Устойчивость по Лагранжу

Из принципа выбора Больцано — Вейерштрасса следует, что множество предельных точек устойчивой по Лагранжу полутраектории не пусто. [c.13]

Теорема 1.2. Если полутраектория устойчива по Лагранжу, то множество ее предельных точек связно. [c.13]

Такие движения носят название устойчивых по Лагранжу. [c.546]

Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что А =т = О, дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех начальных условий из рассматриваемой области, за исключением, быть может, некоторого множества малой вместе с меры, элементы L, G, Н можно представить сходяш,имися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами (см. 2.7), будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться вековым образом ). [c.125]

Определение устойчивости по Лагранжу. Пусть Gn — область конечных размеров, принадлежащая -мерному евклидову пространству Будем считать, что С имеет конечные размеры, если для любых хе Gn, у е Gn [c.832]

Частное решение x t) уравнения (10.3.01) называется устойчивым по Лагранжу, если выполнены условия [c.832]

Область сплошной устойчивости по Лагранжу — это область, состоящая только из траекторий, устойчивых по Лагранжу. [c.832]

Как упомянуто ранее, нелинейные обратные связи могут приводить к различным типам устойчивости, включая асимптотическую устойчивость и устойчивость по Лагранжу (см. разд. 9.4.1). Эти два типа устойчивости существуют только для возмущений в некоторой ограниченной области параметров. [c.402]

Так, при таком изложении часто фигурирует свойство относительной компактности рассматриваемой (полу)траектории (см., например, I статью, 1 гл., п. 5.5). Пуанкаре назвал такие (полу)траектории устойчивыми по Лагранжу. Тогда еще не было общего понятия компактности, ныне же кажется излишним сохранять особое (и ничуть не более короткое) название для данного специального случая. [c.166]

Из определения вытекает, что точки покоя, а также периодические движения устойчивы по Лагранжу. Очевидно также, что если пространство компактно, то все движения устойчивы по Лагранжу. [c.33]

ЛЕММА 2.8. Для движения, устойчивого по Лагранж- в положительном отрицательном) направлении, iu a)-npt дельное множество компактно. [c.34]

ТЕОРЕМА 1.8. Для того, чтобы движение / (р, t) было устойчивым по Лагранжу в положительном направлении, необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий [c.35]

ТЕОРЕМА 4.8. В т г).предель. ноя множестве движения, устойчивого по Лагранжу в положительном отрицательно li) направлении, устойчивы по Лагранжу. [c.39]

СЛЕДСТВИЕ 2.13. Если существует хотя бы одно дв((же-ние, устойчивое по Лагранжу хотя бы в одном направлении, то множество неблуждающих точек не пусто. [c.55]

Отсюда, учитывая, что в компактном пространстве все движения устойчивы по Лагранжу, имеем [c.55]

ТЕОРЕМА 1.15. Если движение f p, t) устойчиво по Лагранжу в положительном направлении, то множество W K и является минимальным центром притяжения для АРу 0. [c.61]

СЛЕДСТВИЕ 2.16. Если движение / р, устойчиво по Лагранжу в положительном (отрицательном) направлении, то йр (кр) содержит некоторое минимальное множество. [c.65]

ТЕОРЕМА 3.17, В полном пространстве всякое рекуррентное движение устойчиво по Лагранжу. [c.67]

ТЕОРЕМА 1.23. Если Ло не является точкой, покоя, а движение /(ло, О устойчиво по Лагранжу в положительном отрицательном) направлении, то оно устойчиво по Ляпунову в положительном отрицательном) направлении. [c.94]

СЛЕДСТВИЕ 2.24. Для устойчивого по Лагранжу почти периодического движения / р, имеет место равномерная устойчивость по Ляпунову множества Ер относительно Ър. [c.97]

СЛЕДСТВИЕ 5.24. Если движение /(/ , t) устойчиво по Лагранжу, а Ер устойчиво по Ляпунову относительно Ер, то движение / р, П) почти периодическое. [c.100]

ТЕОРЕМА 4.24. Для того, чтобы устойчивое по Лагранжу движение / р, О било почти, периодическим, необходимо и достаточно, чтобы Ер было равномерно) устойчиво [c.100]

Пространство R локально компактно, а движение f p, О не устойчиво по Лагранжу в положительном направлении. [c.105]

ЛЕММА 3.25. Ни одна точка локальной компактности R не может принадлежать предельному множеству движения, не устойчивого по Лагранжу в положительном направлении. [c.105]

ТЕОРЕМА 4.25. Если движение /(р, /) устойчиво по Лагранжу в положительном направлении, а М единственное в Ор минимальное множество, то р=М и полутраектория / р, /+) равномерно аппроксимирует М.. [c.106]

ТЕОРЕМА 6.25. Если движение / р, t) устойчиво по Лагранжу в положительном направлении, а / р, /+) разно-мерно устойчиво по Ляпунову в положительном направлении относительно Др, /+), то Яр является минимальным множеством почти периодических движений. [c.108]

Доказательство. Пусть положительная полутраек-гория Ф() , t) О устойчива по Лагранжу. Пред- [c.13]

Основная задача теории устойчивости движения — это установление критериев, позволяющих судить, будет ли данное движение устойчивым или неустойчивым. При этом понятия устойчивость движения или устойчивость рещения трактовались в предществующий период и трактуются в настоящее время по-разному. В хронологическом порядке, по-видимому, сначала появилось понятие устойчивость по Лагранжу , далее устойчивость по Пуассону , устойчивость по Хиллу , устойчивость по Якоби , устойчивость по Ляпунову , устойчивость на конечном промежутке времени , устойчивость при постоянно действующих возмущениях и др. [c.829]

Вторая представляющая интерес ситуация соответствует большим изменениям мощности или реактивности. В этом случае необходимо учитывать нелинейные эффекты обратных связей. Эти нелинейности намного затруднякэт анализ, поэтому можно получить лишь частные результаты в некоторых специальных случаях. Для больших осцилляций вводятся, по крайней мере, два типа устойчивости асимптотическая устойчивость, когда осцилляции затухают со временем, и устойчивость по Лагранжу, когда осцилляции остаются конечными, но ограниченными [30]. [c.390]

Здесь речь идет об устойчивости по Лагранжу. Движение натмвается устойчивым по Лагранжу, еслп его траектория вечно остается в ограниченной области фазового пространства. [c.191]

Отклонившись от терминологии Шази, я не вполне удачно назвал эти движения в [10] устойчивыми по Лагранжу . В фазовом пространстве соответствующие решения могут оказаться неограниченными, при регуляри.чации парного столкновения по. Зундману скорости продолжаются черед бесконечность. [c.135]

В основе любой математической теории устойчивости лежит та или иная концептуальная модель устойчивости. Когда мы имеем дело с устойчивостью по Пуанкаре, то модель устойчивости следующая имеется некоторое равновесие, в котором находится tи тeмa. В некий момент времени мы выводим ее из этого состояния и затем предоставляем самой себе. Если система стремится вернуться в это состояние, все более и более приближаясь к нему, то мы говорим, что равновесие устойчиво. Часто это свойство переносится на систему, тогда говорят, что система устойчива. Устойчивость по Ляпунову уже более широкая концепция состояние системы считается устойчивым, если при некоторых начальных возмущениях система все последующее время остается в определенной окрестности этого состояния. Устойчивость по Лагранжу трактуется еще менее ограничительно требуется лишь ограниченность траекторий, т.е. чтобы система не выходила за пределы некоторой области. В этой концепции исчезает понятие устойчивого состояния, но легко вводится понятие устойчивой системы. Благодаря этому концепция устойчивости по Лагранжу удачно соотносится с концепцией экологической стабильности. [c.123]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Точка р и движение / р, <) называются устойчивыми по Лагранжу в положительном (отрицательном) направлении (обозначение уст. I (/. )), если замыкание (2-) полутраектории /(р,/ )(/(/>, )) явля. ется компактом. Если же точка р и движение / р, <) устойчивы 1+ и одновременно (Ер компактно), то они называются устойчивыми по Лагранжу (обозначение уст. ). [c.33]

В я-мерном эвклидовом пространстве Е устойчивы по Лагранжу те и только те движения, траектория которых находится в ограниченной части пространства На прямой, очевидно, устойчивыми по Лагранжу будут все движения, кроме движений, происходящих по бесконечным интервалам (—оо, а), Ь, +оо), (-00, 4-00). [c.33]

JlEbAIAPi. 3.8. Если движение f p, t) устойчиво по Лагранжу в положительном отрицательном) направлении, то при t- + o t oo) точка f p,t) стремится к т а)-предель-ному множеству этого движения. [c.34]

ТЕОРЕМА 3.8. Если, движение /(/ , /) устойчиво по Лагранжу в положительном (отрицательном) направлении, то его <4р.упредельное множество связно [c.38]

Доказательство. Допустим, что движение f p, t) уст-тойчиво /,+, а точка g2 ,. В силу инвариантности траектория /( ,/)Сй а в салу замкнутости йр множество Согласно лемме 2.8 множество компактно в себе. Тогда и компактно в себе и движение f g, t) устойчиво по Лагранж/. Теорема доказана. [c.39]

ТЕОРЕМА 5.8. При гомоморфизме динамических систем движение, устойчичое по Лагранжу в положительном отрицательном) направлении, переходит в движение, устойчивое по Лагранжу в том же направлении. [c.39]

ТЕОРЕМА 4.18 (М. В. Бебутов [2]). Для того, чтобы устойчивое по Лагранжу движение было рекуррентным, необходимо и достаточно, чтобы оно было почти рекуррентным. Необходимость очевидна. [c.70]

ТЕОРЕМА 4.19. Для того, чтобы устойчивое по Лагранжу движение Др, было псевдорекуррентным, необходимо и достаточно, чтобы в р все движения были устойчивыми по Пуассону в положительном направлении. [c.74]

ТЕОРЕМА 3.20. Для того, чтобы движение / ( р, t) в системе Бебутова было устойчивым по Лагранжу, необходимо и достаточно, чтобы функция была ограниченной и равномерно непрерывной на всей бесконечной прямой. [c.78]

ТЕОРЕМА 6.22 (Дэйзах и Селл [1]). Если движение / р,() устойчиво по Лагранжу в положительном направлении и положительно асимптотично, то / р,1+) устойчиво по Ляпунову в положительном направлении относительно /(р,/ ). [c.93]

Действительно, если движение f p, /) почти рекуррентно, то рб ЧР рПВр и, следовательно, ГрПВр Л. При этом на основании теоремы 3.25 движение /(/ , О устойчиво по Лагранжу (в обоих направлениях). Из последнего факта и почти рекуррентности движения /(р, I) на основании теоремы 4.18 вытекает его рекуррентность. [c.106]

ТЕОРЕМА 5.25. Для того, чтобы полутраектория Др, 1 ) устойчивого по Лагранжу в положительном направлении движения Др, О равномерно аппроксимировала некоторое подмножество рсОр, необходимо и достаточно, чтобы Ед было в единственнымминимальным множеством. [c.107]

СЛЕДСТВИЕ 5.25. Множество Ор всех и>-предельных точек устойчивого по Лагранжу в положительном направлении дшжения / р, /) является минимальным множеством [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...