О решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

О решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то продольно-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок — сводятся к решению линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложного вида, чем уравнение (116.4). Трудность интегрирования этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от г, имеющая разные аналитические выражения на разных участках. Излагаемый ниже метод применялся еще Коши для изгиба балок он был детально разработан А. Н. Крыловым. [c.263]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Решение задачи о колебаниях вращающегося ротора может быть получено с помощью хорошо разработанного аппарата теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами только в двух частных случаях [c.68]

О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в т. I и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем. [c.103]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

Интегрирование дифференциального уравнения движения. Дифференциальное уравнение (24) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в форме q — где постоянная Я определяется из характеристического уравнения + 2пХ + 1г = О, которое получается после подстановки решения в дифференциальное уравнение. [c.425]

Соотношение (16.16) — это обыкновение линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Так как с/т > О, то общее решение уравнения (16.16) следует искать в виде [c.298]

Таким образом, при жестком смещении поверхности вращения величины Uj, U2, а, следовательно, и величины ujr и 1 + i выражаются как сумма величин, меняющихся по ф по закону 1, sin ф или os ф и зависящих в общей сложности от шести произвольных констант. Вместе с тем, очевидно, что жесткие перемещения являются решениями однородных (при 8, = 82 = = 0) геометрических безмоментных уравнений. Отсюда следует, что, если Ej = 82 = = О то в решении геометрических безмоментных уравнений вида (14.14.2) коэффициенты при 1, os ф и sin ф соответствуют смещениям срединной поверхности как жесткого целого. Но в обыкновенных линейных дифференциальных уравнениях переход от решения однородных уравнений к решению неоднородных уравнений совершается элементарно (например, методом вариации постоянных). Поэтому и из решения (14.14.6) можно элементарно получить решение неоднородных геометрических безмоментных уравнений, если имеют силу разложения [c.209]

Уравнение (I i является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования составим характеристическое уравнение = О, откуда 1,2 -к. Следовательно, решение дифференциального уравнения (1) запишется в виде [c.43]

Постоянные а. и ф. определяются в результате подстановки в линеаризованную систему ее решений о.со8(со 0 + ф ). Параметры е и а по-преж-нему представляются рядами (11.24) и 01-25). Ряды (11.24) - (11.26) подставляются в исходные уравнения с новой независимой переменной 0. Далее, как и для одного уравнения, приравниваются коэффициенты при 4, , 4, и Т.Д. Получаются системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений, для которых необходимо выписать условия периодичности их решений (ибо все функции в (11.26) должны быть периодическими периода 2тс/(0,). [c.231]

Численное интегрирование всех систем уравнений проводилось из окрестности стационарной точки г = °о вверх по потоку. Описание в [1] решения в этой окрестности требует дополнительных комментариев. В приближении Навье - Стокса здесь имеем автономную систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Собственные значения действительны, причем X,] < О, > О, так что выбирается решение, соответствующее А,1. В случае рассмотренных выше и в [1, 2] модификациях в эту систему уравнений добавляются неоднородные члены, пропорциональные ехр(Х12). Собственные значения те же, в решении перед ехр (к г) появляется множитель - линейная функция [c.194]

Для того чтобы отразить эллиптический тип исходных дифференциальных уравнений, давление в (ы, о, Р)-системе необходимо определять, решая уравнение Пуассона так же, как это делалось в разд. 3.5. Методы, разработанные для анализа устойчивости решения (гр, ) -системы, можно непосредственно применять и для исследования устойчивости решения (и, и, Р) -системы. При линеаризации уравнений (3.509) члены с градиентом давления исчезают, а члены типа и ди/дх) приводятся к виду й(ди/дх), где й — постоянный коэффициент. Тогда линеаризированное уравнение количества движения будет совпадать по виду с линеаризированным уравнением переноса вихря, и, следовательно, для исследования их устойчивости можно использовать одни и те же методы, получая при этом одни и те же условия устойчивости. Решать уравнение Пуассона для давления можно любым из методов, рассмотренных в разд. 3.1 и справедливых также в рассматриваемом случае по крайней мере с точки зрения линейного анализа устойчивости. Уравнениям количества движения можно придать простую консервативную форму, если, как и в случае уравнения переноса вихря, член У-Ум заменить на У-( У). Но применение идеи консервативности в отношении сохранения массы в этом случае осложняется. При решении уравнения Пуассона потребуется отказаться от консервативной формы уравнения неразрывности, в чем мы сейчас и убедимся. [c.294]

Она представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для нее можно указать три очевидных первых интеграла, которые не дают полного решения задачи. Однако их можно учесть с целью упрощения вычислений (см. стр. 176). Пусть материальная точка начинает падение без относительной начс1Льной скорости, в начальный момент времени i = О расположена на оси Z и имеет высоту Я. Тогда, проинтегрировав один раз уравнения движения и приняв во внимание начальные условия, найдем [c.283]

Пример 4. КОЛЕБАНИЯ НИТИ С БУСИНКАМИ. Как отмечают в своей книге Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [14, с. 142—143], этой задаче принадлежит совершенно особая роль в истории механики и математики. Пожалуй, она была первой задачей на исследование малых колебаний системы с п степенями свободы. В связи с ней Ж. Даламбер предложил свой метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отправляясь от нее, Даниил Бернулли высказал свое знаменитое предположение, что решение задачи о свободном колебании струны можно представить в виде тригонометрического ряда, что вызвало между Л. Эйлером, Ж. Даламбером, Д. Бернулли и др. дискуссию о природе тригонометрических рядов, затянувшуюся на несколько десятилетий. Впоследствии Ж. Л 1гранж показал более строго, как можно предельным переходом из решения задачи о колебаниях нити с бусинками получить решение задачи о колебании струны. Наконец, этой задачей (и аналогичной задачей из теории теплопроводности) руководствовался III. Штурм в своих замечательных исследованиях по высшей алгебре и теории дифференциальных уравнений . [c.126]

Исследователи, изучающие движение сыпучей среды, из общих законов механики могут предсказать основные качественные черты движения. Поэтому к математическим способам описания неизвестных эмпирических зависимостей, в которых выбор вида аппроксимирующей функции осуществлен формальным образом, обычно не прибегают. Наиболее привычной формой описания движения являются дифференциальные уравнения. Достаточно просто решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому сплошную среду описывают моделью, состоящей из системы твердых тел, связанных взаимно и с пове])Хностью лотка со стандартными элементами линейной упругости, линейной вязкости, сухого трения с постоянными коэффициентами и простейшими ударными элементами. Такие модели позволяют получить общее решение, поэтапно используя решения линейных систем. Число масс упругих, вязких, ударных элементов сухого грения определяет число посгоянных, подлежащих определению из эксперимента. С увеличением числа элементов возрастает точность описания экспериментальных результатов. Такие модели способны описывать с достаточной гочносгью все необходимые зависимости — = Кг (о), где вектор а — совокупность всех параметров, влияющих на /(, т. е пространство параметров, в котором ведется эксперимент. Решение дифференциальных уравнений движения дает теоретические значения К . Но эти значения зависят от численных значений параметров модели с . Их определяют, минимизируя квадратическую ошибку между экспери енгальными значениями (aj и теоретическими значениями подсчитанными при тех же комбинациях параметров а,-, при [c.90]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

К у ш н и р Р. М. О построении решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, — Докл, АН УССР, Сер. А,, 1980, № 9, с. 55-59. [c.363]

Однако, как известно, задачи об устойчивости оказываются фактически разрешимыми только в тех случаях, когда задача решается уже в первом приближении, т. е. исследованием линейной системы дифференциальных уравнений, да еще вдобавок с постоянными коэффициентами. В механике мы имеем такие случаи для неконсервативных систем, где благодаря диссипации энергии оказывается возможной асимптотическая устойчивость, легко обнаруживаемая в первом приближении. В задачах классической небесной механики мы имеем дело всегда с консервативными системами, в которых по первому приближению легко обнаруживается только неустойчивость, а представляющие интерес случаи относятся к категории особенных , для исследования которых о)1 ного первого приближения недостаточно, что чрезвычайно усложняет и затрудняет получение эффективного решения. [c.343]

Постоянные интегрирования .j (г = 1, 2,. . ., 8 j = О, 1, 2) из (9.4), (9.5) необходимо определять из указанных краевых условий и условий непрерывности (9.8) и (9.10) при i, 2) которые дадут систему 24 линейных алгебрапческих уравнений. Численное решение указанной системы уравнений затруднено, так как матрица данной системы плохо обусловлена. Это связано с тем, что коэффициенты системы дифференциальных уравнений (9.2) содержат фактически два малых параметра и y4 VA . Однако с помощью компактной схемы исключения [79] получены рекуррентные сооотпошения для определения постоянных интегрирования Су (г = 1, 2,. .., 8 = 0, 1, 2) и тем самым найдены для них аналитические выражения, используя которые были получены обобщенные смещения [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...