Упрощение уравнений возмущенного движения

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [c.69]

В точной постановке задачи прогнозирования движения и определения времени существования ИСЗ решаются численным интегрированием уравнений возмущенного движения на быстродействующей ЭВМ. Однако качественная картина эволюции и многие количественные оценки могут быть получены на основе приближенного подхода, когда рассматриваются упрощенные уравнения возмущенного движения. [c.360]

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения. Для упрощения мы предположим, что угол а — настолько мал. что [c.269]

При этих упрощениях уравнения (50) распадаются на две группы независимых уравнений уравнения возмущенного движения ракеты как твердого тела [c.498]

Однако, как отметил Ляпунов, законность такого упрощения априори ничем не оправдывается, ибо дело приводится к замене рассматриваемой задачи другой, с которой она может не находиться ни в какой связи. Учет членов второго и более высоких порядков малости в уравнениях возмущенного движения, что пытались делать некоторые исследователи (например, Раус), не давал новых оснований для строгих заключений об устойчивости. Единственная попытка строгого решения принадлежала Пуанкаре, который рассматривал устойчивость для случая систем дифференциальных уравнений второго и отчасти третьего порядков. [c.8]

К сожалению, предложенные доказательства обращения теорем метода функций Ляпунова в большинстве случаев являются достаточно сложными, использующими конструкции, содержащие интегралы от решений уравнений возмущенного движения. В связи с этим теоремы о существовании функций Ляпунова, как правило, мало полезны для эффективного построения функций Ляпунова в конкретных прикладных задачах. Вследствие этого задачу упрощения и большего конструктивизма доказательств теорем существования функций Ляпунова можно считать интересной и в дальнейшем. [c.21]

Сущность этого качественного, как его иногда называют, ме тода можно было бы в упрощенной форме в применении к задач об устойчивости равновесного состояния описать следующим об разом. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид [c.386]

Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду, для которого общее решение имеется. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличаются от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. для составляющих скорости в цилиндрических координатах получим Vy= Vx, [c.498]

Теоретические вычисления были успешны только в некоторых простых случаях, при этом потребовалась большая аналитическая и вычислительная работа. Линейная теория возмущений не пригодна в трансзвуковой области. Чтобы получить упрощение уравнений движения, нужно их рассмотреть с новой точки зрения. Как уже указывалось, линейная теория основана на предположении, что все скорости, создаваемые присутствием движущегося тела, малы как в сравнении со скоростью полета, так и в сравнении со скоростью звука. Однако, если тщательно проследить вывод линеаризированного уравнения, то можно заметить, что при этом делается также предположение, что скорость возмущения должна быть мала относительно разности между скоростями полета и звука. В трансзвуковом случае это предположение неприменимо и должно [c.66]

Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволяющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощенная задача, называемая невозмущенной задачей, допускает точное решение. Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уравнениями. [c.388]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

Существенные упрощения в решении проблемы собственных спектров многомерных моделей с варьируемыми параметрами достигаются применением асимптотических алгоритмов, построенных на основе методов теории возмущений [37, 95]. Положим, что векторное уравнение движения консервативной ценной -мерной модели записано в виде (11.2) [c.269]

Выясним условия устойчивости привода при устранении возмущения (х = 0) и при нерегулируемом дросселе 5 в виде трубки. Для упрощения выкладок полагаем f = /о = 1, а связь между силовым цилиндром и рабочим органом привода большой жесткости, т. е. k = 0. С учетом выражений (3.109), (3.112) и (3.114) система уравнений, описывающих свободное движение привода, принимает вид [c.179]

Одной из задач динамики старта летательных аппаратов является определение начальных возмущений ф (4) и ф которые получает тело при сходе с направляющей. В более общем случае точка приложения силы R не лежит в плоскости чертежа, она случайна (рис. 2.13), поэтому и возникающие случайные векторы fi и Ml имеют произвольные направления, т. е. имеют отличные от нуля проекции на все оси Xt, что приводит к колебаниям системы при старте как в плоскости чертежа, так и относительно этой плоскости. В упрощенном варианте система имеет две степени свободы. Рассматривая движение системы, можно получить два линейных уравнения относительно углов ф и v (угол v характеризует отклонение системы относительно плоскости чертежа) вида [c.63]

Если имеет место небольшое возмущение из состояния установившегося движения, когда жидкость и твердое тело вращаются вместе как одно тело около оси симметрии, то р, q, ри qx (вначале для всех случаев) будут малыми величинами. Если пренебречь их произведениями, то величина Г1 на основании уравнения (19) будет постоянной и может считаться малой, так как можно принять, что при установившемся движении она исчезает. При этих упрощениях остальные уравнения системы (13) и (14) приводятся [c.914]

Рассмотрим упрощенную систему уравнений, описывающих распространение в среде слабых возмущений. Для таких движений можно ограничиться первыми членами разложения выражений (4.32) и (4.39), т. е. принять, что плотности твердой фазы и жидкости изменяются по линейному закону [c.41]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

Применяя числовые методы, можно было решить почти все задачи о плоском движении газа. В противоположность сверхзвуковому движению, анализ дозвукового движения представляет значительную трудность. Математически это объясняется тем, что уравнения, описывающие дозвуковое движение, являются эллиптическими, в то время как для сверхзвукового движения они гиперболические. У эллиптических уравнений характеристики мнимые применение их не дает особых упрощений. Физической основой математической сложности задач дозвукового движения газа является то, что в данном случае возмущения распространяются во все области движения, тогда как в случае сверхзвукового потока возмущения всегда не выходят за пределы области, ограниченной исходящими из точки возмущения характеристиками. [c.470]

Околозвуковое приближение. Ради простоты рассматривается случай безвихревого установившегося движения, описываемого интегралом Бернулли (11.19) и уравнением для потенциала скоростей (11.20). Околозвуковое приближение предназначено для упрощенного описания течений, возникающих при малых возмущениях звукового потока, в котором [c.125]

В первом томе Аналитической механики Лагранж, излагая приближенный метод решения задач динамики— метод вариаций произвольных постоянных и приложение его в теории возмущений—для упрощения записи уравнений движения ввел функцию [c.220]

Наиболее полное представление о движении летательного аппарата позволяет установить теория динамичес[кой устойчивости, в которой рассматривается роль аэродинамических характеристик аппарата и управляющего воздействия в сохранении исходных параметров движения на траектории (устойчивости движения). В настоящей книге в краткой форме излагаются методы решения соответствующей системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, акцентируется внимание на качественном анализе полученных результатов. Приводимые решения являются аналитическими и относятся к заданным областям начальных параметров, определяющих упрощенные модели динамической устойчивости. Такие решения имеют весьма большое значение для инженерной практики. Вместе с тем при необходимости получения массовых результатов для какой-либо определенной динамической модели летательного аппарата, обусловливающей многоварианткссть начальных условий и большой сбъем вы- [c.5]

IX.24. Линеаризация уравнений движения газа около тонких тел вращения, движущихся под малыми углами атаки, заключается в приведении нелинейных дифференциальных уравнений, не имеющих общих решений, к линейному виду. Такое упрощение уравнений возможно, если сделать предположение, что параметры возмущенного течения около тонких тел мало отличается от соответствующих их значений в невозмущенном потоке, т. е. можно записать, в частности, для составляющих скорости (в цилиндрических координатах), Vx=V- -Vx, Ут= -= Vг Уу, а также для давления, плотности и скорости звука р = =роо- -р, р = роо+р, а = аоо+а. Здесь Уос, рос, роо, аос — параметры невозмущенного потока Ух, УгуУу, р, р, а —добавочные составляющие соответствующих параметров, обусловленные возмущенным характером течения. Значения этих составляющих являются такими по величине, [c.636]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Симха [48] применил такую модель к расчету вязкости концентрированных суспензий. Ячейка в этом случае состоит из жесткой сферической оболочки, в центре которой содержится рассматриваемая сферическая частица. Возмущения течения, вызванные наличием других частиц вне ячейки, не могут влиять на дила-тационное движение внутри нее. Обозначая радиус ячейки через 6, предполагают, что действие всех других частиц суспензии, подверженной сдвигу, сводится к исчезновению возмущения скорости дилатационного движения на поверхности ячейки. Такая упрощенная модель учитывает прежде всего взаимодействие между центральной частицей и ее непосредственными соседями. Внутри кольцевого слоя а < г < 6 движение жидкости удовлетворяет уравнениям медленного течения. Гидродинамика этой упрощенной модели может быть получена в замкнутой форме. Здесь математические детали опускаются, так как их можно восстановить по реше- [c.518]

Если возмущения, вызванные движением летательного аппарата и деформацией его частей, малы, то задача решается в упрощенной постановке [2.6,2.7,2.27]. Предположение малости возмущений позволяет существенно уменьшить трудности решения задачи благодаря линеаризации основных уравнений и условий. Кроме того, в этом случае нет необходимости заново решать задачу нового закона движения. Достаточно решить некоторые базовые задачи (например, о единичном сту-пенча1Ч)м по т воздействии), а переход к произвольным зависимостям от времени и произвольным значениям безразмерных частот р осуществляется с помощью интегральных соотношений (методом свертки) [2.6], [c.49]

Принципиально возможно точное решение этой задачи, однако это требует применения математических методов, связанных с большой работой. Поэтому имеют большое значение приближенные методы. Наиболее важное упрощение состоит в линеаризации уравнений движения. Для этого предполагается малость возмущений, или, более точно, малость скооости возмущения сравнительно со скоростью полета и скоростью звука. Такая теория дает хорошее приближение для сопротивлений тонких или плоских тел с заостренной головной частью или с острой передней кромкой. К счастью, большая часть будущих сверхзвуковых самолетов и [c.12]

На самом деле, как показывают многочисленные исследования, турбулентное движение, как бы ни было оно сложно по своей внутренней структуре, подчиняется общим законам динамики непрерывной среды, в частности установленным в предыдущей главе уравнениям динамики вязкой сжимаемой или несжимаемой жидкости в нестационарной их форме. В то же время не имеет смысла точная постановка вопроса о разыскании решений этих уравнений при строго поставленных начальных и граничных условиях. Де 1Ствительно, в обстановке неограниченного роста сколь угодно малых возмущений самые ничтожные отклонения от поставленных граничных и начальных условий (неточности в изготовлении поверхности обтекаемого тела, предыдущая история потока и др.) могут привести к столь значительным изменениям решений уравнений, чго за ними исчезнут все достоинства строгой постановки задачи. Пользоваться упрощенной геометризацией формы обтекаемых тел или каналов и не учитывать наличия начальных возмущений в потоке можно лишь в тех случаях, когда поток устойчив и существует уверенность, что сделанные малые ошибки в постановке задачи приведут к столь же малым ошибкам в ее пешении это и делалось ранее при рассмотрении ламинарных движений. Для исследования турбулентных движений приходится применять [c.582]

В первых теоретических работах по устойчивости конвективного пограничного слоя (основные из них [34—36]) применялся упрощенный подход. Прежде всего использовалось так назьшаемое параллельное приближение, согласно которому задача устойчивости ставится так же, как в случае плоскопараллельного течения, т.е. полностью пренебрегается поперечной составляющей скорости основного течения 1>ох- Кроме того, в цитированных работах задача решается в чисто гидродинамической постановке, при которой, как уже неоднократно говорилось, не учитьюается слагаемое с возмущением температуры в уравнении движения, а уравнение переноса тепла не рассматривается вовсе. [c.220]

Важная особенность метода Хилла состоит в том, что его применение начинается с получения тех возмущений в движении Луны, которые зависят только от отношения п /п. Чтобы получить дифференциальные уравнения, которые определяют эти возмущения, вводятся следующие упрощения первоначальных уравнений [c.291]

Остановимся на вопросе о способах получения изотропной турбулентности. Теоретически. простейшим способом является создание в первоначально неподвижной жидкости однородной и изотропной системы случайно разбросанных локальных возмущений ( вихрей ). Нетрудно указать математические формулы для начального поля скорости, отвечающие физическому представлению о такой хаотической системе случайных вихрей однако для изучения динамики турбулентности этого мало — нужны еще и решения уравнений движения, отвечающие указанным начальным условиям . Нахождение подобных решений — дело очень сложное поэтому неудивительно, что до сих нор в этом направлении были получены лишь некоторые приближенные результаты, при выводе которых уравнения движения брались в столь упрощенной форме, что полученные решения неизбежно могли дать только очень идеализированную картину реального изотропного турбулентного потока (см. Синг и Линь (1943) Чжоу Пэй-юань и Цай Шу-тан (1957)). [c.104]

Однако теория первого приближения не всегда приводит к правильным заключениям о поведении системы после возмущения ее движения. Вот что говорит по этому поводу А. М. Ляпунов Конечно, указанный сейчас прием вносит весьма существенное упрощение, в особенности в тех случаях, когда коэффициенты дифференциальных уравнений суть постоянные величины. Но законность такого упрощения а priori ничем не оправдана, ибо дело приводится к замене рассматриваемой задачи другою, с какою она может не находиться ни в какой зависимости. Во всяком случае очевидно, что если решение новой задачи и может давать ответ на первоначальную, то только при известных условиях, а последние обыкновенно не указываются [30, с. 10]. [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...