Матрица скалярная

Определение независимых контуров кинематических цепей механизмов. При определении подвижности многоконтурных кинематических цепей по методике, изложенной в предыдущих параграфах, необходимо правильно выделить независимые замкнутые контуры. Для решения такой задачи предлагается каждому звену кинематической цепи поставить в соответствие вектор, а каждому замкнутому контуру — векторное уравнение замкнутости контура. При этом такие уравнения могут быть составлены для любых замкнутых контуров. Далее составляют матрицу скалярных коэффициентов полученной системы векторных уравнений и вычисляют ранг этой системы, который равен числу независимых уравнений или соответствующих им независимых замкнутых контуров кинематической цепи. Одновременно конкретизируют и независимые контуры. Приведем пример применения изложенного метода. [c.30]

Пусть (/, J, К) — ортогональный триэдр единичных векторов с началом в точке О (ортонормальный триэдр). Пусть твердое тело имеет заданное вращение вокруг О. И пусть в результате вращения (/, J, К), которые мы считаем неподвижными относительно тела, переводятся в ортонормальный триэдр (t, j, к). Тогда существует матрица скалярных произведений (или соответствующих направляющих косинусов) [c.39]

С помощью приведенных преобразований моншо выразить (f, j, к) как линейные функции I, J, К) и отсюда получить матрицу скалярных произведений М вида (9.1) или матрицу направляющих косинусов вида (9.4). Эта матрица М компактно показана в следующей таблице, в которой для [c.46]

Итак, матрица скалярных произведений t фиксировано) [c.854]

Свойство 1 (матрица Г рама). Вычислим матрицу скалярных произведений [c.375]

Свойство 2. Матрица скалярных произведений базисных векто-эов (матрица Грама) имеет вид [c.167]

Мы видим, что тензор при этом воздействует на один из базисных векторов, после чего результирующий вектор скалярно умножается на другой базисный вектор. Ясно, что при помощи уравнения (1-3.16) можно получить девять компонент тензора, которые представляются обычно в виде матрицы размером 3x3. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. [c.23]

При нахождении суммы тензоров одинакового ранга элементы, занимающие одно и то же место в матрице, суммируются. Для умножения диады на вектор нужно выполнять операцию умножения только тех векторов, между которыми стоит соответствующий знак умножения (скалярного или векторного). [c.39]

Такие объекты могут быть константами (например, 5.0, 0.5Е + + 01,5), скалярными переменными (например, А, В и т.п.), элементами массивов (например, D(8), В2(3) и т.п.), элементами матриц и матрицами (например, А1 (I, J), B2(J, I), СЗ = А1 В2), математическими операторами (например, F(X) = SIN(X)). [c.134]

Пусть А Е 50(3) есть дифференцируемая функция некоторого скалярного параметра А = А( ), причем А(0) = Е — тождественному оператору. Изменяя получим различные повороты вокруг различных в общем случае собственных векторов оператора А( ), зависящих от параметра Выделим линейную по часть матрицы оператора А [c.116]

Таким образом, относительно каждого вектора е( имеем одно векторное дифференциальное уравнение. В координатной форме оно эквивалентно системе из трех скалярных дифференциальных уравнений. Для того чтобы найти все столбцы матрицы оператора А, имеем систему из трех векторных (1 = 1,2,3) или из девяти скалярных дифференциальных уравнений. Скалярные произведения е( е остаются постоянными для решений указанной системы. В само М деле [c.134]

Доказательство. В линейном пространстве Д" введем метрический тензор, матрица которого в базисе 1,..., а совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве Д". С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Д" [c.574]

Матрица умножается на скалярную величину. В этом случае на скаляр умножаются все элементы матрицы. Две матрицы перемножаются, если число столбцов одной матрицы равно числу строк второй матрицы. Если матрица А имеет порядок т х п, а матрица В — п X д, то их произведение определяет матрицу С = А В, порядок которой равен т х д. Элемент матрицы С определится по правилу [c.50]

Сумма диагональных элементов матрицы тензора второго ранга называется его линейным инвариантом. Из выражений (1.37) и (1.38) видно, что линейный инвариант построенного нами мультипликативного тензора — скалярное произведение векторов а-Ь. [c.47]

Алгоритмы построения матрицы [А], называемой матрицей жесткости системы, были описаны выше матрица [М], называемая матрицей масс системы, строится аналогичным способом с той лишь разницей, что на каждом шаге необходимо вычислять не величину (фл. ф() = ( Ф. фЛ. а скалярное произведение (ф/,, ф ). В узкоспециализированных программах для сокращения времени работы ЭВМ можно вычислить вручную матрицы масс отдельных подобластей ТI, из которых суммированием строится матрица масс системы [М] примеры таких вычислений имеются в [10]. [c.214]

Рассмотрим в R" два различных базиса старый — ei,. .., е и новый е ,. .., е , , векторы старого и нового базиса и величины, к ним относящиеся, будем отмечать соответственно индексами без штрихов и со штрихами. Очевидно, матрица величин g,y, определяющая скалярное произведение, меняется при переходе от старого базиса к новому найдем закон этого изменения Введем в рассмотрение координаты А[, вектора в старом базисе [c.309]

Обозначим матрицу B JB через F ее элемент /mi равен скалярному произведению векторов е и Je, [c.319]

Это векторно-матричное уравнение эквивалентно я скалярным уравнениям (напомним, что — диагональная матрица) [c.168]

Это матричное уравнение, в котором неизвестными являются матрица-столбец р и число р, эквивалентно п скалярным уравнениям [c.235]

В уравнениях (8.8) неизвестными функциями времени являются матрица-столбец х, и скалярная величина Перейдем к новым переменным по формулам [c.266]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Выражения сопряженных векторов и матриц могут быть найдены анало- Скалярное произведение векторов гично. Разложение сопряженного к [c.136]

Иначе говоря, каждый элемент матрицы-произведения есть скалярное произведение вектора-строки первого сомножителя и вектора-столбца второго сомножителя, в которых стоит вычисляемый элемент ( строка на столбец ). Для того чтобы произведение было определено, требуется, чтобы число столбцов одной матрицы равнялось числу строк другой. Легко убедиться, что произведение матриц удовлетворяет условию ассоциативности, но не удовлетворяет в общем случае условию коммутативности [c.554]

Раскрытие таких сложных произведений, эквивалентных тензорам матриц, представляется более громоздким, нежели получение уравнений для определения скоростей и ускорений путем непосредственного дифференцирования алгебраических уравнений для определения перемещений механизма после раскрытия матричных уравнений в форме (3.21), (3.24) или (3.20). Однако непосредственное дифференцирование тензорно-матричных уравнений может быть использовано в том случае, если правые и левые части упомянутых уравнений являются достаточно простыми, например содержат по одной матрице. При этом необходимо знать операцию дифференцирования тензор-матрицы по скалярному аргументу, имея в виду, что ее элементы являются функциями этого скалярного аргумента. [c.47]

Выбор определенных знаков элементов матрицы вращения (3.47) может быть сделан с учетом правой ориентации системы координат. Заметим, что каждый элемент матрицы вращения может рассматриваться как проекции ортов е , eg i-й системы координат на оси (i — 1)-й системы координат. Составим смешанное (скалярно-векторное) произведение этих ортов [c.52]

Таким образом, составляющая смещения б, является скалярным произведением вектора Р и строки матрицы f . [c.116]

Как известно из линейной алгебры, можно в силу положительной определенности скалярного произведения в R подобрать такую матрицу перехода Aj, к некоторому новому базису, в котором матрица скалярных произведе- [c.309]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Если элементы матрицы А являются диф(] еренцируемыми функциями а, (О скалярного аргумента то матрица может быть продифференцирована по правилу [c.51]

Отметим, что если в окрестности точки q = — q О координатного пространства q, да,. .ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетичесзсон энергии 2Т, т. е. принять уа скалярное произведение векторов и и v величину (Au v), то преобразование (12) моишо выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры Это означает, что, если и, ( = 1, 2,. .., и) — -й столбец матрицы U, т. е. замена переменных (12) имеет вид [c.358]

Это матричное уравнение относительно Л содержит две известные матрицы А задана, а В — нормальная форма Жордана для А и, следовательно, находится по А). Матричное уравнение (5.55) эквивалентно скалярным однородным уравнениям относительно выражающим равенство соответствующих элементов. Поэтому имеется бесчислсннос множество матриц преобразования Л. [c.147]

Матрица Ео вводится для того, чтобы все скалярные произведения 2-Ео2о6), 2-Ео2о<2) и т. д. имели размерность работы (в соответствии с принципом возможных перемещений). Так как Еого< )=(ио< ), ДМо( ), АОо( 0". [c.109]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...