Величины бесконечно большие математическое

Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dx, в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения — величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплошную). Полученная таким образом зависимость является общим. дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени. [c.17]

Виртуозное оперирование величинами, бесконечно растущими, разумное и чрезвычайно плодотворное использование несобственных математических символов, казалось бы, не имеющих смысла с точки зрения строго математической, представляют особенность книги Гиббса. Вся сущность его метода, собственно, и заключается в исследовании получающихся предельных соотношений между величинами, становящимися бесконечно большими или неопределенными, а также в исследовании способов их получения. [c.9]

Когда теплота в каком-либо термодинамическом опыте обменивается между жидкостью, составляющей главный предмет нашего рассмотрения, и каким-либо другим телом, она в действительности поглощается и отдается также стенками сосуда, содержащими, таким образом, переменное ее количество. Это, однако, является нарушающим обстоятельством, которое, впрочем, мы полагаем каким-либо путем сведенным до пренебрежимой величины и которым при теоретическом исследовании мы и действительно пренебрегаем. В нашем случае мы предполагаем стенки не способными поглощать энергию иначе, как при движении внешних координат, но такими, что они позволяют системам, которые они содержат, действовать непосредственно одна на другую. Свойства этого рода математически выражаются предположением, что вблизи некоторой поверхности, положение которой определяется некоторыми (внешними) координатами, частицы, относящиеся к исследуемой системе, испытывают отталкивание от поверхности, столь быстро возрастающее с приближением к ней, что для переноса их сквозь эту поверхность потребовалась бы бесконечно большая затрата энергии. Очевидно, что две системы могут быть разделены поверхностью или поверхностями, действующими с надлежащими силами, и все же приближаться друг к другу настолько, чтобы оказалось возможным механическое воздействие одной на другую. [c.164]

Обтекание с кавитацией. Мы знаем, что скорость жидкости обращается в бесконечность в острых кромках профиля. В стационарном решении согласно уравнению Бернулли в острых кромках возникнут при этом бесконечно большие отрицательные давления. Если кривизна обтекаемого профиля везде конечна, то и давление будет конечным, но оно может принимать, в математическом решении, большие по абсолютной величине отрицательные значения. В реальной жидкости отрицательные давления практически не появляются. Дело в том, что когда давление падает до определенной, зависящей от температуры жидкости малой положительной величины р , жидкость в определенных условиях начинает испаряться образуется область, заполненная парами жидкости, сплошность движения нарушается. Явление это называется кавитацией. [c.354]

Подобно определению функции системы для общего нелинейного электрического квадруполя при известных входном и выходном напряжениях, восприимчивости получаются из соотношения Р,(Е.). Заданный при этом закон изменения напряженности поля может быть в принципе выбран в значительной мере произвольно. Однако как с теоретической, так и с практической точки зрения полезно рассмотреть два предельных случая, а именно случаи импульсных и стационарных условий. В первом случае мы встречаемся с узкими импульсами напряженности поля, которые во временном представлении математически описываются б-функциями. Во втором случае напряженность поля характеризуется фиксированным значением частоты и в частотном представлении описывается б-функцией. Как известно, такие б-им-пульсы напряженности поля невозможно получить ни во временном, ни в частотном представлениях, поскольку с ними было бы связано бесконечно большое содержание энергии. Поэтому мы должны представить себе импульсы конечной (во времени) ширины или колебания с конечной шириной полосы частот. Вместе с тем ширины импульсов или ширины частотных полос должны быть достаточно малыми, чтобы возможно было бы их описание при помощи б-функций. Это условие выполнимо, так как входящие в материальные уравнения восприимчивости являются величинами, имеющими физический смысл, и их необходимое математическое поведение поэтому обеспечено. [c.53]

Если, напротив, действуют внешние силы, то величина области Г имеет верхний предел. Действительно, эта область должна быть выбрана настолько малой, что силовая функция внешних сил могла бы рассматриваться в ней как постоянная. Тогда, следовательно, область О, а также область g следует считать 2[А-кратно очень малыми, и условие, что число молекул, для которых значения переменных лежат в одной из таких областей, должно быть очень большим, было бы выполнимо лишь в том случае, если бы число молекул в единице объема было бесконечно в математическом смысле. Но в теории газов принимается, что число молекул в единице объема хотя и очень велико, но все же в математическом смысле не бесконечно. Поэтому указанное выше условие относится лишь к идеальному случаю, от которого, тем не менее, можно ожидать согласия с опытом на основании следующих соображений. [c.372]

В реальных подшипниках составляющая демпфирования kov велика ее влияние на динамику подшипника мало, так как демпфер включен последовательно с пружиной, имеющей жесткость с . Предполагая указанную составляющую демпфирования бесконечно большой, получим жесткость подшипиика как сумму жесткостей сис . В то время как смещение подшипника при действии статической нагрузки определяется статической жесткостью подшипника, при динамической нагрузке это смещение определяется в первую очередь жесткостью k. Величины жесткостей и составляющие демпфирования могут быть представлены в виде математических зависимостей, поэтому можно рассчитать шпиндельный узел на гидростатических подшипниках. Основой такого расчета служит уравнение в частных производных по Тимошенко. Приближенный расчет можно осуществить с помощью аналоговых электронно-вычислительных машин (АВМ). [c.85]

Покажем, что при числе испытаний бесконечно большим пределом среднего арифметического будет математическое ожидание случайной величины. [c.142]

Принцип Сен-Венана до сих пор не имеет исчерпывающего теоретического обоснования. Существующие в этом направлении попытки посвящены преимущественно рассмотрению бесконечно большого тела, на участке поверхности которого приложены внешние силы, распределенные по тому или иному закону. Результаты данных исследований позволяют подойти к оценке погрешности принципа Сен-Венана применительно к массивным телам (т. е. таким телам, все размеры которых являются величинами одного порядка). Более трудным является вопрос об оценке этой погрешности при расчете напряжений в гибких телах (стержнях, пластинах, оболочках), который разработан слабо. Поэтому на принцип Сен-Венана следует смотреть как на положение, выдвинутое скорее физическими, нежели математическими соображениями, и с этих позиций к нему в каждом конкретном случае и подходить. [c.237]

Однако в непосредственной близости от критической точки (т. е. при температурах, отличающихся от критической температуры для большинства веществ на доли градуса, а для некоторых веществ — на несколько градусов или даже более десятка градусов) эти зависимости несколько изменяются характерно, что в математическом отношении наблюдающиеся сингулярности (стремление некоторых производных термодинамических величин к бесконечности) становятся более слабыми по сравнению с тем, что имеет место на несколько большем удалении от критической точки. [c.259]

Гипотеза о малости деформаций. Деформации малы по сравнению с размерами деформируемого тела. На этом основании при деформации пренебрегают изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и уравнения статики составляют для недеформируемого тела. Малые деформации рассматриваются как бесконечно малые величины в математическом анализе. Если в каком-либо уравнении есть слагаемые с произведениями деформаций и слагаемые с деформациями во второй и большей степени, то их отбрасывают как величины высшего порядка малости. [c.18]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Обычно в качестве функций, определяющих качество изображения, берут поперечные и продольные аберрации, иногда волновые аберрации. Хотя с точки зрения простоты вычислений эти величины имеют преимущество перед другими (они выдаются ЭВМ как непосредственный результат расчета хода лучей), но как математические функции от конструктивных элементов они невыгодны, так как представляются. плохо сходящимися рядами и легко обращаются в бесконечность даже при не очень больших апертурах и полевых углах по этой причине онн далеки от линейности, что служит значительным препятствием к сходимости процесса автоматического или частично автоматического расчета оптической системы. [c.253]

Великий английский математик и механик Исаак Ньютон (1642—1727) в своей книге Математические начала натуральной философии , вышедшей в свет в 1687 г., дал вполне законченную систему основных законов механики. Динамический способ определения силы был им разработан в дифференциальной форме. Ньютон сформулировал закон параллелограмма сил и закон сложения движений. Ньютона, так же как и Лейбница, следует считать одним из основателей анализа бесконечно малых величин, который имел чрезвычайно большое значение для дальнейшего развития механики. [c.6]

Большой интерес представляют турбулентные течения и с чисто теоретической точки зрения как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы. В самом деле, движения любой непрерывной среды, строго говоря, описываются бесконечным числом обобщенных координат (в качестве которых можно принять, например, коэффициенты разложения поля скорости по какой-либо полной системе функции от пространственных координат). Однако в случае ламинарных движений эти координаты обычно можно выбрать таким образом, что лишь небольшое число отвечающих им степеней свободы будет возбуждено, т. е. будет реально участвовать в движении. В случае же развитого турбулентного движения возбужденным оказывается большое число степеней свободы, в результате чего изменения во времени любой физической величины описываются функциями, содержащими много компонент Фурье, т. е. имеющими очень сложный характер. Здесь практически безнадежно пытаться описать индивидуальные изменения во времени всех обобщенных координат, соответствующих возбужденным степеням свободы (т. е. математически выразить зависимость от времени полей скорости, давления и т. д. одного отдельного течения). Единственно возможным в теории турбулентности представляется статистическое описание, опирающееся на изучение статистических закономерностей, присущих большим совокупностям однотипных объектов. Таким образом, теорией турбулентности может быть лишь статистическая гидромеханика, изучающая статистические свойства ансамблей течений жидкостей или газов, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях. [c.8]

Следует различать такое пренебрежение малыми членами, порядок величины которых совершенно не зависит от порядка величины членов, появляющихся в конечном результате, и пренебрежение членами, имеющими один порядок величины с теми, из которых получается окончательный результат (ср. начало 14). В то время как второе пренебрежение обусловливает ошибку результата, первое является лишь неизбежным следствием атомистического воззрения, лежащего в основе полученных результатов, и тем более дозволено, чем меньшими предполагаются размеры молекул по сравнению с размерами видимых тел. В самом деле, с точки зрения атомистики дифференциальные уравнения теории упругости и гидродинамики не вполне точны, а являются лишь приближенными формулами, тем более точными, чем больше размеры, внутри которых разыгрываются рассматриваемые видимые движения, по сравнению с размерами молекул. Точно так же закон распределения скоростей между молекулами не вполне математически точен, если не предполагается, что число молекул математически бесконечно велико. Однако, отказавшись от полной точности гидродинамических дифференциальных уравнений, мы зато выигрываем в большей наглядности. [c.72]

В рассматриваемом случае, несмотря на большое сходство волновой картины с таковой для задачи о распространении продольно-поперечных волн сильного разрыва в полупространстве (см. п. 23.2) существует принципиальная разница в построении решения в области пластических деформаций /. Казалось бы, что поскольку поперечная волна, несущая возмущение от поперечной силы, распространяется медленней, чем волна изгиба, то в области / при нулевых начальных условиях поперечная сила и скорость частиц и тождественно равны нулю. Однако в результате сопряжения изгибающих моментов и поперечных сил в уравнениях (25.20) это не так. Наличие в области / изгибающего момента вызывает проявление также поперечной силы. С математической точки зрения предположение N = V = О в области I влечет за собой отбрасывание этих величин в уравнениях (25.7) и (25.17). Последние сводятся к уравнениям параболического типа технической теории балок, в которой всякие возмущения распространяются с бесконечными скоростями. [c.229]

Математический объект (число, вектор, функция, уравнение и т. д.) не полностью адекватен заменяемому им физическому объекту. Он отражает его главные черты, связи, но не охватывает всего многообразия свойств и связей объекта. Это всегда модель, и результаты ее изучения имеют характер относительной, а не абсолютной истины, они применимы в определенных рамках, границах. Например, понятие материальной точки в механике как объекта бесконечно малых размеров применимо примерно до 10 см. Для объектов меньших размеров — атомов и молекул — понятие микрочастицы имеет другое содержание. Приведем еще пример. Чрезвычайно широкое применение в физике имеют математические понятия непрерывности и бесконечно малых (элементарных) величин. Однако понятие непрерывности материи в механике и макроскопической электродинамике применимо лишь до тех пор, пока имеют дело с малыми объемами, содержащими очень большое количество дискретных микрочастиц. Соответственно элемент объема в физике — вовсе не математическая бесконечно малая величина, он может уменьшаться лишь до тех пор, пока не скажется дискретность вещества (атомно-молекулярная структура). [c.9]

Для математической формулировки высказанного требования необходимо связать трудоемкость с величиной допуска. Логично предположить, что чем меньше 69 , т. е. чем жестче допуск, тем больше трудоемкость выполнения его. В пределе при 69 -> О трудоемкость должна стремиться к бесконечности, поскольку абсолютно точно невозможно выдержать номинальное значение никакого параметра. С другой стороны, если допуск бесконечно широкий, т. е. 69 оо, то трудоемкость его реализации равна нулю. Таким образом, мы приходим к следующему виду зависимости трудоемкости реализации /-го параметра с допуском 69 от величины допуска [c.264]

Поскольку размер выборки ограничен, то значение lg т р, рассчитанное по результатам испытаний N образцов, может отличаться от генеральной характеристики gт p ., соответствующей испытаниям бесконечно большого числа образцов. В математической статистике показывается [1], что если величина х имеет нормальное распределение со стандартным отклонением а, то средние значения лГрр, полученные по выборкам из N измерений этой величины, также [c.13]

Хотя равновесное давление математически достижимо только при бесконечно большом времени работы двигателя, фактически повышение давления происходит очень резко, и время, необходимое для достижения 95% или 99% величины равновесного давления, довольно мало (см. примеры 5. 4 и 5. 6). Его можно сократить увеличением плотности заряжания (уменьшением и использованием стартовой мембраны, закрываюш.ей сопло и разрывающейся при давлении, приблизительно равном равновесному. [c.250]

В [1-3] было показано, что проблемы математической совместности, унитарности, а также ряд вопросов динамического описания могут быть решены в НТП положительным образом. К числу оставшихся нерешенными относятся вопросы сходимости и макроскопической причинности (а также градиентной инвариантности в электродинамике). Как было показано еще Блохом [4], в НТП с жестким форм-фактором в вершинной части лагранжиана взаимодействия появляются специфические расходимости по углам псевдоевклидова пространства, связанные с нарушением правил обхода Фейнмана из-за акаузальности теории. Другими словами, расходимости связаны с большими значениями пространственных и временных компонент виртуальных импульсов при небольшой величине их четырехмерного квадрата. Анализ, основанный на сформулированной в [3 диаграммной технике, показывает, что форм-фактор устраняет лишь логарифмические расходимости локальной теории (в частности, расходимости собственной энергии фермиона, см. также [5]). Квадратично же расходившиеся матричные элементы остаются расходящимися и в НТП при этом дело не сводится к появлению бесконечной константы, а расходимость возникает лишь при определенных (пространственноподобных) импульсах диаграммы. Таким образом, рассматриваемый вариант НТП оказывается во всяком случае неприменимым к весьма актуальному случаю неперенормируемой теории. [c.143]

Существует также дополнительная особенность при стремлении к нулю приращений переменных мехагшкн. Природа определена в тех или ииых конечных замкнутых областях. Поэтому в реальной природе обязательно и неустранимо существуют ограничения переменных (хотя но многих конкретных задачах можно создать математическую абстракцию - понятие о бесконечно малых или больших величинах). [c.90]

Заметим еще, что в термодинамике и статистической теории, рассматривая системы, соразмерные, с наблюдателем (мы будем условно называть их системами лабораторных размеров), мы будем фиксировать их состояние не только во вре- мени (т. е. писать + где, как уже отмечалось, в случае квазистатической теории М > Тполн), но и в пространстве (или выделять Отдельные части системы), т, е. писать х и х + йх. И тут следует снова напомнить различие в понимании математической символики в математике и физике. В математике и <й — бесконечно. малые величины в традиционном идеальном их понимании. В физических теориях (даже в меднике) они малы в масштабах, принятых для описания данной системы и происходящих в ней явлений, но при этом всегда остаются значительно больше каких-то характерных микроскопических масштабов 6х и 61 (в связи с этим величины dx и дЛ, называют иногда физическими или макроскопическими бесконечно малыми величинами). Соответственно переосмысливаются понятия непрерывности функции, ее производной й т. д. Для статистических систем эти масштабы 6х и Н достаточно четко определены, и мы будем об этом своевременно еще говорить. [c.12]

Из классической гидродинамики следует, что свободный линейный канал с шириной W (в сантиметрах) имеет эффективную проницаемость 10 1V /12 дарси. Распространяя метод интегралов Фурье или рядов Фурье, развитый в главе IV для математической обработки однородных систем, можно получить вывод для распределения давления внутри системы, бесконечных или конечных размеров, состоящей из однородной двухразмерной пористой среды (сам известняк), рассеченной линейной голосой отличной проницаемости (трещина), которая вскрыта эксплоатационной скважиной. Изменение давления вдоль полосы вблизи скважины линейно и меняется логарифмически на больших расстояниях от скважины. Однако линейное изменение продолжает сохраняться на далеких расстояниях от скважины, по мере того как возрастает проницаемость полосы (трещины) относительно той величины ее, которой обладает остальная часть системы (см. фиг. 152). Для фиксированной проницаемости линейной полосы (фиксированной ширины и проницаемости трещины) сопротивление сложной системы возрастает с уменьшением проницаемости основной массы известняка. Однако, если проницаемость известняка сохраняется фиксированной, то результирующее сопротивление уменьшается с увеличением щирины трещины. При изменении ширины больше О 5 мм сопротивление системы обратно пропорционально кубу ширины трещины. [c.371]

Однако существуют и другие задачи, например, размещение внешних скважин по границам промысловых площадей, над залеганием нефтяных резервуаров, или же водная репрессия нефтяных пластов. Эти задачи должны полностью подвергаться математической обработке как многоскважинные системы. Так как внешние контуры , которые входят во всех случаях в спецификацию систем единичной скважины, представляют собой на практике обычно границы, которые создаются наличием иных скважин, пробуренных по соседству с интересующим нас участком, очень ценно дать детальный разбор фактического установления таких контуров. При математической обработке многоскважинных систем весьма удобно рассматривать независимо друг от друга системы, содержащие конечное и ограниченное число скважин, распределенных по сравнительно небольшой площади относительно всего протяжения газо-,нефте- или водоносного песчаника, а также и те системы, которые состоят из большого или в действительности бесконечного числа скважин. В первом случае каждая скважина может быть охарактеризована величиной среднего давления на поверхности ее забоя. Взаимное расстояние между скважинами при этом невелико по сравнению с расстоянием эффективного внешнего контура. Внешнее давление контура можно охарактеризовать усередненный значением логарифмических членов на контуре, представляющих собой индивидуальное участие нескольких скважин в результирующем распределении давления. Анализ дает ряд линейных уравнений, которые связывают давления индивидуальных скважин с их расходом и давлением на внешнем контуре [уравнения (5) и (6), гл. IX, п. 2]. [c.502]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...