Уравнения Гамильтона в ортогональной системе

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Пусть IV есть прямая сумма ортогональных подпространств. .., и спектр Д лежит в их объединении 0 W . Через И ,..., обозначим образы 1У], ..., при отображении А — . Легко понять, что система (4.2) распадается на р замкнутых подсистем с фазовыми пространствами Wi х W С С X . Пусть Щ — ограничение функции Гамильтона Я на Wi X W . Тогда Я = Н . Если базисные векторы. .., е принадлежат объединению и. .. и 1Ур, то в соответствующих канонических переменных уравнения (4.3) раз-, биваются на р замкнутых гамильтоновых систем с функциями Гамильтона Н (т. е. происходит частичное разделение переменных) при этом говорят, что исходная гамильтонова система есть прямая сумма своих подсистем. Если такое разложение (в сумму нетривиальных подпространств 1У,) невозможно, назовем гамильтонову систему неприводимой. Имеет место очевидное [c.389]

Согласно 8, ортогональность и нормировка системы решений волнового уравнения сохраняются с течением времени и для зависяшей от времени функции Гамильтона, если только ова вещественна. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...