виду, что две эквивалентные в указанном смысле системы сил могут вызывать, конечно, различные реакции связей. Но в ряде задач эти реакции не представляют интереса и это различие можно игнорировать. Если это не так, то с помощью принципа освобождаемости реакции связей следует перевести в разряд активных сил. [c.75]

Вывод дифференциальных уравнений равновесия деформированного тела и соответствующих этим уравнениям граничных условий из принципа возможных перемещений [c.113]

Сходимость. Вариационный принцип Лагранжа, использованный для вывода уравнений МКЭ в форме (2.21), обеспечивает выполнение условий равновесия только в определенных пределах. Действительное же равновесие будет иметь место только тогда, когда работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях равны при произвольных вариациях перемещений, т. е. [c.26]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Уравнения равновесия. Для вывода уравнений равновесия элемента используем принцип возможных перемещений. Узлам п-го элемента сообщаются произвольные малые перемещения Vn [u u u.feu ujtife]. Работа, которую совершает си,ла в узлах элемента на перемещениях, [c.156]

Уравнения моментной теории цилиндрических оболочек с продольными ребрами получены В. 3. Власовым [10], который при выводе уравнений поступал примерно так , записал уравнения гладкой оболочки, нагруженной внешними усилиями и реакциями ребер. Затем исключил реакции с помощью уравнений равновесия ребер. Позднее близкий к. этому способ использовался в работах А. Г, Назарова [56], Д. В. Вайнберга и И. 3. Ройтфарба [5], В. А. Заруцкого [30] Л. А. Ильина [ ]. Принцип возможных перемещений использован в работах Е. С. Гребня (16, 17], В. А. Заруцкого [31, 32]. Представление о ребристой оболочке, как оболочке ступенчатой толщины, при выводе уравнений использовал П. А. Жилин [25, 26]. [c.323]

Во второй части книги рассматриваются вопросы применения МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ. Результирующие линеаризованные уравнения равновесия (движения) относительно приращений перемещений получаются из принципа возможных перемещений. При квазистатическом деформировании уравнения равновесия относительно скоростей перемещений получаются из вариационных принципов. Показана тесная связь конечноэлементных уравнений, сформулированных относительно приращений и скоростей. Приведен вывод дискретных уравнений движения (равновесия) относительно приращений (скоростей) узловых перемещений. Рассматриваются процедуры пошагового решения нелинейных задач и определения напряжений для различных моделей материалов. Предложены алгоритмы решения задач устойчивости и контактных задач. [c.12]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Другой возможный путь развития такой теории состоит р использовании кинематических гиротез для вывода уравнений равновесия в перемещениях и естественных граничных условий ц ним из вариационных принципов теории упругости [9]. [c.101]

Для вывода уравнений равновесия в перемещениях будем исходить из принципа возможных перемещений, ёогЛасно которому полная потенциальная энергия системы ЧГ, равнай разности мен цу упругим потенциалом я и работой внешних сил А, должна для дейстдатедьньрс -1Йренещ ний иметь стационарное значение. - [c.101]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Следует прямо сказать, что более чем столетние попытки доказать выводы термодинамики в рамках теоретической физики исходя из уравнений динамики не привели к значительным успехам. Но никто не сомневался, что этот термодинамический принцип работает сам по себе, вне зависимости от возможности редукционистских объяснений. Наличие двух уровней описания системы ставит проблему выделения некоторых параметров — может быть совершенно неочевидных, — равенство которых является условием равновесия, интуитивно понимаемого как отсутствие значимых потоков между отдельными частями системы. Если макропараметры функционально связаны между собой, а получающая из этой взаимосвязи поверхность уравнения состояния дифференцируема, то возникающая линейная зависимость между дифференциалами макропараметров дает пфаффовы уравнения термодинамики. Как мы уже отмечали выше, идея термодинамического равновесия вполне годится и для описания экономических систем, которые, так же как и физические макросистемы, имеют два уровня описания и очевидно наблюдаемые потоки перемещения денег, товаров и людей. И описание это должно быть вполне эквивалентно термодинамическому описанию физических систем, но при этом параметры равновесия — температура, давление, химический потенциал — приобретут, конечно, совершенно иные интерпретации, связанные именно со спецификой описания экономических систем. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...