Одномерная модель Изинга

Так как подкоренное выражение в (80.10) положительно при любых вещественных г и 0, то статистическая сумма 2, а следовательно, и все термодинамические функции непрерывны при любых значениях температуры Т и напряженности магнитного поля Н. Поэтому фазовые переходы в одномерной модели Изинга невозможны. [c.436]

Таким образом, хотя в одномерной модели Изинга фазовые переходы не происходят, в случае цепочки с в <0 существует критическое значение напряженности магнитного поля Як =( —е )1 1в, вблизи которого осуществляется переход от состояния с чередующимися диполями первого и второго вида (при Н Як) к полностью упорядоченному состоянию (при Я Як), причем при Г О этот переход становится скачкообразным. [c.438]

ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА [c.379]

В одномерной модели Изинга рассматривается цепочка из N спинов, причем каждый спин взаимодействует только со своими двумя ближайшими соседями и с внешним магнитным полем. Энергия [c.379]

Одномерная модель Изинга [c.381]

Рис. 1.6. Конфигурация спинов для одномерной модели Изинга, дающая вклад в следующий за ведущим член низкотемпературного разложения. Темные кружки обозначают спины, направленные вверх светлые кружки — спины, направленные вниз.

Аналогичное доказательство в случае одномерной модели Изинга не может быть проведено. Это связано с тем, что следующий за ведущим член низкотемпературного /-разложения обусловлен состояниями типа показанного на рис. 1.6, где имеется целая цепочка, а не единичный перевернутый спин. Число таких состояний равно /lN N — 1) вместо Л/, так что даже до этого порядка 2 , не имеет вида (1.8.11). Конечно, это согласуется с тем фактом, что одномерная модель не может иметь фазового перехода при ненулевой температуре. [c.31]

Поэтому корреляционная длина становится бесконечной при Н = Г = 0. Мы уже отмечали в разд. 1.7, что критическая точка может быть определена как точка, в которой = оо, так что в этом смысле // = 7=0 — действительно критическая точка одномерной модели Изинга. [c.45]

В случае одномерной модели Изинга из (2.1.18) и (2.3.1) следует, что если I /г I 1, то [c.45]

Определение / с помощью (2.3.1) является несколько произвольным правая часть может быть заменена любой положительной степенью функции ехр( —2Л"). Результатом этого будет умножение величин 2 — а, у и и на один и тот же множитель. Ввиду всего этого мы можем только сказать по поводу критических показателей для одномерной модели Изинга, что они удовлетворяют следующим соотношениям [c.46]

Bee предшествующее аналогично соответствующим рассуждениям в гл. 2 по поводу одномерной модели Изинга К(ф, ф ) можно снова рассматривать как элемент ф, ф матрицы К, то же верно и для W. Тогда [c.95]

Доказательство продолжается почти параллельно тому, которое было проведено в разд. 2.2 для одномерной модели Изинга. Пусть U — матрица собственных векторов матрицы VW, а D — соответствующая диагональная матрица с диагональными элементами D- = Aj, j = 1, 2, 3,. ... Тогда для всех целых х имеем [c.120]

Предел А = оо, или предел модели Изинга, дает интересную возможность проверить вычисления разд. 2.3, поскольку термодинамические функции одномерной модели Изинга можно легко получить прямым путем. Чтобы избежать усложнения, связанного с введением константы /, фигурирующей в гамильтониане (1.3), заменой 2/ = 1/А и переходом к пределу А = оо, удобно изменить масштаб шкалы температур, введя новую обратную температуру р соотношением [c.58]

Вместе с тем легко показать, что в одномерной модели Изинга состояние спонтанного упорядочения термодинамически неустойчиво [20]. Рассмотрим цепочку, в которой все спины положительны (рис. 2.11). Этот дальний порядок можно разрушить, введя в некоторой произвольной точке цепочки доменную границу , за которой все спины перевернуты. Это можно сделать N способами, вследствие чего энтропия увеличится на 1пЛ . Однако увеличение обменной энергии (1.18) при перевороте спинов составляет всего лишь 2/, так что полное изменение свободной энергии будет равно [c.66]

Таким образом, мы получаем выражения для свободной энергии, внутренней энергии и теплоемкости одномерной модели Изинга [c.159]

В пределе /2- 0 этот сингулярный вклад стремится к нулю, поэтому регулярная часть теплоемкости квазиодномерной модели определяется выражением (14.36) для одномерной модели Изинга, т. е. [c.160]

Несмотря на чрезвычайную простоту, модель Изинга позволяет продемонстрировать два очень существ, факта для теории фазовых переходов во-первых, одномерные системы имеют критич. точку, в к-рой темп-ра Т и маги, поле Н равны нулю, и, во-вторых, критические показатели физ, величин вблизи критич. точки удовлетворяют гипотезе подобия. [c.151]

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими тенденциями тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной энергии А-=и—Т8.) В одномерной модели тенденция к упорядочению оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших соседей. [c.382]

Из одномерных моделей в этой книге будет рассмотрена только модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями [117, 152]. Она удобна в качестве простого введения в технику трансфер-матриц, которая будет использоваться в более трудных двумерных моделях. Хотя эта модель и не имеет фазового перехода при ненулевых температурах, длина [c.19]

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при Т=Н=а оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок) в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т. н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение. [c.151]

Случай = Jy = О, отвечающий одномерной модели Изинга, рассмотренной в гл. 2, легко решается. Случай У = О известен как Л У-модель и связан с моделью Изинга. Для всех собственных значений (при конечных N) могут быть получены точные выражения и вычислена статистическая сумма. Такие вечисления выполнены в работах [142, 161]. [c.262]

Величина, фигурирующая в левой части (5.17), оказывается несколько меньше, чем следует из приближения среднего поля [ср. с формулой (5.6)], и стремится к последнему значению при бесконечно большом координационном числе . Таким образом, флуктуации, неявно вводимые, коль скоро используется представление о ближнем порядке, понижают критическую температуру Го- Действительно, фазовый переход в одномерной модели Изинга с 2 = 2 при Гс = О находится в согласии с точным решением ( 5.5). Таким образом, квазихимическое приближение более реалистично, чем приближение среднего поля, но обладает теми же преимуществами физической простоты и аналитической замкнутости. [c.179]

Самая существенная особенность выражения (5.62) состоит в том, что при всех положительных значениях Н я Т функция не имеет полюсов, точек ветвления и нулей. Таким образом, мы получаем подтверждение общей теоремы ( 2.4), согласно которой одномерная модель Изинга не имеет устойчивой упорядоченной ( )азы. Легко показать, например, что при Н Q намагниченность исегда стремится к нулю. [c.195]

Связь с одномерной моделью Изинга в поперечном поле. Форма лизм, изложенный в предыдуш ем параграфе, сводит задачу о мы числении статистической суммы плоской классической модоли Изинга к вычислению трансфер-матрицы — объекта, зависящего от совокупности спинов, относящихся к одной строке решетки. Со гласно (13.6), (13.13) и (13.14), трансфер-матрица Т выражаотси [c.155]

Включение взаимодействия между цепочками приводит к установлению дальнего порядка с температурой фазового перехода Гс, малой в меру малости меж-цепочечного взаимодействия Л. В такой системе анизотропия взаимодействия должна приводить к сильной анизотропии корреляций. При Г > Гс корреляция спинов вдоль цепочки сохраняется при гораздо более высоких температурах, чем корреляция в перпендикулярном направлении. Такие квазиодно-мерные системы являются предметом интенсивного экспериментального изучения. Для теоретического выявления особенностей их поведения полезно изучить вначале статистическое поведение одномерной модели Изинга. [c.158]

Одной из первых попыток оценить энергетический эффект формирования смешанных (вюртцит/сфалерит) нитридов А1, Ga, In явились расчеты [26] в рамках одномерной модели типа Изинга [27], где энергетические параметры заимствовались из зонных расчетов идеальных кристаллов (глава 1). [c.35]

Модель Изинга допускает кроме магнитной и иные физические интерпретации. Допустим, что каждый узел решетки может быть занят либо атомом сорта А (а / = 1), либо атомом сорта В (а— 1), причем взаимодействуют друг с другом только соседние атомы. Мы будем при этом считать, что одномерная цепочка находится в растворб, содержащем большое число атомов и того и другого сорта, которые могут адсорбироваться узлами цепочки, так что числа атомов в узлах решетки Яд и Яв не фиксированы, а заданной является только сумма Яд + Яв = Я. В такой интерпретации мы переходим к уже известному нам бинарному сплаву (одномерному). Обозначим через аа, вв> ав энергии взаимодействия двух соседних атомов сорта А друг с другом, сорта В друг с другом и атома А с атомом В соответственно. Имеем тогда для энергии конфигурации Е С) выражение [c.438]

Что касается удельной теплоемкости в постоянном поле, то для нее теория Вейсса также предсказывает конечный скачок. Следовательно, как указывалось выше, все соответствующие друг другу величины ведут себя в окрестности критической точки одинаково в обеих так называемых классических теориях. Это не случайно. Действительно, главная физическая идея, лежащая в основе обеих моделей, заключается в существовании далънодействующих сил. Кац очень изящно показал, что если мы рассмотрим простую решетку с одномерными спинами (модель Изинга, см. разд. 10.2), в которой все спины взаимодействуют одинаково независимо от их взаимного расстояния, то мы получим в точности уравнение состояния Вейсса. Следовательно, теории ВдВ и Вейсса являются, так сказать, изоморфными . Аналогия двух теорий очень ясно проявляется также в теории фазовых переходов Ландау. Ландау исходит из выражения для свободной энергии и разлагает ее в окрестности критической точки делая сходные допущения, при этом можно получить либо теорию ВдВ, либо теорию Вейсса. Из-за недостатка места мы не будем подробно рассматривать здесь теорию Ландау, прекрасное изложение которой можно найти в ряде книг (см., однако, разд. 10.4). [c.346]

Поскольку точное решение модели Изинга получено лишь для одномерной системы [I и 53 и для набора двумерных решеток в нулевом магнитном поле, задача установления простых и достаточно гибких аппроксимаций остается актуальней. Нам представляется, что аппроксимации не потеряют своего значения и в тем случае, если будет найдено точное решение. В свое время С. В. Тябликовым и авто- [c.26]

См., однако, примечание 1 на стр. 316 о методе ренормализационной группы. Модель Изинга может быть также полностью проанализирована в одномерном случае, который, однако, характеризуется тем, что ни при каком конечном радиусе взаимодействия и ни при какой температуре магнитного упорядочения не существует. [c.327]

Изинг предложил свою модель в 1925 г. [117] и решил ее для одномерной системы. Это решение приводится в данной главе частично потому, что оно представляет собой по сушеству введение в технику трансфер-матриц, которая будет использоваться ниже, но также вследствие того интереса, который представляет любая простая, точно решаемая модель. Одномерная модель не имеет фазового перехода при какой-либо ненулевой температуре, но, как будет показано ниже, она имеет критическую точку при // = Г = О, в ней могут быть разумным путем введены критические показатели и выполняются гипотеза подобия и связанные с ней соотношения. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...