ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы координат и векторы базиса из "Теория пластичности " Через каждую точку М трехмерного пространства можно провести три координатные линии, которые обозначаются так же, как и координаты, т. е. х -, х , j (рис. 1). Вдоль t-той координатной линии меняется только i-тая координата. Например, вдоль координатной линии x меняется только координата х , а две другие координаты (х , X ) сохраняют постоянные значения. Наряду с точкой М рассмотрим близкие к ней точки Mi, Mg, М3, расположенные соответственно на координатных линиях х , х , х . Тогда, в соответствии с рассмотренным определением координатных линий, координаты этих точек равны М . х , х ), Ма х , Н- Ах, X ), Мз (х х2 X + Дх ). [c.15] Элементарный объем необязательно ограничивается координатными поверхностями, он может иметь любую форму. Этот объем выбирают так, чтобы при ДУО стремился к нулю и любой его линейный размер. [c.16] Элементарный объем (рис. 3, б) ограничен двумя цилиндрическими поверхностями, двумя плоскостями, проходящими через ось Ог, и двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ог. [c.17] Система отсчета. Движение изучается с точки зрения наблюдателя. Система координат наблюдателя называется системой отсчета. Она выбирается так, чтобы удобно было решать задачу. Например, изучая процесс прокатки прямоугольной полосы в гладких валках, можно выбрать прямоугольную декартову систему координат (рис. 4). [c.17] Если тело деформируется, вместе с ним деформируется и сопутствующая система координат. Ее координатные линии могут при этом удлиняться, укорачиваться, искривляться. Одновременно происходит изменение углов между ними. Сопутствующая система координат оказывается как был вмороженной в тело и деформируется вместе с ним. Изучение деформации тела по сути сводится к изучению деформации сопутствующей системы координат. Если в начальный момент времени она была выбрана прямоугольной декартовой, то затем в общем случае становится криволинейной и неортогональной. [c.18] Преобразования криволинейных координат общего вида. Наряду со старой системой координат х , х, дс рассмотрим новую (со штрихом) систему координат х х , дг . Будем рассматривать непрерывные взаимно однозначные преобразования координат. Пусть старые координаты выражаются через новые по уравнениям, называемым преобразованием координат. [c.19] Принятые положения составляют правило суммирования. [c.20] Из взаимной однозначности преобразований координат следует, что определитель (детерминант) матрицы А отличен от нуля, т. е. det А = a/j 0. [c.20] Приращения координат преобразуются с помощью матриц обратного преобразования. Действительно, в уравнении (1.10) приращения новых координат умножаются на элементы матрицы А обратного преобразования по отношению к новой системе координат. В уравнении (1.12) приращения старых координат умножаются на элементы матрицы В обратного преобразования по отношению к старой системе координат. [c.21] Величины, преобразующиеся с помощью матрицы обратного преобразования, называются контравариантными. Таким образом, приращения координат dx , dx — контравариантные величины. Признаком их является верхнее расположение индексов в их обозначениях. [c.21] элементы матрицы А равны направляющим косинусам старых осей в новой системе координат. Элементы матрицы В равны направляющим косинусам новых осей в старой системе координат. Заметим, что det А = det В = 1. [c.22] Умножая матрицы друг на друга, легко убедиться, что А В= Е. [c.22] Векторы взаимного базиса преобразуются с помощью матриц обратного преобразования, т. е. [c.24] Найти взаимный базис, если задан основной базис (5, = 60 , (рис. 6). [c.24] Вернуться к основной статье