ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование уравнений Лагранжа из "Классическая механика " С точки зрения классической механики движение системы материальных точек вполне детерминировано. Это значит, что если известно, как изменяются и от чего зависят действуюш,ие Б системе силы или каковы потенциальные поля, в которых происходит движение, то информация о состоянии системы в некоторый момент вполне определяет все движение в будущем. Этот детерлшнистский подход четко прослеживается в том случае, когда уравнения движения для системы материальных точек записываются в форме Ньютона (2). [c.136] Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136] Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе. [c.137] Обратим теперь внимание на то, что как в выражении (37), так и в выражении (38) каждый член содержит множитель dtildi, равный нулю, когда преобразование (9) стационарно, т. е, когда все Г не зависят явно от t. Поэтому в стационарном случае из формул (37) и (38) следует, что 7о и 7] равны нулю, а из формулы (40) следует, что коэффициенты a,k в этом случае не зависят от t и являются функциями только координат qi. [c.138] Таким образом, в стационарном случае, т. е. в случае, когда время не входит явно в формулы (9), кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно qi с коэффициентами, зависяш ими только от координат qi. [c.138] Условие линейной независимости п векторов М/ состоит в том, что составленный из них определитель Грама ) отличен от нуля, т. е. [c.140] Вернемся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (все дальнейшее верно также и для уравнений Лагранжа, записанных для движений в потенциальных полях в форме (29)). [c.140] Вспоминая, что в любом случае кинетическая энергия может быть представлена в виде (36), т. е. в виде суммы форм нулевой, первой и второй степени от представляем левую часть уравнений Лагранжа (22) в виде суммы трех выражений, которые получаются при подстановке в эту левую часть сначала Tj, затем Ti и, наконец. То. [c.140] Вернемся теперь к уравнениям (22) и подставим в них вместо Т линейную форму Т . Легко видеть, что выполнение всех операций, указанных в левой части уравнений (22), не может привести к появлению членов, содержащих вторые производные от координат q. Поэтому результатом этой подстановки будет ( ), Это тем более будет выполняться при подстановке в уравнения (22) вместо Т члена Го, не содержащого производных q. Отсюда следует, что в любом случае уравнения Лагранжа (22) сводятся к виду (44). [c.141] Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141] Название введено по аналогии с обычным понятием мощности силы F, г именно N =F-v = F x + Руу-f F z. [c.142] Таким образом, мы установили, что закон сохранения механической энергии для консервативных систем имеет место в любых координатах /l,. .., если преобразование (9) стационарно. [c.143] Вернуться к основной статье