Система с двумя степенями свободы консервативная

Б. Определение условий устойчивости состояния покоя механической системы с двумя степенями свободы. Определить условия устойчивости заданного состояния покоя консервативной механической системы с двумя степенями свободы. Принять, что варианты механических систем в состоянии покоя получаются из схем, изображенных на рис. 226—228, следующим образом а) в вариантах 1 —15 стержень АВ заменяется невесомой пружиной с коэффициентом жесткости с, при этом в вариантах 4, 9, 14 диск с центром В получает возможность вращаться, скользя без трения по опоре б) в вариантах 16—30 считать, что в точке D находится шарнир и спиральная пружина с коэффициентом крутильной жесткости с. Во всех вариантах пружины с коэффициентами жесткости j, j и с в положении покоя не деформированы. [c.340]

Эти уравнения аналогичны уравнениям свободных колебаний консервативной механической системы с двумя степенями свободы, кинетическая и потенциальная энергии которой имеют вид [c.212]

Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной направленной под прямым углом к скорости V. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в 8.8 и 9.8, поскольку множитель не является постоянным и зависит от gj и 2- Если исходная система является натуральной, то = О и общая задача сводится к задаче [c.540]

Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы. Пусть на механическую колебательную систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости. Требуется найти зависимость координат этой системы от времени. [c.41]

Схема вибратора, показанная на рис. 80, может быть отнесена к консервативной материальной системе с двумя степенями свободы. Для упрощения приняты следующие предположения [c.226]

Малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия [c.478]

Таким образом, малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя линейными однородными дифференциальными уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений будем искать в форме [c.480]

Линейные системы, близкие к консервативным. Роль близости собственных частот. Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы. Согласно п. 3 такую систему можно представить в виде двух связанных осцилляторов. Считая систему близкой к линейной консервативной, найДем условия устойчивости и покажем, что в возникновении неустойчивости таких систем существенную роль играют не величины связей, а величины связанностей, понятие которых было введено Л. И. Мандельштамом. [c.256]

Объяснить, почему в консервативной системе с двумя степенями свободы, у которой Т = ( 1+ 2) 12 I А, лишена смысла задача о малых колебаниях и необходимо исследовать нелинейные колебания. [c.155]

Показать, что движение консервативной системы с двумя степенями свободы и одной циклической координатой может быть найдено в квадратурах. [c.202]

Мы получили систему двух однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы. [c.427]

Воспользуемся обычно приводимыми простейшими примерами связанных осцилляторов (рис. 2.1). Это, в частности, два математических маятника длиной /1 и /2 с одинаковыми массами грузов пц = Ш2 = т, находящиеся в поле тяготения. Маятники связаны невесомой пружиной с жесткостью к (рис. 2.1г). Движение такой консервативной системы с двумя степенями свободы в линейном приближении описывают уравнения [c.38]

Изложим общую теорию малых колебаний двух связанных осцилляторов — линейной консервативной системы с двумя степенями свободы [3], для описания которой следует ввести две обобщенные координаты X и у. Уравнения движения такой системы удобно записать в лагранжевой форме [4] [c.40]

После этих основных понятий перейдем к рассмотрению собственных колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы. Результаты изучения этой системы окажутся весьма полезными для исследований некоторых вертикальных собственных и вынужденных колебаний надрессорного строения и необрессоренных частей реальной схемы вагона. Заметим, что сравнительно недавно такая схема непосредственно применялась для изучения собственных колебаний вагонов. [c.17]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

В заключение отметим, что все методы, изложенные для систем с двумя степенями свободы, почти без всяких изменений переносятся на системы с любым числом степеней свободы. В частности, уравнение частот малых колебаний консервативной системы с 8 степенями свободы имеет вид (см. уравнение (20.62)) [c.492]

Прежде всего Якоби указал, что эта задача является, по существу, консервативной задачей с двумя степенями свободы. Чтобы это показать, достаточно заменить (х, у) системой координат (s, т)), вращающейся вокруг общего начала (О, 0) и в которой Рг остается неподвижным. Таким образом, [c.426]

Более подробно остановимся на голономных консервативных системах с двумя и (в следующем параграфе) с тремя степенями свободы. Обобщение на более сложные системы потребовало бы сообщения дальнейших сведений из римановой геометрии. [c.626]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

При решении задач на исследование малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы рекомендуется следующий порядок де11- [c.597]

Динамика линейной консервативной системы с двумя степенями свободы, возмущенной импульсами. Многие машины ударного действия снабжены ударным механизмом, выполненным по схеме кривошипно-шатунного механизма и нагруженным силой импульсивного характеравблизи мертвого положения. [c.41]

А.Г. Сокольский [20] применил свои результаты по устойчивости гамильтоновых систем в случае нулевых характеристических показателей к задаче об устойчивости консервативной системы с двумя степенями свободы и подтвердил некоторые результаты Н. Хагедорна [c.123]

Проблема бильярдного шара . Для того, чтобы дать пример, иллюстрирующий применение теоремы Пуанкаре и ее обобщений, мы рассмотрим прежде всего специальную, но весьма типическую задачу этого рода, а именно задачу о движении бильярдного шара на ограниченном выпуклой кривой бильярдном столе. Эта система представляет очень большой интерес по следующим основаниям. Всякая ла-гранжева система с двумя степенями свободы изоморфна с движением материальной частицы па гладкой поверхпости, равномерно вращающейся около постоянной оси и носящей па себе консервативное поле [c.175]

Большинство рассмотривиемых в работе систем являются гамильтоновыми (или близкими к гамильтоновым и консервативными) системами с двумя степенями свободы. Для зтих сисгем возможна визуализация движения при помощи двумерного плоского отображения Пуанкаре Зонам фазового пространства с локальной неустойчивостью соответствуют стохастические траектории, заполняющие полностью отдельные области отображения Пуанкаре В го же время иекогорые точки при итерациях ложатся на инвариантные [c.4]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Рассматривается консервативная система с двумя степенями свободы. Положение ее определяется двумя обобш енными координатами, дх и 2- Найти и если в устойчивом положении равновесия = 92 = 0. [c.464]

Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, примеияемы. с при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них qa были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ра = onst и, как мы видели, позволяет свести исследовапие движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одпоп циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.278]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Таким образом, полное решение вопроса о движении консервативной системы с S степенями свободы ( 191) и без дифференциальных неинтегри-руемых связей требует нахождения лишь 2s,— 3 первых интегралов уравнений движения, отличных от интеграла энергии когда эти интегралы отысканы, дело интегрирования закончится двумя квадратурами. [c.435]

В связи с цтпм возникает вопрос, в каком случае трехмерный несжимаемый поток является изоэнергетическим, описываемым канонической системой (консервативной) с двумя степенями свободы. Эта проблема, строго сформулированная и поставленная, а также ее многомер1ше аналоги до сих пор не решены. По-видимому, эти проблемы связаны с вопросами из области топологического анализа, где исследования всегда весьма сложны. [c.111]

Задание Д-22. Определение условий устойчивости заданного состояния покоя (равповесия) консервативной механической системы с одной и двумя степенями свободы (по теореме Лагранжа—Дирихле) [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...