Колебания систем с двумя степенями свободы

Колебания систем с двумя степенями свободы [c.345]

Задача интересна тем, что в этой системе с двумя степенями свободы корни частотного уравнения равны, и формы главных колебаний совпадают. Эта задача может быть предложена и для аудиторного решения при рассмотрении малых колебаний систем с двумя степенями свободы (при объеме курса не менее 180 часов). [c.113]

Последний большой раздел курса, на котором следует остановиться, — это малые колебания систем с одной и двумя степенями свободы на изучение колебаний отведено семь занятий пять занятий (включая контрольную работу) —на колебания систем с одной степенью свободы и два занятия на колебания систем с двумя степенями свободы. На одном- двух простых примерах показываем студентам, когда система при наличии упругих связей будет совершать колебательное движение, а когда колебания могут не возникнуть и от чего это зависит. Мы обычно это поясняем на примере рис. 5. Уравнения движения системы полезнее составлять разными методами, подчеркнув при этом, что, какой бы метод ни применялся, уравнение всегда будет колебательного вида. Важно научить студентов узнавать уравнения колебательного вида, ибо очень часто студенты не видят разницы между уравнениями [c.11]

Рассмотрим два примера применения изложенного метода для определения частот и форм собственных колебаний систем с двумя степенями свободы. [c.247]

Свободные колебания систем с двумя степенями свободы [c.31]

В гл. 3 были рассмотрены свободные колебания систем с двумя степенями свободы, что не представляло особых затруднений за исключением случая колебаний с демпфированием. Дополнительные трудности возникают в системах со многими степенями свободы, поскольку с ростом числа степеней свободы быстро растет число членов уравнений. Разумеется, матричная формулировка оказывается очень эффективным средством при работе с большим числом членов уравнений. Однако более важным обстоятельством является то, что системы, подвергаемые произвольным возмущениям, исключительно трудно исследовать в исходных координатах, особенно в случае колебаний с демпфированием. Этих трудностей можно избежать, используя более подходящую систему координат. [c.244]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Колебания систем со многими степенями свободы. Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,..., ТУ степенями свободы, и в пределе, при N —>°°, для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн. [c.58]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 187 [c.187]

Вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы.—Рассмотрим теперь общую задачу об установившемся режиме вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы под действием гармонической возмущающей силы. В качестве примера подобной системы вновь рассмотрим две массы, показанные на рис. 135, а, и допустим, что кроме сил натяжения упругих пружин имеется внешняя сила Q sin toi, приложенная к массе т . В данном случае дифференциальные уравнения движения (а), стр. 186 принимают вид [c.201]

Два маятника образуют колебательную систему с двумя степенями свободы. При одинаковых массах и длинах маятники, будучи соединены пружиной, выполняют по одной из главных координат синхронное движение по одному и тому же закону, а по другой — движение в противофазе. Маятники способны в процессе движения системы чередовать между собой возбуждение малых колебаний. [c.577]

Мы ограничимся рассмотрением случая, когда колебания происходят в одной плоскости, т. е. изменяются только две координаты шарика, растянутого на четырех пружинах (рис. 405) плоскость, в которой происходят колебания шарика, совпадает с плоскостью рамки, в которой лежат оси всех четырех пружин. Из того, что нам уже известно о колебаниях систем с одной степенью свободы, мы сможем вывести ряд заключений о характере колебаний системы с двумя степенями свободы. [c.628]

Систему с двумя степенями свободы можно представить как две отдельные системы с одной степенью свободы, связанные друг с другом. Связь между ними приводит к тому, что колебания в одной из них влияют на колебания в другой и наоборот. Системы с одной степенью свободы, на которые можно разбить сложную колебательную систему, называются парциальными. [c.239]

Наиболее распространенными примерами автоколебательных систем с двумя степенями свободы являются генератор, нагруженный дополнительным контуром (рис. 7.8), и два связанных генератора. В генераторе, нагруженном дополнительным контуром, при слабой связанности парциальных систем может возбудиться только одна частота, близкая к парциальной частоте основного контура генератора. Вблизи равенства парциальных частот существует область расстроек, для которых условия самовозбуждения выполнены одновременно для колебаний двух частот, близких к собственной частоте системы. Эта область называется областью затя- [c.269]

Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рассматриваемых системах можно ввести нормальные координаты. Число нормальных координат равно числу степеней свободы системы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. [c.281]

II. Двойным маятником называют систему с двумя степенями свободы, которая получается в результате соединения двух маятников посредством различных связей (твердых, упругих, электромагнитных и т. п.). С этими системами возможны различные интересные опыты. В частности, малые колебания двойных маятников в окрест-носги их положения устойчивого равновесия дают очень наглядное представление механические модели) важных оптических и акустических явлений интерференции и биения (см., в частности, упражнение 6 предыдущей главы). [c.20]

Свойство механических систем находиться при определенных условиях в состояния антирезонанса используется в технике. Если имеется система с одной степенью свободы, находящаяся под воздействием вынуждающей силы, и возникает необходимость погасить колебания такой системы, то этого можно достигнуть, превратив ее в систему с двумя степенями свободы, испытывающую антирезонанс, путем присоединения к ней определенным образом некоторой массы при помощи соответствующим путем подобранных упругих элементов. Такая добавленная к исходной механической системе конструкция носит название динамического виброгасителя. Следует, однако, иметь в виду, что виброгаситель эффективен лишь при строго определенной частоте вынуждающей силы — именно той, при которой возникает антирезонанс. При других частотах виброгаситель не дает необходимого эффекта. Существуют способы, позволяющие расширить полосу эффективной (в некотором осредненном смысле) работы виброгасителя ). [c.165]

Свойства машины с регулятором при резких изменениях нагрузки были предметом многих исследований. Можно сказать, что основы теории регулирования были заложены в трудах И. А. Вышнеградского в 1876—1877 гг. [52]. Машина, находящаяся под нагрузкой, и ее регулятор образуют систему с двумя степенями свободы, если регулирование является прямым (непосредственным). В качестве обобщенных координат Лагранжа обычно выбираются ход втулки регулятора h и угол поворота маховика ф. При расчетах вал принимается абсолютно жестким, так как частота колебаний вала в процессе регулирования бывает значительно ниже частоты собственных крутильных колебаний вала, В основе исследования лежит рассмотрение кинетической и потенциальной энергии регулятора и машины, выраженных через /г и ф. Для большей общности анализа предположим, что кинетическая энергия определяется выражением [c.375]

Вычисленные по этим двум схемам первые частоты собственных колебаний фундамента не сильно различаются между собой. Система с двумя степенями свободы дает возможность определить вторую частоту, которая хотя и лежит за пределами рабочих чисел оборотов, однако она дает возможность судить об удалении второй резонансной воны колебаний от рабочей частоты колебаний машины. Кроме того, эта схема позволяет подсчитать амплитуды вынужденных колебаний не только сосредоточенной массы на ригеле, но и амплитуды колебаний стоек. По этим соображениям мы решили заменить схему рамы, как систему с одной степенью свободы, принятую в Л. 26], на систему с двумя степенями свободы. Такая схема. применялась при расчете фундаментов и раньше [Л. 20]. [c.102]

Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз, подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и дви>кения груза относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е. постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того, будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы достаточно одной координаты. [c.12]

Когда собственные частоты упругих колебаний корпуса достаточно разнесены , взаимосвязь поперечных колебаний корпуса с поворотным двигателем можно установить, рассмотрев систему с двумя степенями свободы — упругие колебания корпуса по форме и-го тона и поворот двигателя. Дифференциальные уравнения малых колебаний имеют вид [16, 18J [c.498]

Пример 3. В качестве тестового примера рассмотрим механическую диссипативную систему с двумя степенями свободы. Уравнения собственных колебаний имеют вид [c.489]

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 2.6), на которую в точке К действует произвольно направленный случайный импульс. Воспользовавшись выражениями для перемещений в канонической форме, получаем следующие уравнения малых колебаний системы (без учета сил сопротивления) [c.44]

Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы. Пусть на механическую колебательную систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости. Требуется найти зависимость координат этой системы от времени. [c.41]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [c.156]

В заключение отметим, что все методы, изложенные для систем с двумя степенями свободы, почти без всяких изменений переносятся на системы с любым числом степеней свободы. В частности, уравнение частот малых колебаний консервативной системы с 8 степенями свободы имеет вид (см. уравнение (20.62)) [c.492]

Записываем полученную систему в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы [c.336]

Линейные системы, близкие к консервативным. Роль близости собственных частот. Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы. Согласно п. 3 такую систему можно представить в виде двух связанных осцилляторов. Считая систему близкой к линейной консервативной, найДем условия устойчивости и покажем, что в возникновении неустойчивости таких систем существенную роль играют не величины связей, а величины связанностей, понятие которых было введено Л. И. Мандельштамом. [c.256]

Ротор на опорах балансировочного станка представляет собой колебательную систему с двумя степенями свободы, имеющую два резонансных состояния первое — ось колеблющегося ротора остается параллельной самой себе, и второе — ось ротора совершает вращательные колебания вокруг центра тяжести. На рис. 4-6, б показаны обе формы колебаний жесткого ротора на податливых опорах станка. [c.148]

С механической точки зрения ротор на опорах балансировочного станка представляет собой колебательную систему с двумя степенями свободы, имеющую два резонансных состояния первое — при колебаниях ротора его ось остается параллельной самой себе, и второе — ось ротора совершает вращательные колебания вокруг центра тяжести. На рис. 4-7, б показаны обе формы колебаний жесткого ротора на податливых опорах станка, где — отклонение точки оси ротора I — расстояние между опорами. [c.133]

Из последнего уравнения определяются два корня для Этим корням будут соответствовать два вида угловых колебаний. Таким образом, вал с тремя дисками представляет собой колебательную систему с двумя степенями свободы. На фиг. 475, в, г изображены две эпюры угловых перемещений сечений вала, полученные при каждом виде колебаний. [c.492]

В курс включен ряд дополнительных разделов, которые при преобразовании МГТУ в технический университет должны стать основными. В динамике достаточно полно изложена теория малых колебаний систем с двумя степенями свободы. Наряду с приближенной теорией дополнительно изложена теория регулярной прецессии и движения быстровращающегося гироскопа под действием силы тяжести, тюзволяюп ая обосновать допущения приближе1шой теории. [c.3]

Для грубой односторонней оценки значений частот свободных колебаний систем с двумя степенями свободы (обобщенные кординаты = П и 92 = Пз) [c.166]

В гл. 3 рассматривались свободные и вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы при вязком демпфировании, теперь займемся исследованием поведения систем с демпфировайием, имеющих п степеней свободы. Когда в состоящей из трех масс системе силы сопротивления создаются гидравлическими амортизаторами (рис. 4.3), уравнения движения в усилиях можно записать в следующем виде [c.302]

Примеры свобоаных колебаний. —Следуя выкладкам 31, рассмотрим теперь некоторые примеры свободных колебаний систем с двумя степенями свободы. [c.192]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Глава VII этой книги посвящена теории колебаний, и здесь дается четкое доказательство того, что матрицы Т а V могут быть диагонализированы одновременно. Этот вопрос изложен здесь значительно яснее, чем в книге Вебстера. Наиболее ценными являются последние параграфы этой главы, посвященные влиянию связей и колебаниям вблизи режима установившегося движения. 94 главы VIII посвящен колебаниям при наличии диссипативных сил и содержит изложение этого вопроса лишь для систем с двумя степенями свободы. [c.376]

Предварительные замечания. Настоящий раздел имеет целью проиллюстрировать изложенную выше общую теорию колебаний систем с к степенями свободы на примерах, в которых рассматривается система с двумя степенями свободы. После ознакомления с этими примерами читателю нетрудно будет самостоятельно выполнить расчет системы и с ббльшим числом степеней свободы. Поскольку неучет сопротивления при колебаниях практически не препятствует обнаружению всех основных особенностей явления, но вместе с тем упрощает вы- [c.149]

Задача сводится к исследованию колебаний системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим предварительно свободные колебания этой системы. Полагая Qi=Q2=0 и пользуясь для прогибов, вызываемых действием веса каждого колеса в отдельности, обозначениями Xi=aqil2k, k2=aqJ2k, представим систему полученных выше дифференциальных уравнений в таком виде [c.352]

Каскадную систему с двумя степенями свободы (рис. 2-21) можно рассматривать как состоящую из двух отделг>иых так называемых парпиальных систем с одной степенью свободы, связанных друг с другом. Это означает, что колебяии я в одной парциальной системе влияют иа колебания в другой, и наоборот. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...