Спины Изинга

Рис. 1.4. а — спиновый беспорядок в парамагнетике 6 — беспорядок в ферромагнетике — спиновая волна в — беспорядок в системе спинов Изинга. [c.23]

Рис. 1.5. Распределения вероятностей для компонент случайных спиновых векторов и случайных спинов Изинга а,,

Рассматривая эти переменные 8 , 8г< как спины Изинга [как в формуле (1.5)], мы получаем удобный аппарат, который можно применить к случаю бинарного сплава. Так, отрицательное значение Г (К ) соответствует избытку атомов с противоположными спинами (т. е. атомов противоположного типа) в рассматриваемых узлах в противном случае преобладают атомы того же самого типа. Вместе с тем общая проблема локального магнитного порядка представляет интерес и сама по себе. [c.32]

Чтобы использовать аппарат теории спинов Изинга в теории сегнетоэлектриков и антисегнетоэлектриков ( 1.4), введем условие о знаках, принимаемых переменными Огд, 0,4 в зависимости от расположения протонов на четырех связях в -й эле- [c.34]

Чтобы выполнить эту широко задуманную программу, Вильсон снова рассмотрел систему спинов. Однако оказалось, что простая модель Изинга недостаточно гибка (т. е. не содержит достаточного числа параметров) для того, чтобы удовлетворить всем условиям для таких исследований требуется более общая модель. Прежде всего было введено предположение, что индивидуальные спины могут принимать любые действительные значения, заключенные между —оо и +оо (вместо всего двух значений —1 и +1). Кроме того, дискретная решетка была заменена идеализированным непрерывным распределением спинов по всему пространству. Такое приближение должно быть допустимым для явлений дальнего порядка, захватывающих большое число решеточных узлов, что, очевидно, и имеет место в случае критических явлений. Следовательно, вместо счетного набора динамических переменных Sr, нумеруемых дискретными радиус-векторами узлов решетки г, мы имеем теперь непрерывный набор спиновых переменных, которые задаются в каждой точке пространства, т. е. система описывается спиновым полем s (х). Поле s (х), как и любую [c.387]

По многим причинам неупорядоченное расположение атомов или молекул разного сорта в кристаллах представляет большой интерес для широкого круга ученых. Для физика-теоретика оно представляет один из примеров задачи упорядочения в трехмерной решетке подобно упорядочению спинов в ферромагнетике. Анализ упорядочения с точки зрения статистической механики начинается с идеализированной модели Изинга и не идет дальше приближенных или асимптотических решений [43]. [c.367]

В соответствии с нашими целями определим ферромагнетик как решетку, в которой расположены спины. В настоящей главе нас особенно будут интересовать две модели ферромагнетиков — модель Изинга и модель Гейзенберга. В общем случае мы можем записать гамильтониан взаимодействия между спинами в виде [c.346]

Ферромагнетик Изинга содержит N частиц со спином Пусть М+ Н )—число спинов с 2-компонентой -V2 (—V2), и пусть спины, направленные вверх и вниз, распределены по решетке случайным образом. Пусть величина [c.351]

Рассматриваемая в модели Изинга [35] система представляет собой распределение N фиксированных точек, называемых узлами решетки, которые образуют я-мерную периодическую решетку (я=1, 2, 3). Геометрическая структура решетки может быть, например, кубической или гексагональной. Каждому узлу решетки сопоставляется спиновая переменная (/ = 1.. . ., М), которая принимает численные значения либо - -1, либо —1. Никаких других переменных не существует. Если = то говорят, что /-Й узел имеет спин, направленный вверх, если же 5 = — 1, то спин /-го узла считают [c.361]

Чтобы установить соответствие между решеточным газом и моделью Изинга, положим, что занятые узлы решетки соответствуют узлам со спином, направленным вверх, а пустые узлы—узлам со спином, направленным вниз. Тогда В модели Изинга набор чисел [c.366]

Энергия некоторой конфигурации спиновой решетки в модели Изинга зависит не от деталей распределения спинов в решетке, а только от двух чисел и отражающих определенные [c.369]

В одномерной модели Изинга рассматривается цепочка из N спинов, причем каждый спин взаимодействует только со своими двумя ближайшими соседями и с внешним магнитным полем. Энергия [c.379]

Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими тенденциями тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной энергии А-=и—Т8.) В одномерной модели тенденция к упорядочению оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших соседей. [c.382]

Существует также неупорядоченная фаза и четкая температура перехода, выше которой упорядочение отсутствует. Переход порядок — беспорядок можно анализировать в рамках модели Изинга (пребывание в данном узле атома меди соответствует тогда направлению Спина вверх , а атома цинка — направлению вниз ). См. гл. 33. [c.310]

Рис. 1.6. Конфигурация спинов для одномерной модели Изинга, дающая вклад в следующий за ведущим член низкотемпературного разложения. Темные кружки обозначают спины, направленные вверх светлые кружки — спины, направленные вниз.

Аналогичное доказательство в случае одномерной модели Изинга не может быть проведено. Это связано с тем, что следующий за ведущим член низкотемпературного /-разложения обусловлен состояниями типа показанного на рис. 1.6, где имеется целая цепочка, а не единичный перевернутый спин. Число таких состояний равно /lN N — 1) вместо Л/, так что даже до этого порядка 2 , не имеет вида (1.8.11). Конечно, это согласуется с тем фактом, что одномерная модель не может иметь фазового перехода при ненулевой температуре. [c.31]

Резюмируем результаты этого раздела. Модель Изинга магнетика является одновременно и моделью решеточного газа просто в одном случае мы говорим на языке теории магнетизма (спины, направленные вверх или вниз), а в другом — на языке молекулярной теории (узлы, занятые или пустые). Критические показатели X, /3, 7, 7, ск во втором варианте определяются соотношениями (1.9.25) и (1.9.28) — (1.9.30). [c.37]

Рассмотрим модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями, состоящую из N спинов, с гамильтонианом, определяемым выражениями (1.7.2), (1.7.3) и (1.8.1). Если каждый спин имеет д соседей, то полное действующее на него поле равно [c.47]

При рассмотрении любой ферромагнитной модели Изинга при Я = О и Т возникает известная трудность. В этом случае преимущественное Направление спинов (вверх или вниз) неопределенно. Только если гранич- [c.63]

Произвольная постоянная и каждая из величин oj принимает значения 1. (Величины ijj, . .., iTyy никак не связаны со спинами Изинга, введенными в разд. 10.3.) Циклическое гранично е условие + i = i удовлетворяется, если N — четное число и выполняется соотношением [c.219]

В случае решеточного газа выражение для энергии дается по-прежнему формулой (1.23) только под Фаа теперь надо понимать энергию взаимодействия между атомами, а флв = фвв = О обозначают энергии, связанные с наличием дырок . Известное внимание уделялось и моделям квантовых газов [21, 22]. Соответствующий гамильтониан можно получить из выражения (1.17), если считать спиновые переменные операторами. Перепишем (1.17), введя операторы рождения а и уничтожения а, для отклонений спинов от оси квантования 2, и получим прежде всего выражение типа (1.18). Последнее достигается путем объединений слагаемых в произведения вида Это есть с-число, характеризующее заполнение 1-то узла следовательно, его можно рассматривать как спин Изинга Ог. Однако наличие некоммутирующих операторов приводит к появлению и других недиаго-налъных взаимодействий, описываемых произведениями вида [c.35]

П. м. используются при описании любой квантовой системы с дискретной переменной, принимающей два значения. Помимо спина классич. примером является система протон — нейтрон её дискретную переменную наз. 3-й компонентой изотопического спина (обычно П. м. обозначаются в этом случае символами 1 = 1,2). Поскольку 50(3) локально изоморфна группе унитарных унимодулярных комплексных матриц [точнее, 50(3) 50(2)/ 2, см. Груниа], в терминах П. м. описываются калибровочные поля с унитарной симметрией 5 /(2). П. м. используются также в многочисл. моделях квантовых систем на решётках (разл. варианты Изинга модели и Т.П.). [c.550]

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при Т=Н=а оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок) в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т. н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение. [c.151]

Теория самопроизвольном вамагниченности. Конкретщле расчёты по всем трём моделям Ф. могут проводиться как в квазиклассич. и феноменологич. приближениях, так и с помощью квантовомеханич, методов, в т. ч. метола функционала спиновой плотности. При квазиклассич. описании Ф. учитывают введением молекулярного поля. В простейшем расчёте для газа из N электронных спинов (на основе Изинга модели) их можно разбить соответственно двум возможным проекциям на г правых и N—r = l [c.296]

Что касается удельной теплоемкости в постоянном поле, то для нее теория Вейсса также предсказывает конечный скачок. Следовательно, как указывалось выше, все соответствующие друг другу величины ведут себя в окрестности критической точки одинаково в обеих так называемых классических теориях. Это не случайно. Действительно, главная физическая идея, лежащая в основе обеих моделей, заключается в существовании далънодействующих сил. Кац очень изящно показал, что если мы рассмотрим простую решетку с одномерными спинами (модель Изинга, см. разд. 10.2), в которой все спины взаимодействуют одинаково независимо от их взаимного расстояния, то мы получим в точности уравнение состояния Вейсса. Следовательно, теории ВдВ и Вейсса являются, так сказать, изоморфными . Аналогия двух теорий очень ясно проявляется также в теории фазовых переходов Ландау. Ландау исходит из выражения для свободной энергии и разлагает ее в окрестности критической точки делая сходные допущения, при этом можно получить либо теорию ВдВ, либо теорию Вейсса. Из-за недостатка места мы не будем подробно рассматривать здесь теорию Ландау, прекрасное изложение которой можно найти в ряде книг (см., однако, разд. 10.4). [c.346]

Если это так, то каждый индивидуальный блок содержит большое число индивидуальных спинов, которые сильно коррелируют между собой, так как находятся внутри области корреляхщи большинство спинов внутри блока направлено преимуш ественно вверх или вниз (можно представлять себе блок как аналог магнитного домена). Мы можем теперь связать с каждой ячейкой, обозначаемой индексом а, локальный параметр порядка Ца, который играет ту же самую роль, что и индивидуальный спин Между блоками, конечно, суш ествуют взаимодействия, приво-дяпще к корреляции. Обитая симметрия модели блоков та же самая, что и симметрия первоначальной модели Изинга. Таким образом, если гипотеза универсальности справедлива, то корре- [c.373]

Процедура Вильсона в точности совпадает с описанной выше, однако он исходит иэ более интересного гамильтониана, который моделирует взаимодействия между спинами. Модель Изинга можно рассматривать как первую очевидную догадку относительно гамильтониана такого типа, однако, как вскоре выяснилось, она не обладает свойством инвариантности по отношению к масштабному преобразованию (которое было постулировано Кадановым). Можно поэтому попытаться модифицировать эту модель, вводя дополнительные члены, и, следовательно, дополнительные параметры взаимодействия, которые имеют такой же смысл, как и параметр q в разд. 10.6. В конечном итоге использованная Вильсоном добавка в форме (неизвестного) функционала от спинового поля Q [s (х)] эквивалентна введению бесконечного числа дополнительных параметров взаимодействия. Роль этого дополнительного функционала состоит в подавлении больших флуктуаций спиновых переменных [такие флуктуации становятся возможными в модели, в которой на величину s (х) не налагаются ограничения]. [c.391]

При квазиклассич. описании Ф. взаимодействие, приводящее к Ф., учитывают введением молекулярного поля (модель Изинга, см. Кооперативные явления). В простейшей модели газа из N электронных спинов их можно разбить, соответственно двум возможным проекциям спина, на г правых и N—г = I левых . Отпосит. намагниченность системы вправо равна у = (г — 1)/ . Энтропия газа при пренебрежении взаимодействием между спинами равна S (у) — к 1п (УУ /г П) (к — Больцмана посто.чнная). Если энергия газа и не зависит от у, то свободная энергия равна [c.306]

Охггояние совокупности спинов можно определить, задав компоненту каждого спина вдоль любой из осей. В модели Изинга гейзенберговский гамильтониан заменяют на [c.528]

В модели Изинга состояния задаются спином (4-7г или — /2) отдельных ионов (8 5у = /4). Взяв среднее статистическое по восьми таким состоя-нням, найдите величину иамагничеииости [c.603]

На примере аналога модели Изинга — решеточном газе.) Очевидно, что полученные таким образом равновесные состояния для конечных объемов не будут обладать симметрией относительно изменения направлений всех спинов на обратные. Следовательно, состояние Гиббса, полученное в результате предельного перехода для таких состояний, в общем случае также не будет обладать симметрией относительно изменения направлений всех спинов на обратные. Таким образом, не исключено, что, изменяя граничные условия, мы сможем очень тонко нарушать симметрию теории и выделять одни термодинамические фазы, подавляя другие. Тем самым мы получаем еще одну схему для исследования спонтанного нарушения симметрии. Такой подход был успешно использован в работах Добрушина [80, 81] и некоторых других авторов (см., например, работы Гинибра [134, 135] и Робинсона [328]). [c.359]

Если применить соотнопюние (33.63) к модели Изинга, то множитель ( У -Н 1) следует заменить тем выражение. , из которого он был получен, т. е. средним значением оператора 8 для произвольно ориентированного спина. [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...