Образующие фундаментальной группы

Образующие фундаментальной группы 76 [c.454]

Фундаментальным принципом собственно кристаллографии является принцип Неймана, который формулируется следующим образом [30] группа симметрии любого физического свойства должна включать в себя все элементы точечных групп кристалла. Иными словами, точечная группа либо совпадает с группой симметрии свойства, либо является ее подгруппой. При этом принцип Неймана утверждает лишь возможность существования у кристалла соответствующих свойств, но не требует их обязательного наличия. Таким образом, он определяет необходимое, но не достаточное условие. В то же время если указанное условие не соблюдается, то принцип Неймана запрещает появление соответствующего свойства. [c.153]

Для любого отображения / S — S индуцированное отображение /. фундаментальной группы Z есть просто умножение на deg/. Используя естественную образующую Z, мы немедленно видим, что /г,(/) = log deg/ . [c.131]

Другое сходство растягивающих отображений и автоморфизмов тора проявляется при подсчете энтропии /г. их действий на фундаментальной группе. Фундаментальная группа имеет вид тг,(Т , (0,0)) = Z , и отображение Е действует на ее естественных образующих 7, = (1,0) и = (О, 1) следующим образом F ,(7,) = 27, + 72, ,(72) = 7i + Ъ- к как это свободная абелева группа, представления F y , i = 1,2, вида (3.1.22) могут быть приведены к каноническому виду, который оказывается не чем иным, [c.134]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Начнем с замечания, что для данного е > О существует такое 5 > О, что когда р еЮ> находится в 5-окрестности 50, угол между любыми двумя геодезическими, евклидова длина которых больше чем е, проходящими через р, не превосходит тг/4. Наша цель состоит в том, чтобы найти геодезическую 5с, концы которой очень близки к ж, и такой элемент 7 е Г фундаментальной группы, что образ х под действием 7 — геодезическая с концами, очень близкими к у. [c.223]

Замечание. В частности, заметим, что v(M) > О тогда и только тогда, когда фундаментальная группа М растет экспоненциально для некоторого (а следовательно, и любого) конечного множества образующих. [c.381]

Опишите метрику на листе Мёбиуса, обладающую тем свойством, что кратчайшая геодезическая в гомотопическом классе П образующей 7[ фундаментальной группы и кратчайшая геодезическая в различны. [c.384]

Докажите, что фундаментальная группа 5Г (М) компактного многообразия, допускающего метрику отрицательной секционной кривизны, растет экспоненциально, т. е. для любой конечной системы Г образующих я [(М) число элементов 7 е ТГ (М), которые могут быть представлены словами длины, не превосходящей п, растет с ростом п экспоненциально. [c.554]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Фундаментальная группа поверхности может быть представлена различными способами. В процессе вклейки ручек получаются образующие а ,Ъ , i = 1,..., g, где каждая пара соответствует ручке и о, Ь, а7 6f Oj oj 6 = Id. Это представление соответствует также отождествлению сторон 4з-угольника, которое дает эту же поверхность рода д. (Для поверхности рода 1 —тора — эта конструкция соответствует его определению как R /Z для поверхности рода 2 — кренделя — эта конструкция аналогична определению его с помощью восьмиугольника, приведенному в пп. 5.4 д и 14.4 б, хотя отождествление сторон производится по-другому.) [c.713]

Фундаментальная группа п Т, а ) является свободной группой с ц образующими. Назреем систему путей фь .., фц, соединяющих в Т отмеченное значение а. с каждым из критических значений ft, слабо отмеченной, если соответствующий ей набор простых петель Р<( = Рф ) порождает эту фундаментальную группу. ......-. [c.62]

Параллельный перенос в расслоении (ко) гомологий вдоль замкнутого пути с началом в выделенной точке базы задает-линейный автоморфизм слоя над этой точкой. Таким образом связность V в расслоении (ко) гомологий определяет представление фундаментальной группы базы в группу автоморфизмов слоя. [c.94]

Пример. Дополнение к ласточкиному хвосту группы совпадает с пространством многочленов степени ц+1 без кратных корней, фундаментальная группа которого является группой кос из ц-1-1 нитей Вг(ц- -1) (п. 1.9) с образующими ti, 1= = 1,..., (X, и определяющим набором соотношений [c.131]

Вернемся теперь к нашей общей схеме. Пусть G означает либо евклидову группу Е , либо неоднородную собственную группу Лоренца L+ (в зависимости от того, какое пространство—или 33 — выбрано в качестве конфигурационного). Поскольку каждый элемент g группы G отображает любую область Q S g в некоторую область g [Q] е g, мы можем сопоставить каждому элементу е Э (Q) определенный элемент Og [/ ] S Э (g [Q] ) и предположить, что Og есть -изоморфизм, отображающий Э (Q) на Э g [Q]). Пусть s Э (Q ) — фундаментальная последовательность, сходящаяся к элементу Тогда отображения Ug [/ ] также образуют фундаментальную последовательность в 8 . Обозначим ее предел через ag[ ]. Итак, мы дошли до формулировки постулата ковариантности теории, т. е. мы предполагаем, что существует некоторый гомоморфизм а, отображающий G в Aut (Э ) и обладающий тем свойством, что ag [Э (Q)] = Э (g [Q]) для любой области Q е g и любого элемента g группы G. [c.356]

Таким образом, ветвление различных интегралов, связанных с особенностями типа Ак, управляется представлением монодромии группы кос (являющейся фундаментальной группой дополнения комплексного дискриминанта). [c.134]

Множество унитарных матриц 2x2 образует унитарную группу 6/ (2). В действительности используются не все унитарные матрицы, а лишь образующие подгруппу 8и (2). Примером группы и (2) является группа изотопического спина, фундаментальное представление которой образуют векторы п, р). Генераторы этого представления обозначаются следующим образом [c.136]

Так как многообразия пересекаются в общем положении, то локальная фундаментальная группа в окрестности критической точки является свободной коммутативной группой с ц образующими со, СО , где Oi — класс малой петли в положи-Ч 2 ц [c.138]

Фундаментальная группа и эйлерова характеристика связаны между собой следующим образом. [c.289]

В данном разделе затрагиваются вопросы существования замкнутых кривых из траекторий систем дифференциальных уравнений на двумерных поверхностях. Рассматриваемые фазовые кривые стягиваются в точку по фазовой поверхности. Таким образом, искомые замкнутые фазовые траектории являются подмножеством той части фундаментальной группы данной двумерной фазовой поверхности, которая представляет тривиальную компоненту. [c.189]

Указанные выше методы применимы к уравнениям как аналитическим, так и неаналитическим, как линейным, так и нелинейным таким образом, они свободны от ограничений, накладываемых на обычные методы разложения в ряды или представления интегралами. Поэтому теория групп играет фундаментальную роль в решении дифференциальных уравнений гидромеханики. [c.195]

Лемма 8.1.2. Пусть Л — число, определенное выше. Рассмотрим ( А)-плотное множество гу,,..., w С М. Зафиксируем точку р М и дуги j, соединяющие р с w , а также дуги с В Л/4) и VB wj,X/4), соединяющие точки и Wj для таких (i,j), что B Wi, Л/4)пБ(гу , Л/4)т 0. Тогда петли j y j" являются множеством образующих фундаментальной группы 7Г,(М, р), которое мы обозначим через Г. [c.315]

Приведенное топологическое рассмотрение можйо сделать более детальным и строгим. Классы отображений петель образуют группу, называемую фундаментальной группой отображений. Мультипликативные свойства фундаментальной группы определяют способ, которым дефекты могут комбинировать друг С другом [15]. Для нематического упорядочения, например, эта группа является двухэлементной абелевой группой. Как мы увидим ниже, холестерическая фаза, а также двуосные нематики описываются неабелевыми фунДамёктальными группами. [c.93]

Теперь рассмотрим непрерывное отображение / компактного связного многоооразия М, и пусть р М. Зафиксируем непрерывный путь а, соединяющий точку р с ее образом /(р), т. е. такое отображение а [О, 1] —+ М, что а(0) = р, а(1) = /(р). Тогда мы можем определить эндоморфизм / фундаментальной группы тг = тг,(М, р), где образ элемента, определяемого петлей 7 [О, 1]-+М, 7(0) = 7(1) = й представляется петлей а/(7)а , состоящей из пути а, петли / о 7 и затем снова из пути а, но проходимого в противоположном направлении. [c.127]

Нас в основном интересует случай связных многообразий, для которых линейная связность гарантирует, что группы, соответствующие различным точкам р, изоморфны. Таким образом, в этом случае можно писать просто Г[(М). Так как фундаментальная группа определена по модулю гомотопии, она одинакова для двух гомотопически эквивалентных пространств, т. е. представляет собой гомотопический инвариант. Свободные гомотопические классы кривых (т. е. без отмеченной точки) соответствуют в точности классам сопряженности кривых по модулю замены отмеченной точки, так что имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами свободно гомотопных замкнутых кривых и классами сопряженности в фундаментальной группе. [c.695]

Согласно предащущему упражнению достаточно получить положительную алгебраическую энтропию на проколотом диске. Без потерн общности можно считать, что точки ряд содержатся в небольшом диске D . Возьмите диск D2, содержащийся в и концентричный D , н определите диффеоморфизм f на D , который переставляет р и q, жестко поворачивая диск > на ж радиан и при этом оставляя множество >2 неподвижным. Фундаментальная группа множества р, 9 порождается циклами а и 6, закрепленными в точке х дЮ , так что циклы ан Ь совпадают, пока они не достигают середины отрезка между р и q, а затем отделяются друг от друга и возвращаются с разных сторон от пары (р, q). Применив соответствующую маркировку, мы получаем Д(а) = Ь н ДЬ = ЬоЬ . Если равно числу вхождений а в слово, представляющее /"(а), и —число вхождений Ь (и 6 ) в слово /"(6) (после приведения), то по индукции а = 6 , и = 4 -)-а . Таким образом, 6 — последовательность чисел Фибоначчи н, следовательно, она растет экспоненциально. Эти соображения зависят лишь от гомотопического класса / mod p, q . [c.745]

При продолжении решений над петлей, не проходящей через полюса коэффициентов, пространство ростков решений в начальной точке петли переходит в себя. Этот автоморфизм линеен и называется преобразованием монодромии. Последова/-тельному обходу петель соответствует произведение преобразований монодромии. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы области голоморфности коэффициентов в подгруппу группы ОЬ(/1, С). Этот гомоморфизм называется монодромией уравнения или системы оператор, соответствующий петле зависит только от гомотопического класса петли и обозначается Г,,. Образ гомоморфизма называют группой монодромии. [c.130]

Определение. Образ Г фундаментальной группы при гомоморфизме Я1(7 , а,)- Ли Яп-1(У ) называется группой моиодромии особенности f. [c.60]

Образ этого представления содержится в подгруппе гомотопических классов отображений слоя V,, тождественных на его рае дУ , т. к. поднятие гомотопии можно осуществить согласованным со структурой прямого произведения дУ.ХЛ на границе шара V. Поэтому определено представление фундаментальной группы Я1(Л Д.) в груипу (ко) гомологий Яп-1(У.) [c.72]

Определение. Группой монодромии особенности f называется образ представления фундаментальной группы базы ее милноровского расслоения в группе (ко)тч>мологий слоя расслоения. [c.72]

Группа монодромии в смысле определения п. 1.4. порождается представлением в гомологиях фундаментальной группы Я1 (L LП2). По теореме Зарисского образующие фундаментальной груашы Яl(L LП2) порождают Я1(Л ), откуда и следует эквивалентность определений монодромии. [c.72]

M- N, то есть в окрестности любой своей точки множество S выделяется системой аналитических уравнений. Множеству S однозначно соответствует его фундаментальный гомологический класс, то есть такой класс а в группе Z2) гомологий S с замкнутыми носителями, что для любой регулярной точки x S, образ класса а в группе fldims(S, S—х Z2) является образующей последней группы (ом. [230], П51]). Вложение N) отображает класс а в группу N),Zz) пользуясь еще двойственностью Пуанкаре, получаем элемент группы Я (/ (Л1, iV), Z2), v= odim S, который называется классом, двойственным к множеству S, и обозначается [S]. Напомним (см. 3.1), что для любого гладкого отображения f и натурального числа k определено А-1Ст.руйное ра1стирение fh отображения f, (М, N). [c.199]

Одной из простейших бифуркационных диаграмм является полукубическая парайола, состоящая из точек на (а, Ь)-плоскости, для которых многочлен + ах + Ь имеет кратные корни. Эта кривая появляется в качестве бифуркационной диаграммы во многих задачах теории особенностей. Например, она может рассматриваться как бифуркационная диаграмма нулей функции х она образована теми точками версальной деформации этой функции, для которых множество нулевого уровня деформированной функции является особым. Эта бифуркаг ционная диаграмма имеет замечательные свойства. Например, её дополнение в является пространством Эйленберга-Маклейна К тг,1) все его гомотопические группы тривиальны, за исключением фундаментальной группы (являющейся группой кос Артина из 3-х нитей, см. рис. 65). [c.182]

Это вытекает из того, что фундаментальная группа компактного мно-гбобразия имеет конечное число образующих См В. 3 е й ф е р т, Н. Т р е л ь ф а л л ь [1]. [c.76]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Первые два соотношения в каждой из этих четырех групп выражают соответственно в переменных S, V, S, р, I V, Т, 5 и р, Т, I фундаментальные условия (4.12). Последние соотношения в каждой из этих четырех систем уравне1шй могут быть записаны следующим образом [см. (4.20)] [c.40]

Таким образом, мы получаем бесконечное семейство преобразований они называются группой канонических преобразований. Каждое из них обладает теми же свойствами, что и U (t). Следовательно, мы можем сформулировать фундаментальное свойство динамика Гамильтона инвариантна относительно всякого кано-ническозо преобразования. [c.24]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

Б о л ь ш и е п л а н е т ы и спутники планет образуют плоскую подсистему, к-рая определяет фундаментальную плоскость С. с. Большие планеты распадаются па 2 группы внутр. планеты (Меркурий, Венера, Яемля, Марс) и внешние (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун). Плутон имеет физ, характеристики, отличные от характеристик внешних нланет, и поэтому не может быть отнесен к их числу. Ок. 90% естеств. спутников груннируются вокруг внешних планет, причем Юпитер и Сатурн представляют сами С. с. в миниатюре. Нек-рые спутники но размерам превышают планету Меркурий. Сатурн, помимо 9 больших спутников, обладает кольцом, состоящим из огромного количества мелких тел, движение к-рых удовлетворяет законам Кеплера иными словами эти тела — также спутники Сатурна. Радиус кольца составляет 2,3 радиуса Сатурна. [c.573]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...