Гамильтонова система уравнений

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые свойства интегралов гамильтоновой системы уравнений движения. [c.97]

Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) может быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа [c.129]

Надо заметить, что, в то время как для гамильтоновой системы уравнение Н=1 является первым интегралом, в котором произвольная постоянная имеет частное значение (интеграл обобщенной энергии), равенство й = 1, которое мы присоединили, не будет первым интегралом для лагранжевой системы. [c.368]

Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает [c.398]

Отметим важные свойства гамильтоновой системы уравнений движения вихревых частиц (6.10). Гамильтониан не зависит явно от времени и инвариантен относительно трансляций и вращений плоскости (х, у). Отсюда следует, что энергия взаимодействия вихревых частиц р/// , импульс системы = (Iдг , /дгу), где [c.324]

О гамильтоновых множителях. Как первый шаг по направлению к получению подобной же нормальной формы для гамильтоновой системы уравнений в точке равновесия, мы докажем некоторые общеизвестные основные свойства множителей для этих уравнений ( ). [c.85]

Гамильтонова система уравнений движения имеет вид [c.759]

Движение п точечных вихрей на плоскости, имеющих одинаковую интенсивность к, описывается гамильтоновой системой уравнений (3.8) с гамильтонианом задаваемым выражением (3.7) при =. .. = >Сп = >с. [c.262]

Введем обозначение ут == у ,. . у , г/ +1,. . ., у )- Тогда, учитывая (2.1), получим, что нормальная форма линейной системы (1.1) запишется в виде следующей гамильтоновой системы уравнений [c.32]

В главе 8 в связи с задачей о замкнутой геодезической на римановом многообразии рассматривалась линейная каноническая система 2т уравнений. Установленные там свойства ее решений являются общими свойствами решений всякой линейной гамильтоновой системы уравнений с периодическими коэффициентами. В задаче о многозеркальном резонаторе мы приходим к рассмотрению на замкнутом многоугольнике 1к линейной канонической системы уравнений (2.16) особенностью в этом случае является то, что решения уравнений (2.16) на двух сторонах с общей вершиной должны быть связаны линейным преобразованием (2.24). Однако матрицы отражения оказываются такими, что свойства решений линейных гамильтоновых уравнений с периодическими коэффициентами имеют место и в рассматриваемом случае. [c.277]

Напомним, что формулы (4.29), (4.30) получены на основе линеаризованной гамильтоновой системы уравнений (2.16). Используя решения системы (2.16) в качестве первого приближения, можно по стандартной схеме теории возмущения последовательно учитывать следующие члены в разложении (2.11) функции Гамильтона, если фд и 2п линейно независимы над кольцом целых чисел (ср. результаты 8 гл. 8). Эта процедура осуществляется путем построения формальных рядов, так называемых рядов Биркгофа ). [c.286]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять— они просто равны произвольным постоянным С/. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N/. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2п, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии гп циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат отщепляются , и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39). [c.271]

В пространстве q, p, t выберем произвольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых путей гамильтоновой системы с гамильтонианом Н. Пусть преобразования (ИЗ) переводят эту гамильтонову систему в некоторую новую систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование каноническое ), трубку прямых путей старой — в трубку прямых путей новой гамильтоновой системы, а замкнутый контур С — ъ замкнутый же контур С. [c.316]

Пусть функция Гамильтона Я(p,q) сохраняется на гамильтоновых фазовых потоках, определенных функциями /(р, q) и д(р, q). Показать, что тогда скобка Пуассона /, д есть первый интеграл системы уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона Я. [c.700]

Теорема. При каноническом преобразовании (А) любая гамильтонова система дифференциальных уравнений (1) переходит снова в гамильтонову систему [вообще говоря, с другой функцией Гамильтона t)) [c.290]

Т е о р е м а (Л я и у н о в а — П у а н к а р е). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2л-периоди-ческой по t матрицей H(Z) возвратное. [c.396]

О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнении с периодическими коэффициентами / ПММ,— 1972,—Т, 36, вып. 5,— С. 805-810. [c.397]

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка [c.12]

Система уравнений (3) гамильтонова. Покажем, как при помощи уравнений Рауса можно получить автономную систему ) из т дифференциальных уравнений второго [c.94]

Пусть f t, qi. Pi) — интеграл уравнений (1). Тогда при подстановке вместо р - (/ = 1, н) любого решения гамильтоновой системы (1) функция / превращается в постоянную с, т. е., согласно уравнениям (1) [c.98]

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и pj (/ = 2, я), а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2я — 2 [c.128]

Гамильтоновы (канонические) уравнения движения. Перейдем теперь к нахождению подходящей формы уравнений движении консервативной системы, когда состояние движения в какой-либо момент рассматривается как определяемое конфигурацией и обобщенными количествами движения, а не конфигурацией и обобщенными скоростями. Соответствующие формы кинетической энергии мы обозначим, как и в предыдущем параграфе, через Т и Т. [c.203]

Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка этого вида, какова бы ни была функция H p q t), называется канонической или гамильтоновой системой переменные р к q называются каноническими переменными, причем величины р называются переменными первой серии (это те функции, производные которых в выражении посредством Н имеют явно знак минус), а величины q — переменными второй серии ясно, конечно, что речь идет о различии совершенно несущественном, так как обе серии переменных обменяются местами, если изменить знак у функции Гамильтона. [c.242]

Подобно лагранжевым системам, с одной стороны, и системам Гамильтона— с другой, эта система уравнений зависит тоже от одной-единственной функции SR. Ее можно назвать гамильтоновой относительно переменных 9i. 92,. ... 9m и соответствующих количеств движения р и лагранжевой относительно остальных q. [c.365]

Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51 ) можно решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды по степеням t— функций

[c.438]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Здесь уместно следующее замечание, аналогичное сделанному в конце предыдущего пункта. Уравнения (56 ), (56"), которым удовлетворяет действие А ( ( ), в зависимости от того, рассматриваются ли в качестве независимых переменных q или были найдены Гамильтоном, который показал также, какую пользу можно извлечь из действия А как для интегрирования соответствующей системы Гамильтона, так и для обнаружения ее важных свойств. Якоби принадлежит также и в этом частном случае кинетического потенциала, не зависящего от t, более легкий метод интегрирования гамильтоновой системы, полностью развитый в п. 39 предыдущей главы и основанный на знании какого-нибудь полного интеграла только одного уравнения (56 ). [c.447]

Ковариантность уравнений Гамильтона при канонических преобразованиях. Если преобразование (4) является каноническим, то в новых переменных система уравнений (1) снова будет иметь гамильтонову форму. Более точно, имеет место следующее утверждение. [c.343]

Доказательство. Так как Ф — квазиоднородный интеграл уравнений (3.13), то р = т—показатель Ковалевской (теорема Иошиды). Гамильтонова система уравнений [c.343]

Нормальный вид для вполне устойчивых систем. Мы видели уже, что пфаффовы и гамильтоновы системы уравнений обладают свойством полной устойчивости в случае, если характеристические числа их будут чисто мнимыми. Естественно возникает очень интересный вопрос об отыскании условий полной устойчивости системы в наиболее общем случае и о характеристике движений вблизи точки об-общеиного равновесия, обладающего такой полной устойчивостью. Мы ответим па эти вопросы, приведя уравнепия вполне устойчивого типа к некоторому опрсдслепному нормальному виду. Так как Ах,. .., А — чисто мнимые количества, различные между собою, то мы можем произвести такое линейное преобразование переменных х, . .., Х2т, что система уравнений в новых переменных рх, дх,. .., Рт, Чт будет иметь вид [c.118]

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величпньс Qi, Pi (г—1, 2,. .., п) постоянны. Это решение отвечает положеппю равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). Так как перепое начала координат является каноническим [c.316]

Алгоритм нормалшшции гамильтоновой системы линейных уравнений с периоднческнмп коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу 11(0 вещественной и ненрерыи-пой 2л-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система [c.396]

Рассмотренный способ позволяет привести к гамильтоновой форме системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес представляют уравнения, описывающие химические реакции, различные экономические или экологические систсмы. После приведения к гамильтоновой форме решение уравнении может быть получено па основе мощных методов теории КП. [c.314]

Наибольшую сложность в исследовании бифуркаций положения равновесия на плоскости представляет задача о рождении предельных циклон. Как правило, основная часть решения этой задачи сводится к исследованию абелевых или сходных с ними интегралов по фазовым кривым специальной гамильтоновой системы. Эти исследования проводятся либо чисто вещественными методами [43], [72], [88], либо с помощью выхода в комплексную область с применением теоремы Пикара — Лефшеца, теории эллиптических интегралов и уравнений Пикара — Фукса [75], [76], [93], [104], [119], [141], [193]. [c.208]

Эти уравнения, наравне с вариационным условием (54), из которого они выводятся, будут тождественно удовлетворены любым решением а заданной лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (3l0i которая, как мы уже знаем, имеет интеграл H p q) = E. [c.445]

Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы. В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые не нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования. Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничности и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям. [c.338]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...