Силовая функция системы материальных точек

Функцией Лагранжа L кинетическим потенциалом) называется сумма кинетической энергии и силовой функции системы материальных точек, выраженная через обобщенные координаты и скорости [c.332]

Силовая функция системы материальных точек 12 [c.2]

I 3] СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 13 [c.13]

Силовая функция системы материальных точек Mi (1.9) обладает свойствами, аналогичными свойствам силовой функции одного притягивающего центра. Нужно только иметь в виду, что свойства 1) и 3) остаются в силе всюду, кроме точек Mi, так как в каждой из этих точек функции И, X, Y, Z терпят разрывы, обращаясь в бесконечность. [c.13]

Эти интегралы выводятся, так же как и для уравнений движения точек, при помощи свойств силовой функции, вполне аналогичных свойствам силовой функции системы материальных точек. Рассмотрим сначала эти свойства. [c.386]

Если в потенциальном силовом поле находится система материальных точек, то силовой функцией будет такая функция координат точек системы U(х , у , Zi,. . х , (/ , г ), для которой [c.320]

Система материальных точек называется консервативной ), если существует силовая функция 0(JJ,, У1,. ..,. Kjv, y r, Zfj), [c.58]

Рассмотрим движение системы материальных точек, находящихся под действием восстанавливающих сил, образующих потенциальное силовое поле, и некоторых возмущающих сил, являющихся явными функциями времени. Конечно, система может находиться под действием сил с более общими физическими свойствами — сил, являющихся функциями времени, обобщенных координат, обобщенных скоростей и в некоторых случаях — обобщенных ускорений 2). Но при изучении малых колебаний действие таких сил может проявиться в том, что линейные дифференциальные уравнения будут иметь переменные коэффициенты ), Здесь не изучаются эти более сложные случаи движения системы. Квазигармонические движения точки рассматриваются в конце этой главы. [c.263]

В заключение следует обратить внимание на особенности принятой терминологии. В первом томе различались силовая функция и потенциальная энергия. Здесь ньютоновским потенциалом называется силовая функция консервативного поля сил тяготения, вызываемых системой материальных точек М с массами Ш , действующих на точку М с массой т, равной единице. [c.484]

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Если в положении равновесия системы материальных точек силовая функция имеет изолированный максимум, то положение равновесия устойчиво. [c.368]

Полная силовая функция системы п материальных точек с массами wi и с расстояниями между точками т,- и есть [c.272]

Если в потенциальном силовом поле движется система материальных точек, то силовая функция и потенциальная энергия этой системы равны соответственно сумме силовых функций йли сумме потенциальных энергий всех точек системы, т. е. [c.238]

Силовое поле. Силовая функция. Потенциал. Предположим, что на материальную точку, движущуюся относительно инерци-альной системы отсчета, во всем пространстве или в какой-то его части действует сила, зависящая от положения точки (и, быть может, от времени), но не зависящая от скорости точки. В этом случае говорят, что в пространстве или его части задано силовое поле, а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны. [c.94]

Принцип Лагранжа. Пусть имеется механическая система материальных точек, на которые наложены голономные идеальные связи, не зависящие явно от времени, а силы обладают силовой функцией V. Для такой системы существует интеграл живых сил [c.502]

Таким образом, функция I] определяет все силы притяжения, действующие в системе материальных точек и поэтому называется силовой функцией системы. [c.15]

Определяя взаимную силовую функцию любой пары тел Ti 3 (. /=1- 2,. . ., п, 1Ф]) той же формулой (1.30 ), введем силовую функцию всей материальной системы тел Ti, Тг,. .., Тп формулой [c.41]

Покажем, что относительные координаты х[, у[, г[, называемые также координатами Якоби, определяются уравнениями, имеющими симметричный вид и содержащими частные производные от одной и той же функции, а именно, от силовой функции и материальной системы. [c.358]

Перейдем от взаимодействия между парами точек к понятию силового поля. Рассмотрим равнодействующую сил, действующих на некоторую точку в системе со стороны всех остальных. Так как каждая из составляющих сил зависит от расстояний рассматриваемой точки до других точек, а эти расстояния — от положения рассматриваемой точки в пространстве, то величина равнодействующей будет функцией координат материальной точки, т. е. [c.76]

F . В этом случае вводят 3iV-мерное пространство координат точек Xi, У1, Zi (/=1, 2,. .., N). Задание точки этого пространства определяет расположение всех N материальных точек изучаемой системы. Далее вводят в рассмотрение ЗЛ/-мерный вектор с координатами F , Fiy, F и условно считают, что ЗЛ -мер-ное пространство Xi, yi, Zi всюду плотно заполнено такими векторами. Тогда задание точки этого ЗЛ/-мерного пространства определяет не только положение всех материальных точек относительно исходной системы отсчета, но и все силы, действующие на материальные точки системы. Такое ЗЛ/-мерное силовое поле называется потенциальным, если существует силовая функция Ф от всех 3/V координат х , yi, zi такая, что [c.58]

Если кольцо сделать неподвижным, то получим математический маятник. Пусть кольцо вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг неподвижного диаметра. Во вращающейся вместе с кольцом системе координат помимо силы F на материальную точку будут действовать силы инерции. Исследуем их влияние. Очевидно, что кориолисова сила инерции будет перпендикулярна плоскости кольца. Она полностью компенсируется реакцией связи. Сила F и переносная сила потенциальны. Применив теорему 3.13.3, найдем силовые функции [c.278]

Работа силы, действующей на материальную точку, при движении её в потенциальном силовом поле равна разности силовых функций для крайних положений точки. 2. При движении материальной точки или системы в потенциальном силовом поле её механическая энергия остаётся неизменной. [c.67]

Работа силы, действующей на материальную точку при движении её в потенциальном силовом поле, равна разности силовых функций для крайних положений точки. 2. Если материальная система находится в движении и подчинена двусторонним идеальным связям, то алгебраическая сумма работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. [c.79]

Предположим, что часть сил, приложенных к точкам материальной системы, определяется через силовую функцию V =з = —П. Поле этих функций может быть нестационарным. [c.148]

Уравнения движения. Прямоугольные координаты точки материальной системы u(t, Xi, х ), v(t, х,, ж ), w(t, Xi,. ... .Хп), /н — масса точки. Силы пусть допускают для простоты силовую функцию. Принцип Эйлера — Лагранжа [c.297]

В самом общем случае сила, приложенная к материальной точке, является функцией ее координат, скорости и времени. Если сила зависит только от координат точки ее приложения (и, может быть, еще от времени) или от взаимного расположения точек материальной системы, то такая сила называется позиционной. Область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует позиционная сила, являющаяся однозначной конечной и дифференцируемой функцией координат этой точки и времени, называется силовым полем. Поле называется стационарным, если сипа явно не зависит от времени в противном случае попе называется нестационарным. [c.236]

Консервативные системы. — Консервативными системами называют системы, к которым применима теорема энергии, т. е. энергия которых остается постоянной при отсутствии внешних сил. Мы показали выше, что материальные системы консервативны, если предположить, что внутренние силы центральные и представляют собой функции от расстояний. Однако это условие не является необходимым для того, чтобы система была консервативной. Достаточно, чтобы внутренние силы были консервативны, т. е. чтобы они имели силовую функцию —П, или, что представляет собой одно и то же, чтобы сумма их элементарных работ выражалась полным дифференциалом — 11. Действительно, доказательство теоремы энергии основывается только на одном этом свойстве. [c.26]

Но при таком представлении Клаузиуса об изменчивости законов действия сил природы возникают трудности вычислительного порядка. В выражение силовой функции этих сил входит всегда аддитивная произвольная постоянная, которую мы можем мыслить определенной из условия, что для некоторого положения всех материальных точек системы (нулевой уровень потенциала) функция V обращается в нуль. Для склерономных систем совершенно безразлично, какое положение мы при этом выбираем. Но если закон [c.468]

Проведем из точки О как из центра сферу радиусом , охватывающую все внутренние тела, и будем рассматривать содержимое в этой сфере как свободную систему, присоединив к ее поверхности соответствующие силы гидродинамического давления. Для такой системы можем написать, что сумма моментов всех действующих сил относительно оси О х равна производной по времени от суммы моментов относительно той же оси количеств движения всех материальных точек системы. Сумма моментов сил, действующих на взятую нами систему, сложится из суммы моментов внешних сил, действующих на погруженные тела, и суммы моментов сил, имеющих силовую функцию V и действующих на частицы жидкости, потому что силы гидродинамического давления, приложенные к поверхности сферы, пересекают ось О х и не имеют относительно ев моментов. [c.440]

Предположим, что для заданных сил действующих на материальные точки у , 2 ) данной системы, существует силовая функция и, зависящая от положения системы, т. е. от координат точек М , так что [c.558]

Силовая функция (1.11) системы свободных материальных точек принципиально отличается от силовой функции (1.9) системы притягивающих центров. В самом деле, функция (1.9) зависит только от трех координат точки Р, так как координаты притягивающих центров рассматриваются в формуле (1.9) как величины постоянные. Наоборот, функция (1.11) содержит 3 координат, которые все являются независимыми переменными, а постоянными величинами в ее выражении являются только массы точек системы. [c.15]

В начале первой главы мы указали на некоторые очевидные свойства силовой функции ньютоновского притяжения материальной точки другой материальной точкой или системой конечного числа материальных точек. [c.43]

Формулы, полученные в предыдущей главе, дают нам выражение для силовой функции эллипсоидального тела (полного эллипсоида или эллипсоидального слоя, однородного или обладающего эллипсоидальной структурой) и материальной частицы единичной массы, отнесенной к декартовой системе координат, совпадающей с главными осями эллипсоида. Если в этих формулах заменить / на / г, то мы получим выражение силовой функции тела на материальную точку массы х. [c.148]

Для вычисления этого интеграла мы можем отнести тело Т к собственной системе координат с началом в точке О1, а тогда ясно, что написанное выражение представляет собой силовую функцию тела Г1 на материальную частицу с массой тг//, находящуюся в точке Ог. Следовательно, если , т), суть координаты О] относительно Ог, то ——т], — суть координаты Ог относительно Оу (оси обеих систем, по условию, параллельны), и мы будем иметь, применяя опять формулы (5.34), (5.35) и (5.37), [c.257]

В том случае, когда уравнения (6.32) определяют движение материальной системы, обладающей силовой функцией, то И определяется фор.мулой (6.31 ), и если живая сила Т и силовая функция и не зависят от времени, то мы имеем первый интеграл [c.294]

Уравнения (7.35) можно также рассматривать как дифференциальные уравнения абсолютного движения системы п фиктивных материальных точек Mi, обладающих массами в поле сил, определяемом силовой функцией U, зависящей только от координат у[, z[ этих точек. [c.363]

Тогда силовая функция U совершенно не зависит от эйлеровых углов, и уравнения (8.7) приводятся только к системе (8.6), определяющей поступательные движения точек Gi — центров шаров, как материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. [c.394]

Таким образом, в потенциальном силовом поле система материальных точек будет находиться в равновесии только тогда, когда силовая функция И имеет стационарное значение. Условия равновесия в этом случае будут совпадать с математическими условиями определения максимума или минимума функции и. Условие 6 /=0 представляет собой необходимое и достаточное условие равновесия системы в поле сил, имеющих потенциал, и только необходимое условие максимума или минимума силовой функции. Можно показать, что если для некоторой системы значений координат д, <72, силовая функция имеет максимум, то соответствующее положение равновесия будет устойчиво (теорема Лежен — Дирихле) [c.338]

Пример 7.3.1. Обратимся к механической системе, рассмотренной в примере 5.6.2. Заданы две материальнь>1е точки массы т, соединенные не имеющим массы стержнем длины 21. Под действием силы тяжести система движется только в вертикальной плоскости и только так, что скорость центра масс направлена вдоль стержня. Пусть у — вертикальная, ах — горизонтальная координаты середины стержня, р — угол, который стержень образует с горизонтальным направлением. Имеем кинетическую энергию и силовую функцию системы [c.532]

Системы, находящиеся под действием консервативных сил. Силовая функция.—Силы, прямо приложенные к системе материальных точек, называются консервативными (в их совокупности), если они позиционные и если сумма их элементрных работ на всяком перемещении системы есть полный дифференциал функции и от Зя координат точек системы, т, е. если тождественно выполнено равенство [c.310]

Если в потенциальном силовом поАб движется система материальных точек, то для каждой точки с координатами х, можно определить свою силовую функцию [/ Хк, у , позволяющую вычислить элементарную работу силы, действующей на эту точку. Тогда функция от координат всех точек системы [c.386]

Силовое поле. Силовая функция. Потенциал. Предположим, что на материальную точку, движущуюся относительно инерциаль-пой системы отсчета, во всем пространстве или в какой-то его части действует сила, зависящая от положення точки (и, быть может, от времени), но не зависящая от скорости точки. В этом случае говорят, что в пространстве или его части задано силовое поле [c.78]

Гельмгольц идет еще дальше и рассматривает системы, которые подчинены только тому условию, что не только сумма кинетической и потенциальной энергий, но и каждая из этих энергий в отдельности остается постоянной. Он называет такие системы изокинетическими. Еще более общее понятие образует Клаузиус. Он называет стационарным такое движение, при котором ни одна прямоугольная координата и ни одна из составляющих по координатным осям скорости материальной точки не возрастает неограниченно, как бы долго ни продолжалось движение. Я предпочитаю называть такое движение конечным . Предположим теперь, что движение не является периодическим в том сл1ысле, что по истечении конечного промежутка времени все материальные точки возвращаются одновременно в точности к прежнему положению с прежней по величине и направлению скоростью и затем снова начинают точно такое движение однако предположим, что движение подчиняется такому закону, что если взять средние значения за некоторый промежуток времени живой силы, составляющей скорости или одной из прямоугольных координат какой-либо точки или всей силовой функции Унт. д., и заставить промежуток времени, для которого вычислено соответствующее среднее, неограниченно возрастать, не варьируя движения, то каждое из этих средних значений будет стремиться к определенному пределу. Такое движение мы будем называть измеримым. [c.471]

Мы будем предполагать, что силовая функция активных сил, действующих на систему материальных точек и д2,. .., дь) имеет в положении равновесия изолированный максимум и что в некоторой окрестности положения равновесия Я = д2=. .. =<7 = 0 она является знакоопределенной отрицательной функцией переменных < 2,..., О й- Тогда для малых движений системы в окрестности положения равновесия живую силу и силовую функцию можно представить в виде [c.568]

Поэтому здесь мы будем преимущественно рассматривать тело Т как притягивающее, а материальную точку Р, массу Которой примем для упрощения равной единице, как притягиваемую. Таким образом, мы можем предполагать, что гело Г Неподвижно относительно некоторой неизменной системы координат Охуг, которую будем выбирать иногда для большей простоты каким-либо особым образом. Следовательно, силовая функция и составляющие силы притяжения будут рассматриваться как [c.55]

В предыдущих параграфах мы рассматривали задачу о разложении силовой функции притягивающего тела, форма и строе ние которого предполагались достаточно произвольными. Система координат, к которой относилось наше тело и притягиваемая материальная точка (едпничной массы), вообще оставалась какой угодно, и лишь в одном случае мы показали, как упрощается разложение, если за систему координат принять главные центральные оси инерции притягивающего тела. [c.227]

Для второго примера возьмем уравнення движения материальной точки в системе координат, вращающейся вокруг оси аппликат с постоянной угловой скоростью п. Кроме того, предположим, что действующая сила имеет силовую функцию, не зависящую от времени. [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...