Группа автоморфизма

Группой автоморфизмов называется группа отображений некоторого множества [c.911]

Рис. 2.3. Гиперграф с группой автоморфизмов порядка 12

Легко показать, что все автоморфизмы любого гиперграфа образуют группу подстановок. Эта группа называется группой автоморфизмов гиперграфа. [c.38]

Именно благодаря группе автоморфизмов возникают эквивалентные раскраски вершин. Исключение составляют гиперграфы, группы автоморфизмов которых единичные. Такие гиперграфы называются асимметрическими. [c.38]

Наиболее сложной частью решения этой задачи является построение группы автоморфизмов G и ее циклового индекса. В этом примере попробуем просто перечислить все возможные подстановки группы автоморфизмов, после чего находим цикловые индексы отдельных подстановок. Для этого выписываем единичную подстановку, которая всегда должна быть в группе [c.39]

Посмотрим, как можно использовать операцию произведения в предыдущем примере. Из рис. 2.3 видно, что группа автоморфизмов гиперграфа порождается, во-первых, всеми возможными подстановками на множестве вершин 4, 5, 6), что соответствует симметрической группе 5з, во-вторых, всеми возможными подстановками на множестве 2, <3 — это уже группа 5з, и, в-третьих, на множестве (1 работает единичная группа Si. Таким образом, группа автоморфизмов этого графа равна [c.41]

Рис. 2.4. Гиперграфы, группы автоморфизмов которых выражаются через композицию

Используя эту формулу и (2.11), найдем цикловой индекс группы автоморфизмов гиперграфа, изображенного на рис. 2.4, а [c.43]

Здесь число подстановок в группе автоморфизмов увеличилось до 72. [c.43]

Пусть задана нумерация звеньев блок-схемы В = = Ви Вг,. .., Вь) (например. В —это минимальный код). Предположим, что g —некоторая подстановка, такая, что gB = gBu gBi,. .., gSb> —код, эквивалентный В. Тогда множество G всех таких подстановок определяет группу автоморфизмов блок-схемы. [c.55]

Построение группы автоморфизмов для конкретных блок-схем обычно трудоемко и связано с непосредственным анализом их гиперграфов. [c.56]

Для того чтобы задать группу автоморфизмов, необязательно выписывать все ее подстановки, достаточно знать лишь ее образующие. Число последних обычно гораздо меньше порядка группы. Так, для рассмотренного выше примера в качестве образующих можно взять следующие подстановки [c.56]

В табл. 2.6—2.8 помещены все образующие групп автоморфизмов блок-схем, список которых приведен 56 [c.56]

Таблица 2.6. Образующие группы автоморфизмов

Для построения системы образующих группы автоморфизмов блок-схемы использовался следующий подход. В блок-схеме выделялись все возможные оси симметрии гиперграфа или его частей (их число определяет количество образующих в системе), а затем каждая образующая строилась как отображение вершин гиперграфа (или его части) относительно оси симметрии. Естественно, при таком подходе некоторые системы содержат не минимально возможное число образующих. Однако в этом случае каждая образующая представляет собой произведение одной или нескольких транспозиций, что очень удобно для использования на следующих этапах синтеза механизмов. [c.59]

Анализ показывает, что некоторые блок-схемы (например, 6 и 7 из табл. 2.6 при d = 5) имеют одинаковые системы образующих, а следовательно и одинаковые группы автоморфизмов. Отсюда следует, что группа автоморфизмов не является точным инвариантом для множества блок-схем. [c.59]

Таблица 2.8. Образующие группы автоморфизмов при о = Б

Имеются блок-схемы, у которых система образующих пуста, и их группа автоморфизмов состоит из одной единичной подстановки (например, 9 и 11 из табл. 2.6 при d = 5). Такие блок-схемы логично назвать асимметрическими. Как правило, при всех равных условиях они порождают наибольшее количество различных режимов. С другой стороны, наличие большого числа элементов в группе автоморфизмов приводит к тому, что многие режимы, реализуемые с помощью соответствующей блок-схемы, по существу, не будут отличаться друг от друга и их необходимо отбраковывать. [c.61]

Опишем методику получения оценок числа режимов для конкретных блок-схем с произвольной группой автоморфизмов. [c.66]

Рассмотрим сначала случай, когда а = 3 и 2 = 5. Для этих значений существует только одна блок-схема 123—145 с образующими подстановками группы автоморфизмов [c.67]

Для построения циклового индекса С (5 (3, 6)) достаточно заметить, что всевозможные вращения гиперграфа блок-схемы совпадают с вращениями треугольника, группа автоморфизмов которого равна S3. Отличие состоит лишь в том, что при различных поворотах гиперграфа друг в друга переходят не отдельные элементы, а пары элементов. В связи с этим С В (3, 6)) сразу же получается из С(5з) путем замены hj на h j, / е 1 3 [c.70]

Группа автоморфизмов блок-схемы В (3, 7) может быть получена сначала взаимной перестановкой трех вершин гиперграфа внутри каждого четырехугольника (группа 5з), а затем взаимной перестановкой самих четырехугольников (группа 52). Учитывая, что на неподвижной вершине 1 работает группа S, получаем [c.72]

Группу автоморфизмов блок-схемы S (3,7) легче всего получить, если выписать в явном виде все ее подстановки. Пользуясь табл. 2.6 для d = 4, имеем [c.73]

Тогда, если G(fi) —группа автоморфизмов блок-схемы В и G(fi), то семейство [c.77]

В качестве примера рассмотрим код, отнесенный к блок-схеме fi (3, 7), у которого Л0 = <1>, Ле = = <2, 3>, Лт = <6>, Лф, = (4, 5, 7). Группа автоморфизмов этой блок-схемы содержит четыре подстановки (с. 73). После применения к коду подстановок g4, g3, g2, g и последующего упорядочивания элементов соответственно получаем [c.77]

Практическое использование этого правила весьма трудоемко, так как требует последовательного перебора всех подстановок группы автоморфизмов с последующим преобразованием и попарным сравнением получаемых кодов. Поэтому желательно иметь такой признак браковки, который позволил бы ограничиться анализом только одного данного кода, не делая сравнения его с другими. [c.77]

Пусть G (B)—система образующих группы автоморфизмов G B) блок-схемы В и g G B). Пред-полол<им сначала, что g имеет самый простой вид [c.77]

Теперь мы можем поставить вопрос о том, является ли группа, порождаемая гамильтонианом Я, единственной инвариантной группой механики. Ответ очевиден нет. С этой точки зрения в гамильтониане нет ничего специфического. Фактически каждый злемент G ша SB порождает однопараметрическую группу автоморфизмов динамической алгебры [c.24]

В динамических теориях в центре внимания стоит изучение асимптотического поведения, т. е. поведения системы при устремлении времени к бесконечности, особенно при наличии нетривиального возвращения. Этим они отличаются от других областей математики, имеющих дело с группами автоморфизмов различных математических структур. Лучший способ объяснить, какие асимптотические свойства действительно важны и интересны, состоит в изучении конкретных примеров динамических систем и определении наиболее характерных особенностей их поведения. Мы займемся этим в гл. Д и затем подведем итог нашего исследования и представим список интересных свойств в 3.1, 3.3, 4.1, п. 4.2 г и 4.3. Этому подведению итогов предшествует исследование естественных отношений эквивалентности динамических систем в гл. 2, которое создает предпосылки для изучения асимптотических свойств как инвариантов этих отношений эквивалентности. [c.20]

Принимая во внимание разнообразие динамических систем, можно ожидать, что ситуацию удастся прояснить, если пренебречь исключительными случаями. Чтобы придать смысл понятию исключительные , группу автоморфизмов можно снабдить топологией или мерой. Некий класс динамических систем может быть исключительным в абстрактных рамках и общим — в рамках классических или наоборот. [c.20]

Пусть V = W — универсальное накрытие W с прообразом римановой метрики W под действием канонической проекции тг —) W, Пространство V удовлетворяет предположению предыдущего раздела. Следовательно, геодезический поток на Т У удовлетворяет условиям У-потока условие (0) является тривиально выполненным условие (1) следует из теоремы П21.16 условие (2) следует из теоремы П21.18. Завершаем доказательство проверкой того, что тг является совместимым с тремя слоениями У = и TiW, Первая гомотопическая группа Tri(M ) изоморфна группе автоморфизмов W, поскольку W связ- [c.187]

Отсюда видно, что использование теоремы Пойа в первую очередь предполагает знание группы автоморфизмов гиперграфа, точнее,— ее циклового индекса, отыскание которого путем выписывания всех подстановок группы может быть осуществлено только в наиболее простых случаях. К сожалению, не существует общего подхода построения циклового индекса. Однако часто группу автоморфизмов удается выразить с помощью известных операций через некоторые другие группы, цикловые индексы которых известны. Здесь будут описаны две операции, которые используются в дальнейшем. [c.41]

Важную роль на дальнейших этапах синтеза механизма играет наличие силмметричных положений звеньев в блок-схеме, которые необходимо учитывать, например, при построении всех возможных режимов работы механизма. Эту симметрию звеньев можно описать с помощью группы автоморфизмов блок-схемы, совпадающей с группой автоморфизмов ее ги-перграфа. [c.55]

Суперполе может иметь внеш. лоренцов индекс и индекс группы автоморфизмов суперсимметрии, а также индекс к,-л. группы внутренней симметрии. [c.27]

Адекватное геом. описание теорий с расширенной суперсимметрией достигается в рамках гармонич. С. Они получаются добавлением к обычным координатам х , б , 0 ] дополнит, чётных координат, параметризующих пространства групп автоморфизмов. [c.29]

Описанный алгебраич. подход применим и в некоммутативном случае. Ему соответствует определение ДС как однопараметрич. группы автоморфизмов т нек-рой С -алгебры, на к-рой задано состояние р, инвариантное относительно этой группы. Подобные объекты появляются в квантовой статистич. механике, в частности при определении равновесных состояний (КМШ-состояний), и в квантовой теории поля. Их изучение составляет предмет некоммутативной Э. т,, основы к-рой были заложены Дж. фон Нейманом и И. Сигалом I, gal). [c.636]

Свойство 3. Рассматриваемый эволюционный базис порождает четырехпараметрическую коммутативную (абелеву) группу Ли, представление которой в группу автоморфизмов совпадает с максимальной коммутативной подгруппой группы СХ(4,М). [c.167]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...