Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия [c.346]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия. .............................. 189 [c.6]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы. Уравнения Лагранжа консервативной механической системы имеют вид [c.168]

Из доказанной теоремы Ляпунова вытекает, как частный случай, известная теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы в случае, когда силовая функция имеет в положении равновесия изолированный максимум. Действительно, пусть движение системы определяется уравнениями (2.5), где U = U qa), а Т — квадратичная форма от Ра, не зависящая от времени. [c.80]

Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы интересовало многих исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена. Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости положения равновесия. [c.441]

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. -. . ... [c.108]

Последнее неравенство означает, что вьшолняются условия теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы с консервативными силами и стационарными связями (см. 4.12). Заметим, что согласно известной теореме вложения [c.287]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Если в положении равновесия системы материальных точек силовая функция имеет изолированный максимум, то положение равновесия устойчиво. [c.368]

Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво но Ляпунову. [c.96]

С теоремами об устойчивости, полученными методом функций Ляпунова, связаны, как правило, теоремы о неустойчивости, в нетривиальных случаях требующие тонкого анализа необходимых для их справедливости дополнительных условий. Такую теорему о неустойчивости дал и сам Ляпунов. С этим связан также давний вопрос об обраш ении теоремы Лагранжа ( если в положении равновесия силовая функция имеет максимум (изолированный), то равновесие устойчиво ), т. е. вопрос, будет ли положение равновесия неустойчиво, если ему соответствует не максимальное значение силовой функции. Кроме А. М. Ляпунова этим вопросом занимались Ж. Адамар, [c.129]

Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Рассматриваемое положение равновесия может оказаться устойчивым или неустойчивым. О характере этого положения равновесия можно судить по тому, как ведет себя система вблизи положения равновесия. [c.552]

Вопрос об устойчивости положения равновесия или стационарного движения в данном случае приводится к проблеме минимума функционала энергии W, что позволяет обобщить классические теоремы Лагранжа и Рауса. [c.182]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. Если в положении равновесия (4 = 0, д = qQ) консервативной системы потенциал имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.440]

Основные теоремы. Задача об устойчивости имеет значение ие только при исследовании положений равновесия, но и при исследовании движения механических систем. Она возникает в связи с необходимостью знать, как изменится движение нри отклонении начальных условий от заданных. Исследованием вопросов устойчивости равновесия занимался еще Аристотель. Лагранж сформулировал известную теорему об устойчивости равновесия и рассмотрел малые возмущенные движения в окрестности положения равновесия системы. Развитием учения об устойчивости равновесия и движения занимались такие крупнейшие ученые, как П. Тэт (1831— 1901), Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907), Э. Раус, А. Пуанкаре, [c.571]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Потенциальная энергия системы представляет собой однозначную непрерывную функцию координат q, имеющую непрерывные частные производные по всем координатам по меньшей мере до второго порядка включительно ). Опреде.чяется потенциальная энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выбрать так, чтобы в положении равновесия было t/ (О, О,..., 0) = 0. Следовательно, в некоторой конечной Д-окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией координат q, возрастающей при удалении от положения равновесия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия). [c.447]

В аналитической д тнамнке имеется теорема об устойчивости положения равновесия шгсте.мы, носящая название теоремы Лагранжа — Дирихле. Ока формулируется так для устойчивости положения равновесия консервативной механической системы достаточно, чтобы потенциальная анергия системы в этом, положении имела изолированный относительный минимум. [c.386]

Вопрос об устойчивости положения равновесия является частным случаем обш,ей задачи об устойчивости движения. Эта задача имеет в современной технике большое значение (двигатель должен устойчиво удерживать заданный режим работы, самолет, ракета, корабль должны устойчиво сохранять заданное направление движения и т. п.). Эти вопросы выходят за рамки настоя-ш,его курса, поэтому желаюш,им ознакомиться с общей задачей устойчивости движения мы рекомендуем обратиться к специальным руководствам ). Здесь же мы ограничимся только основными определениями и изложением теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.456]

Пример 7. Частный случай обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия механических систем и теорема Ирншоу о неустойчивости равновесия точечного заряда в электростатическом поле. [c.96]

Проблема устойчивости систем вида (1) возникла раньше самих уравнений Гамильтона. Так, основная теорема об устойчивости положения равновесия консервативной системы была сформулирована егце Ж. Лагранжем в его Аналитической механике в конце ХУПГго века. Эта теорема утверждает, что если в положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то это но-ложение равновесия устойчиво. Обгцее доказательство этой теоремы дал Лежен-Дирихле около ста пятидесяти лет назад. [c.123]

Центральная задача теории малых колебаний —исследование устойчивости рассматриваемого положения равновесия или периодического движения. Теорин устойчивости посвящена большая литература (см. обзор [11] и В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1984, 1). Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле. [c.267]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце 3.2). Поэтому функция Г -f- П будет определенно-положительной относительно совокупности координат д - и скоростей (см. дока.штельство теоремы Лагранжа 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения ( 2.2). [c.173]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Конечно, после определения реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме Лагранжа — Дирихле. [c.585]

Предположим, что система состоит из одной точки. Приведенным пример показывает, что гармонический колебаниям точки соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по эллипсу. Этот результат является частным случаем геометрической интерпретации, положенной в основу второго способа доказательства теоремы Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия ( 87). [c.278]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы если нотенциальиая анергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво. Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно моя но ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]). [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...