Положение устойчивого равновесия. Теорема Лагранжа — Дирихле

Вследствие четности функции П (ф) она удовлетворяет также неравенству Я(-Дф) > Я (ф = 0). Следовательно, при ф = О функция Я (ф) имеет минимум. Таким образом, при ф = ф = 180 и ф = фз = 60° функция П (ф) имеет максимум, а при ф = фг = 112,89° и ф = ф4 = О — минимум. На основании теоремы Лагранжа — Дирихле при ф = ф2 и ф = ф4 система имеет положения устойчивого равновесия, а на основании теоремы Н. Г. Че-таева при Ф = Ф1 и ф = фз — положения неустойчивого равновесия. [c.311]

Пользуясь теоремой Лагранжа — Дирихле, исследовать найденные положения равновесия на устойчивость. В положении устойчивого равновесия системы ([c.455]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Теорема Лагранжа — Дирихле заключается в следующем если в положении равновесия системы материальных точек ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия. [c.217]

На основании теоремы Лагранжа — Дирихле нельзя, например, утверждать, что отсутствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия системы обозначает неустойчивость состояния равновесия. Также нельзя на основании этой теоремы утверждать, что положению устойчивого равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. существует теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле. [c.219]

Задание Д-21. Определение положений покоя (равновесия) консервативной механической системы с одной степенью свободы и исследование их устойчивости (по теореме Лагранжа—Дирихле) [c.320]

ЛАГРАНЖА — ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА — устанавливает достаточное условие устойчивости равновесия консервативной. мехапич. системы. Согласно Л.— Д. т., консерватииная мехаиич. система находится в положении устойчивого равновесия, если нотенц. энергия системы в этом положении имеет строгий минимум. В частности, из Л.— Д. т. следует, что положение равновесия механич. системы в однородном ноле тяжести будет устойчивым, когда центр тяжести системы занимает наинизшее положение. [c.543]

Теорема Лагранжа — Дирихле является основой для всей теории малых колебаний голономной системы вокруг положения устойчивого равновесия поэтому сделаем несколько замечаний, относящихся и к самой теореме, и к ее доказательству. [c.432]

Остановимся на других методах исследования устойчивости упругого равновесия при потенциальных внешних силах. Среди этих методов важное место принадлежит энергетическому методу. Этот метод основан на теореме Лагранжа — Дирихле, согласно которой в положении устойчивого равновесия суммарная потенциальная энергия системы принимает минимальное значение.Теорема Лагранжа — Дирихле, доказанная строго для системы с конечным числом степеней свободы, была распространена на упругие системы Дж. X. Брайаном (1888 г.), С. П. Тимошенко (1907, 1908, 1910 гг.) и другими. [c.335]

Знак постоянной с зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координатй д. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. П"(0)>0. Отсюда следует, что с > О вблизи устойчивого положения равновесия. [c.24]

Примечание. Малые колебания система совершает около устойчивых положений равновесия. Достаточный признак устойчивости определяется теоремой Лагранжа-Дирихле положение д = О, А = l,2,...,w, будет устойчивым, если в этом положении потенциальная энергия имеет изолированный минимум. [c.313]

Равновесие механич. системы устойчиво, если при малом возмущении (смещении, толчке) точки системы во всё последующее время мало отклоняются от равновесных положений в противном случае равновесие неустойчиво. Обычно при малых возмущениях точки системы, находящейся в положении устойчивого равновесия, совершают около их равновесных положений малые колебания, к-рые вследствие сопротивлений со временем затухают, и равновесие восстанавливается. Более строго У. р. определяется и исследуется так же, как и устойчивость движения. В случае механич. консервативной системы достаточное условие У. р. даётся теоремой Лагранжа — Дирихле, согласно к-рой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенц. энергия системы минимальна. См. также Устойчивость упругих систем. [c.797]

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. 127) системы, дает следующая теорема Лагранжа — Дирихле если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым. [c.387]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Конечно, после определения реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме Лагранжа — Дирихле. [c.585]

Приведем теперь достаточный признак устойчивости положения равновесия материальной системы в консервативном силовом поле, даваемый теоремой Лагранжа — Дирихле. [c.42]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли). [c.42]

Теорема 2.7. (теорема Лагранжа Дирихле). Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.86]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

В первом случае эллипсоид в положении равновесия опирается на плоскость концом наименьшей оси и из теоремы Лагранжа Дирихле атедует устойчивость такою положения равновесия. [c.114]

В аналитической д тнамнке имеется теорема об устойчивости положения равновесия шгсте.мы, носящая название теоремы Лагранжа — Дирихле. Ока формулируется так для устойчивости положения равновесия консервативной механической системы достаточно, чтобы потенциальная анергия системы в этом, положении имела изолированный относительный минимум. [c.386]

Малые колебания системы могут длительно совершаться только в окрестности устойчивого положения равновесия системы. Поэтому важное значение имеет теорема Лагранжа—Дирихле, устанавливающая достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Теорема утверждает, для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум. [c.409]

Итак, существуют такие положительные числа и ti , определяющие область начальных значений ql и q для которых все обобщенные координаты удовлетворяют условию (gd < в, т. е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа—Дирихле полностью доказана. [c.412]

Предположим, что система состоит из одной точки. Приведенным пример показывает, что гармонический колебаниям точки соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по эллипсу. Этот результат является частным случаем геометрической интерпретации, положенной в основу второго способа доказательства теоремы Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия ( 87). [c.278]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Согласно теореме Лагранжа — Дирихле, если этот экстрему.м представляет минимум, то иолол<ение равновесия устойчиво. Так, в нижнем вертикальном положении математического маятника потенциальная энергия имеет минимум по сравнению с ее значениями в любых других положениях маятника это положение соответствует устойчивому равновесию маятника. [c.337]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Теорема Лагранжа — Дирихле приводит в этом случае к следующему положению если центр масс системы тяжелых точек занимает наинизилее из возможных смежных положений, то это положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли (1608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж в Аналитической механике использовал принцип Торричелли для доказательства принципа возможных перемещений. Не останавливаясь на подробном изложении этого классического доказательства, приведем следующее простое рассуждение. Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброщен-ных через идеальные блоки нитей, к концам которых привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным к системам силам. Рассматривая полученную таким образом новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая [c.341]

Условия устойчивости равновесия системы с конечным числом степеней свободы устанавливаются следующей теоремой Лагранжа — Дирихле равновесные положения консервативной системы, в которых ее потенциальная энергия достигает минимума, устойчивы. [c.7]

Установленное теоремой Лагранжа— Дирихле условие устойчивости равновесия системы с конечным числом степеней свободы заключается в том, что устойчивому равновесному положению соответствует минимум потенциальной энергии. [c.15]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Теорема Лагранжа—Дирихле. Если точка q — строгий локальный минимум функции 9, то это положение равновесия устойчиво. [c.175]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова относятся к силам, имеющим потенциал. Для силы тяжести иллюстрацией может служить тяжелый шарик на поверхности (фиг. 41). Вообще, если при малом отклонении опертого твердого тела или системы от положения равновесия центр тяжести повышается, равновесие устойчиво, если понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уровне — безразлично. В этом заключается так называемый принцип Торричелли. [c.378]

Теорема Лагранжа — Дирихле. Если в данном положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, равновесие устойчиво. [c.368]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Согласно теореме Лагранжа — Дирихле равновесие является устойчивым, если потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум. Эта теорема относится к консервативным системам. Влияние диссипативных сил можно оценить на основании теоремы Кельвина. Если положение равновесия консервативной системы устойчиво при одних только консервативных силах, то оно остается устойчивым и при добавлении диссипативных сил. [c.5]

Вопрос об устойчивости положения равновесия является частным случаем обш,ей задачи об устойчивости движения. Эта задача имеет в современной технике большое значение (двигатель должен устойчиво удерживать заданный режим работы, самолет, ракета, корабль должны устойчиво сохранять заданное направление движения и т. п.). Эти вопросы выходят за рамки настоя-ш,его курса, поэтому желаюш,им ознакомиться с общей задачей устойчивости движения мы рекомендуем обратиться к специальным руководствам ). Здесь же мы ограничимся только основными определениями и изложением теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.456]

Достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы определяются следующей теоремой Лагранжа — Дирихле если в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.457]

Согласно теореме Лагранжа — Дирихле для доказательства устойчивости равновесия консервативной системы достаточно убедиться в том, что потенциальная энергия имеет в рассматриваемом положении минимум. Для системы с одной степенью свободы определение минимума решается элементарно. Действительно, в этом [c.457]

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа —Дирихле- нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням Яъ . Яз, ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщенные коэффициенты жесткости с,, и составить определители (20.15). Если все А > О, то положение равновесия устойчиво. [c.459]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...