Линейности колебаний условие

Линейности колебаний условие 16 Лучевая скорость [c.205]

Собственные линейные колебания в амплитудной форме с учетом начальных условий можно представить в окончательной форме [c.431]

Перейдем к теоретическому анализу дробления пузырька. В разд. 2.6 были даны постановка и решение задачи в свободных колебаниях поверхности газового пузырька, находяш егося в жидкости. Очевидно, что такие колебания могут быть вызваны турбулентными пульсациями жидкости, частота которых совпадает с частотой собственных колебаний поверхности пузырька. Условие совпадения частот колебаний приводит к резонансу колебаний поверхности и к последующему дроблению пузырька газа. Рассмотрим линейные колебания поверхности пузырька. В соответствии с (2. 6. И) частота моды колебаний и-го порядка при малой их амплитуде определяется при помощи соотношения [c.130]

Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейными дифференциальными уравнениями. То, что период этих колебаний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следовательно, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных колебаний. Колебания, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, называют нелинейными-, они упомянутыми свойствами не обладают (см. задачу Г15). [c.235]

Гармонические колебания полностью определяются амплитудой колебаний, периодом и начальной фазой. Отметим основные свойства собственных линейных колебаний. Собственные линейные колебания системы являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний — величина постоянная и определяется начальными условиями. Период колебаний тоже величина постоянная, не зависящая от амплитуды и, следовательно, от начальных условий. [c.397]

Величина периода определяется только свойствами колеблющейся системы, т. е. коэффициентом инерции а и жесткостью с. Независимость периода колебаний от амплитуды называется изохронностью колебаний. Собственные линейные колебания, если нет возмущающих сил, могут возникнуть только при начальных условиях, неравных нулю, т. е. когда в начальный момент система имеет не равные нулю начальную обобщенную координату <7о или начальную обобщенную скорость ро. [c.397]

Если отказаться от рассмотрения линейных колебаний, то можно найти незатухающие колебания материальной системы, возникающие в реальных условиях без воздействия периодической во времени возмущающей силы, но при наличии притока энергии извне системы. [c.276]

Все сказанное позволяет еще раз подчеркнуть неполноту заключений, полученных на основании интегрирования приближенных Л1[нейных дифференциальных уравнений движения. Действительно, теория линейных колебаний, примененная к исследованию движения маятника с отрицательным трением, позволяет найти условие самовозбуждения колебаний, выражаемое неравенством [c.282]

Отметим, что в линейной колебательной системе при выполнении условия параметрического возбуждения колебаний (условия параметрического резонанса) происходит неограниченное нарастание амплитуды возбужденных колебаний. Это связано с тем, что и потери, и вложение энергии в данном случае пропорциональны квадрату амплитуды колебаний (пропорциональны колебательной энергии системы). Для вынужденных колебаний в линейных системах при силовом воздействии вложение энергии пропорционально первой степени амплитуды колебаний, а потери по-прежнему пропорциональны квадрату амплитуды, что приводит к образованию конечной амплитуды вынужденных колебаний. [c.132]

Энергетический метод. Энергетический метод основан на том, что при свободных линейных колебаниях систем в условиях отсутствия сопротивления сумма потенциальной и кинетической энергий системы остается неизменной. Если колебания системы происходят в форме стоячих волн, то, рассматривая какую-то из собственных форм колебаний, замечаем, что в положении наибольшего отклонения кинетическая энергия равна нулю, так как скорости колеблющихся масс в этом случае равны нулю при прохождении же системы через нулевое положение нулю равняется потенциальная энергия, так как система в этом положении недеформирована. [c.238]

Следует заметить, что нарушение гипотезы о линейности граничных условий приводит к невозможности разложения решений по фундаментальным функциям и, следовательно, в данном случае исчезает возможность использования хорошо разработанных сейчас методов исследования колебаний линейных упругих систем с распределенными массами. Развитые ниже методы могут быть перенесены и на задачи о колебании пластин, мембран, струн, имеющих нелинейные граничные условия. [c.4]

В отличие от случая линейных граничных условий, в решениях (I. 8) или (I. 9),величины А, В, С, D уже не являются произвольными постоянными, они являются функциями частоты свободных колебаний р. [c.8]

Заметим, что приведенное рассуждение должно пояснить лишь смысл линеаризации граничных условий и ее связь с общеизвестными решениями задач о нелинейных колебаниях одномассовых систем. Осуш,ествляемая линеаризация есть не что иное, как осреднение за период колебания нелинейного граничного условия при выполнении условия минимизации разницы между ним и соответствующим линейным граничным условием, дающим ту же частоту свободных колебаний (при данной амплитуде колебаний). [c.14]

Заметим, что развитая методика позволяет решать задачу о вынужденных колебаниях в случае любой нелинейной характеристики в опоре, так как все предыдущие выкладки можно воспроизвести для балки, имеющей три различные (любые) линейные граничные условия и одно (четвертое) любое нелинейное граничное условие. [c.35]

Уравнение (I. 97) показывает, что в отличие от решений для вынужденных колебаний балок, имеющих линейные граничные условия, решения для вынужденных нелинейных колебаний балок получаются не однозначными. Одной и той же частоте колебаний со (или а) может соответствовать несколько параметров Л 2, а следовательно, и амплитуд колебаний (при заданной внешней возмущающей силе Ро). Можно думать, что одни решения ij i (х) и 1 32 (л ) будут устойчивыми, а другие нет. На этот вопрос можно ответить, исследуя характер кривых вынужденных колебаний определен- [c.37]

Через у здесь и далее будут обозначены прогибы вращающихся валов, имеющих линейные граничные условия, так как в данном случае они будут совпадать с прогибами тех же валов, совершающих поперечные колебания. [c.62]

В книге представлены результаты исследований автора по управлению упругими колебаниями систем, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями различных родов. Подробно рассматриваются практические способы построения граничных управлений на основе решений, получаемых методом Даламбера и на основе метода Фурье. Определяются обобщенные решения класса Ь2 различных типов краевых задач. Для них с помощью априорных оценок доказаны теоремы существования и получен явный вид этих решений. [c.1]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

Постоянную о, определяемую согласно (38.10) кинематическими и динамическими свойствами самой колеблющейся системы, называют собственной частотой. Собственная частота щ не зависит от начальных условий движения системы. Следует, однако, иметь в виду, что указанное свойство частоты oq ть следствие линейности колебаний и оно исчезает, если в разложении лагранжиана (38.1) [c.217]

Если выписать полное решение этого линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, то получим закон движения массы М, в котором будут смешаны свободные колебания системы, зависящие от начальных условий и параметров системы, и вынужденные колебания, определяемые характером возбуждения и параметрами системы. Как показывает практика, свободные колебания в системе затухают довольно быстро и остаются лишь вынужденные колебания. Вибрационные машины основной технологический процесс выполняют в установившемся режиме, когда свободные колебания уже затухнут, [c.302]

Модель объекта должна отражать основные черты реальной системы, влияющие на оценку ее динамической реакции, и вместе с тем быть удобной для анализа и интерпретации результатов. Наиболее приемлемой в этих условиях является линейная модель, достаточно передающая свойства щирокого класса конструкций при малых колебаниях. Удобной формой описания свойств линейного объекта в условиях вибрационных воздействий являются операторы динамической податливости 1нл(р), связывающие силу Gi t), приложенную в заданном направлении в точке В объекта, с проекцией перемещения XA(t) точки А на некоторое направление хл 1) = = 1ил(р)0и(1). Обратные операторы кил(р) = 1цл(Р) называются операторами динамической жесткости. Характеристиками /л(р), кл(р), связывающими силу, приложенную в точке А, с проекцией перемещения этой же точки на направление действия силы, называются операторами динамической податливости и динамической жесткости в точке А. Частотные характеристики объекта 1на ш), кпл ш) называются соответственно динамической податливостью и динамической жесткостью. [c.274]

Собственные линейные колебания системы являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний величина постоянная и определяется начальными условиями. Период колс6а шй тоже величина постоянная, не зависящая от амплитуды и, следовательно, от начальных условий. [c.432]

Положение устойчивого равновесия определяется условиями os q= (b/a) tg а, sin >0, поскольку d U= mga sin а smq. Предполагая, что b tga [c.131]

При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и величиной внешней силы. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы в ней при отсутствии потерь (т. е. в случае консервативной системы) возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. [c.98]

Учет нелинейности в граничных условиях упругих систем, совершающих колебания, не является поиском причин, играюш,их несущественную роль, а наоборот, очень часто нелинейные граничные условия являются фактором, определяющим движение всей упругой системы. Так, в отличие от случая линейных граничных условий, где амплитуды свободных колебаний являются произвольными постоянными, при нелинейных граничных условиях амплитуды свободных колебаний являются функциями частоты свободных колебаний. [c.215]

Существование интерференц. картины является прямым следствием суперпо.зиции принципа для линейных колебаний и волн. Однако в реальных условиях всегда существуют хаотич. флуктуации волнового поля, в ча-стности разности фаз взаимодействующих волн, что приводит к быстрому перемещению интерференц. картины в пространстве. Если через каждую точку за время измерения успевают многократно пройти максимумы и минимумы интерференц. картины, то зарегистрированное ср. значение интенсивности волны окажется в разл. точках одинаковым и интерференц. полосы расплывутся. Чтобы зарегистрировать чёткую интерференц, картину, необходима такая стабильность случайных фазовых соотношений, при к-рой смещение иитерференц. полос за время измерения составляет лишь небольшую насть от их ширины. Поэтому качеств, понятие К. можно определить как необходимую стабильность слу-найных фазовых соотношений за время регистрации интерференц. картины. [c.394]

Коллективные методы фокусировки. Описанные выше приёмы, основанные на поисках самосогласованного решения системы ур-ний Власова, применяются и для анализа коллективных методов Ф. частиц. Наиб, интересной из таких устойчивых систем (хотя и не использованной до сих пор ни в одной из действующих ускорит, установок) является самостабилизированный пучок Беннетта— Будкера, Этот пучок включает релятивистские электроны, вращающиеся в однородном магн. поле, и неподвижные ионы, Ф, ионов обеспечивается совокупным электрич. полем электронов и ионов, а Ф, электронов — совокупным электрич. и магн. полем электронов и электрич, полем ионов. Условие устойчивости линейных колебаний в пучке Беннетта — Будкера имеет вид [c.335]

Отсюда следует, что если есть уверенность, что эта аналогия сохраняется (а она сохраняется всегда для линейных колебаний), то можно для расчета колебани11 стержня с подходящими граничными условиями пользоваться методами расчета электрических колебаний в линиях передачи. [c.114]

Для каждой пары действительных значений а и R существует собственное значение с, вообще говоря, комплексное. Если мнимая часть комплексной величины с положительна, то возмущение, согласно линейной теории, неустойчиво. Если Сг < О, то возмущение затухает. Если = О, то существуют незатух1Ющие колебания. Условие = О приводит к соотношению между а и R или к кривой в плоскости (а, R). Эту кривую обычно называют кривой нейтральной устойчивости, или, коротко, нейтральной кривой. [c.41]

В этих условиях точка х(г) никогда не сможет покинуть окрестность точки равновесия, следовательно, Хо — стационарная точка, устойчивая по Ляпунову. Иногда вместо метода Ляпунова используют спектральный метод, как более простой. Он состоит в исследовании спектра частот линейных колебаний системы относительно точ1си равновесия. По этому методу равновесие устойчиво, если всё частоты — затухающие, и неустойчиво, если хотя бы одна является растущей. Однако если хотя бы одна частота нейтральна (действительна), а остальные частоты затухающие, этот метод неэффективен. Поясним это на примере нелинейной системы [c.188]

Период линейных колебаний не зависит от т. е. от амплитуды колебаний (или начальных условий). В нелинейной теории период существенным образом зависит от амплитуды. Эту зависимость можно вьфазить явно, заменив в выражении (12.9) эллиптический интеграл его известным разложением по степеням к [c.483]

При значении а = 1,2...1,6 получаются так называемые защитные пленки, пассивирующие металл. Учитывая отклонения состава многих оксидов металлов от стехиометрического, а следовательно, колебания их молекулярной массы и плотности, можно считать критерий а лишь оценочным, но тем не менее отображающим действительные условия сплошности. Рост толщины пленки всегда начинается в кинетическом режиме, т. е. лимитируется кинетикой химической реакции (логарифмический закон), но затем, после создания сплошной пленки, ее рост или практически прекращается из-за малых коэффициентов диффузии, или продолжается в результате диффузионных процессов. Диффузия определяется или постоянством градиента (линейный закон роста пленки), или условием 6grad = onst (параболический закон роста). Различные законы роста пленки показаны на рис. 8.22. [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...