Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия

Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны. [c.624]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия (см. 3.1), имеющая непосредственное отношение к изучаемому вопросу, доказана в годы, когда рассматривались практически только консервативные системы. [c.150]

Мы используем интеграл живых сил при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия (п. 2.2 гл. XX). [c.354]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Если в положении равновесия системы материальных точек силовая функция имеет изолированный максимум, то положение равновесия устойчиво. [c.368]

Кроме отмеченных выше специфических проявлений механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века, труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы (например — теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной динамической системы и т. п.) доказаны в нем недостаточно строго, некоторые выводы недостаточна ясны или недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан только для удерживающих и не зависящих от времени связей и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке устранил эти недостатки и принес существенные обобщения системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды представителей передовой русской школы механики, школы Остроградского — Чебышева — Ляпунова Жуковского. [c.6]

Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Рассматриваемое положение равновесия может оказаться устойчивым или неустойчивым. О характере этого положения равновесия можно судить по тому, как ведет себя система вблизи положения равновесия. [c.552]

Пример 139. В качестве второго примера рассмотрим задачу об обраще-ии теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. Будем предполагать, что на еханическую систему с голономными идеальными связями, не зависящими явно т времени, действуют консервативные силы с силовой функцией [c.581]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы. Если в положении равновесия (4 = 0, д = qQ) консервативной системы потенциал имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.440]

С постоянными коэффициентами, причем Т — положительно определенная форма. Доказать, что для этой системы условия теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости. [c.153]

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (4930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная У". [c.16]

При таком определении устойчивости даны доказательства теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия и теоремы об устойчивостей установившихся движений твердого тела с жидкостью в его полости. Последняя теорема сформулирована следующим образом. [c.33]

В. В. Румянцев (1967) исследовал вопрос о применимости теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия к неголономным системам, рассмотрел обращение этой теоремы и изучил влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия таких систем. [c.40]

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия [c.346]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия. .............................. 189 [c.6]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

При любой нагрузке р> р полная потенциальная энергия П в невозмущенном равновесии не имеет минимума и по теореме Лагранжа об устойчивости этого равновесия судить невозможно. [c.381]

Теорема Лагранжа об устойчивости консервативных систем. Пусть система с голо-номными стационарными связями находится в равновесии под действием одних консервативных сил. Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво но Ляпунову. [c.96]

Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы. Уравнения Лагранжа консервативной механической системы имеют вид [c.168]

Из доказанной теоремы Ляпунова вытекает, как частный случай, известная теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы в случае, когда силовая функция имеет в положении равновесия изолированный максимум. Действительно, пусть движение системы определяется уравнениями (2.5), где U = U qa), а Т — квадратичная форма от Ра, не зависящая от времени. [c.80]

Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы интересовало многих исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена. Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости положения равновесия. [c.441]

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. -. . ... [c.108]

Последнее неравенство означает, что вьшолняются условия теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы с консервативными силами и стационарными связями (см. 4.12). Заметим, что согласно известной теореме вложения [c.287]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Прямой метод Ляпунова заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных t, хи Хч,и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. [c.573]

Центральная задача теории малых колебаний —исследование устойчивости рассматриваемого положения равновесия или периодического движения. Теорин устойчивости посвящена большая литература (см. обзор [11] и В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1984, 1). Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле. [c.267]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости состояния равновесия консервативной системы, соответствующего минимуму потенциальной энергии, было усовершенствовано Ф. Миндингом в его курсе механики 1838 г. и вполне безупречно проведено Г. П. Лежен-Дирихле в заметке 1846 г. [c.120]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Потенциальная энергия системы представляет собой однозначную непрерывную функцию координат q, имеющую непрерывные частные производные по всем координатам по меньшей мере до второго порядка включительно ). Опреде.чяется потенциальная энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выбрать так, чтобы в положении равновесия было t/ (О, О,..., 0) = 0. Следовательно, в некоторой конечной Д-окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией координат q, возрастающей при удалении от положения равновесия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия). [c.447]

Конечно, после определения реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме Лагранжа — Дирихле. [c.585]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...