Распределения Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака

Распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака [c.230]

Таким образом, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака могут быть записаны в виде [c.183]

Замечание при отыскании максимума величины о мы не дифференцировали по N1 слагаемое N 1п N. Читатель легко может убедиться, что такое дифференцирование изменяет лишь значение параметра а, который все равно находится из условий (36.4), (36.5).) Нетрудно видеть, что распределение Максвелла - Больцмана можно получить как предельный случай распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака (35.20) [c.186]

Мы можем при малых числах заполнения приближенно считать частицы различимыми и перейти от формул распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми -Дирака к формулам статистики Максвелла - Больцмана. Критерий возможности такого перехода был рассмотрен нами в 37. [c.198]

Заметим, что вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми -Дирака, а следовательно, и вывод распределения Больцмана как их предельного случая может быть повторен без всяких изменений и приведет нас к прежним результатам, однако понятия ящики и ячейки приобретут в этом случае иной смысл. [c.199]

Под ящиком теперь следует понимать энергетический уровень, т. е. всю совокупность состояний частицы с данным значением энергии, а под ячейками — отдельные состояния с данным значением энергии. Если уровень не вырожден (данному значению энергии соответствует только одно состояние), то ячейка совпадает с ящиком, если имеется вырождение, то энергетическому уровню — ящику — соответствует большее или меньшее количество ячеек. В квантовой механике доказывается, что основной энергетический уровень — уровень с наименьшей энергией — как правило, не вырожден. Заметим, что в теории, учитывающей квантование энергии, числа gi отнюдь не обязаны удовлетворять условию я, 1, необходимому для применения формулы Стирлинга. Поэтому метод ящиков и ячеек, с помощью которого были получены распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми -Дирака, становится здесь явно некорректным. Однако, как уже упоминалось в 36, сами эти распределения остаются верными, и они будут получены вторично в 64 другим, вполне корректным методом. [c.199]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

В этом параграфе мы приведем вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака для идеальных газов, не основанный на предположении g, 1. [c.326]

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ - ДИРАКА 191 [c.191]

Рис. 9.7. Сравнение функций распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака.

Вернемся теперь к вопросу, поставленному нами в начале 34 являются ли частицы одного сорта (электроны, фотоны, атомы и т. д.) тождественными или они могут немного отличаться друг от друга. Ответ на этот вопрос следует из того, что, как показывает сравнение с экспериментом, в природе для всех частиц справедливы распределения Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака, а распределение Максвелла - Больцмана оказывается лишь приближенно справедливым в предельном случае малых чисел заполнения. Это значит, что микрочастицы одного сорта являются неотличимыми и уж тем более тождественными. [c.187]

Второе видоизменение классической теории связано с изменением в равновесной функции распределения Максвелла — Больцмана для законов Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. [c.149]

Квантовая статистика ставит математике и некоторые новые задачи так, обоснование своеобразных принципов статистических расчетов, лежащих в основе новых статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, потребовало математических рассуждений, принципиально (а не только по аналитическому аппарату) отличных от всех тех, с какими имела дело классическая статистическая механика. Тем не менее можно утверждать, что переход от классических систем к квантовым в основном не создал каких-либо существенно новых математических трудностей любой метод обоснования статистической механики классических систем в принципе может быть применен и к системам квантовым, требуя для достижения этой цели только расширения аналитического аппарата, которое может иногда вызвать небольшие трудности технического характера, но в принципиальном плане не создает новых математических задач там, где мы ранее оперировали интегралами, приходится иметь дело с конечными суммами или рядами, а непрерывные вероятностные распределения заменяются дискретными, для которых имеют место вполне аналогичные предельные теоремы. [c.8]

X. п. явл. параметром в Гиббса большом каноническом распределении для систем с перем. числом ч-ц. В кач-ве нормировочной постоянной X. п. входит в распределения Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака для ч-ц идеальных газов (см. Статистическая физика). В системах, в к-рых применима статистика Больцмана или Бозе — Эйнштейна, X. п. всегда отрицателен. Для ферми-газа X. п. при нулевой темп-ре положителен и определяет граничную Ферми энергию (см. Ферми поверхность) и вырождения температуру. Если полное число ч-ц в системе не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамич. равновесия, как, напр., для фононов в тв. теле или для фотонов в случае равновесного теплового излучения, то равновесие характеризуется равенством нулю X. п. [c.838]

Это распределение впервые вывел Бозе в 1924 г. для систем световых квантов. Эйнштейн применил его к идеальным газам. Оно известно как распределение Бозе — Эйнштейна и содержит в знаменателе слагаемое (—1) вместо (+1) в распределении Ферми — Дирака. [c.102]

Нарушение третьего закона не следует приписывать исполь-ованию непрерывного распределения (р(е, 0- Так, в теории идеальных газов Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака та же амая функция <р(е, используется для описания плотности одночастичных уровней, но вследствие наложения ограничений на симметрию полной волновой функции газа уравнение (50) перестает быть справедливым, и плотность состояний р ( , 10 Для всего газа в целом существенным образом изменяется. В обоих случаях р не содержит множителя, являющегося только функцией от объема V, и третий закон выполняется. Значение температуры, ниже которой проявляется действие третьего закона, определяется температурой вырождения Т [c.33]

Сопоставление распределений Максвелла—Больцмана (М—Б), Бозе — Эйнштейна (Б—Э) и Ферми — Дирака (Ф—Д). [c.232]

Сделаем предварительно следующее методическое замечание. Все ячейки, принадлежащие одному и тому же ящику, эквивалентны. Это видно, в частности, из того, что число частиц в ящике М пропорционально gi как в случае распределения Бозе - Эйнштейна (34.6), так и в случае распределения Ферми - Дирака (34.12), поэтому зачастую целесообразно пользоваться числами заполнения, отнесенными к одной ячейке п = Л у /gi. Эти числа равны [c.180]

Сравним в заключение графики (рис, 75) распределения Бозе -Эйнштейна (/), Ферми - Дирака (2) и Максвелла - Больцмана (3) при низких температурах. Функция распределения Бозе - Эйнштейна име- [c.283]

В 1924 инд. физик Ш. Бозе нашёл распределение по импульсам световых квантов и связал его с распределением Планка. Эйнштейн обобщил распределение Бозе на газы с заданным числом ч-ц. Итал. физик Э. Ферми в 1925 получил ф-цию распределения ч-ц, подчиняющихся принципу Паули, а англ. физик П. А. М. Дирак установил связь этого распределения и распределения Бозе — Эйнштейна с матем. аппаратом квант, механики. Дальнейшее развитие С. ф. в 20 в. шло под знаком приложения её осн. принципов к исследованию конкретных проблем. [c.722]

Хотя тот же общий принцип применен к распределениям Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, явное алгебраическое выражение для X не может быть получено. [c.104]

В квазиклассическом приближении, когда все величины медленно изменяются на расстояниях порядка длины волны частицы (т. е. когда состояние частицы определяется координатой и импульсом, но ее импульс и энергия дискретны, частицы квантово неразличимы и удовлетворяют принципу Паули), можно пользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Как мы увидим в следующей главе, учет квантовых свойств частиц в этом случае состоит в использовании для приближенного вычисления члена столкновений равновесной функции распределения Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна. [c.135]

Распределение частиц по одночастичным квантовым состояниям зависит от того, являются ли частицы бозонами или фермионами. В соответствии с этим существуют две квантовые статистики статистика Бозе—Эйнштейна (для бозонов) и статистика Ферми — Дирака (для фермионов). [c.229]

Распределение по энергиям электронов, протонов, нейтронов (и других фермионов) описывается уравнением Ферми-Дирака, а распределение фотонов (и других бозонов) -уравнением Бозе - Эйнштейна. Математически оба распределения могут быть записаны в виде [c.467]

И существенно зависит от л и, следовательно, от а. Таким образом, для точных статистических распределений Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна объем элементарной ячейки, как мы уже упоминали в 33 и 34, не является произвольным, каким является в известных пределах объем ящика, а точно фиксируется законами природы и может быть найден из экспериментов. Только в предельном случае малых чисел заполнения (область применимости распределения Максвелла -Больцмана) эта возможность исчезает и фазовый объем ячейки становится произвольным. [c.191]

Отметим, что, несмотря на внешнее сходство и несомненно имеющуюся глубокую связь этого приема с искусственным приемом Гиббса в теории идеального газа ( 36), между ними существует принципиальное различие. Прием Гиббса применялся в рамках распределения Максвелла - Больцмана, основанного на неверной гипотезе о различимости микрочастиц и имеющего смысл только как предельный случай правильных формул Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна. Как мы уже подчеркивали, этот прием логически несостоятелен. [c.325]

В связи с резкими различиями в свойствах газов, состоящих из фермионов и бозонов, иногда говорят, что они подчиняются двум разным квантовым статистикам. Бозоны — статистике Бозе — Эйнштейна, а фермионы — статистике Ферми — Дирака. Указанные статистики отличаются законом распределения частиц по квантовым состояниям [см. (21.5) и (21.6)]. [c.146]

Сделаем в заключение этого параграфа следуюшее замечание. Вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака методом яши-ков и ячеек предполагает, что в ходе процесса установления термодинамического равновесия частицы могут менять энергию, переходя из яшика в яшик. В противном случае любое начальное неравновесное распределение частиц в //-пространстве оставалось бы неизменным и не релаксировало бы к равновесному состоянию, а процедура максимизации In W не имела бы смысла. Очевидно, возможность переходов частиц из яшика в яшик возникает благодаря взаимодействию частиц с окружаюшей средой (друг с другом частицы не взаимодействуют). Эта окружаюшая среда обязана быть термостатом (Т = onst) с непроницаемыми (N = onst) стенками. Это следует из того, что при выводе статистических распределений мы считаем фиксированными полное число частиц N я полную энергию U, которая при фиксированном N зависит для идеального газа только от температуры. Таким образом, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а также распределение Максвелла - Больцмана, которое мы получим в следуюшем параграфе, представляют собой наиболее вероятные распределения частиц идеального газа в //-пространстве при условии, что этот газ помешен в термостат. [c.184]

Пользуясь формулами (35.5) и (35.8), вывести распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, минимизируя свободную энергию при условии N= onst. [c.185]

X. п. является термодинамич. параметром в большом каноническом распределении 1иб6са для систем с перюм, числом частиц. В качестве нормировочной постоянной X. п. входит в распределения Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми—Дирака для частиц идеальных газов (см. Статистическая физика). В системах, к к-рым применима статистика Больцмана или Бозе—Эйнштейна, X. п. всегда отрицателен. Для ферми-газа X. п. при нулевой темп-ре положителен и определяет граничную ферми-энергию (см. Ферми-поверхность) и вырождения температуру. Если [c.412]

Для квант, гaзoiв значения эфф. сечений рассчитываются на основе квант, механики (с учётом неразличимости одинаковых ч-ц и того факта, что вероятность столкновения определяется не только хар-ром ф-ций распределения ч-ц до столкновения, но и хар-ром этих ф-ций после столкновения). Для фермионов учёт этих факторов приводит к уменьшению вероятности столкновений, а для бозонов— к увеличению. Интеграл столкновений в этом случае имеет более сложный вид (содержит //1(1 / ) (Г-Р /г) вместо ffi, где верхний знак относится к Ферми Дирака статистике, а нижний — к Бозе — Эйнштейна статистике). Ферми—Дирака распределение и Бозе — Эйнштейна распределение явл. решениями соответствующих квант. К. у. Б. для случая ст1атистич. равновесия, ф См. лит. при ст. Кинетическая теория газов. Д. Н. Зубарев. [c.286]

А. Эйнштейном в применении к молекулам идеальных газов. В квант, механике состояние системы ч-ц описывается волновой функцией, зави- сящей от координат и спинов ч-ц. В случае Б.— Э. с. волн, ф-ция симметрична относительно перестановок любой пары тождественных ч-ц (их координат и спинов). Гисло заполнения квантовых состояний при таких волн, ф-циях ничем не ограничены, т. е. в одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых ч-ц. Для идеального газа тождественных ч-ц ср, значения чисел заполнения определяются Бозе—Эйнштейна распределением. Для сильно разреж. газов Б.— Э. с. (как и Ферми — Дирака статистика) переходит в Больцмана статистику. См. Статистическая физика. Д- Н. Зубарев. БОЗОН (бозе-частица), частица или квазичастица с нулевым или целочисл. спином. Б. подчиняются Бозе — Эйнштейна статистике (отсюда — назв. ч-цы). К Б. относятся фотоны (спин 1), гравитоны (спин 2), мезоны и бозонные резонансы, составные ч-цы из чётного числа фермионов (ч-ц с полуцелым спином), напр. ат. ядра с чётным суммарным числом протонов и нейтронов (дейтрон, ядро Не и т. д.), молекулы газов, а также фо-ноны в ТВ. теле и в жидком Не, экситоны в ПП и диэлектриках. Б. явл. также промежуточные векторные бозоны я глювны. В. Ц. Павлов. [c.55]

Л дс знаки Т отиосятся к Ферми — Дирака статистике и Бозе — Эйнштейна статистике. Эти условия определяют распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. [c.586]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...