Группа Ли. Примеры

Группы Ли. Элементы Г Л задают конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф-ций от этих параметров. Число параметров наз. размерностью ГЛ. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим ГЛ лаз. вещественной или комплексной ГЛ. Каждую комплексную ГЛ можно рассматривать как веществ. ГЛ вдвое большей размерности. Примерами ГЛ являются физически важные Г. трансляций, вращений, конформных и унитарных преобразований раз-ны. размерностей, группа Лоренца, группа Пуанкаре [c.543]

Пример. Рассмотрим тройку = (С, Н, О/Н). Здесь О — группа Ли, Л — замкнутая подгруппа, 01Н — фактор-пространство. Можно показать, что является Р. с базой ОШ, слоем Н и пространством Р. С, [c.284]

Нетрудно заметить, что в примерах 1, 2, 4, 5 на множестве элементов, составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом группы ввести понятие близости между любыми двумя элементами, в силу которого групповые операции оказываются непрерывными функциями, что позволяет на такие группы (они называются топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объединение оказывается весьма плодотворным. Это и используется самым существенным образом в теории групп Ли. В настоящее время под термином групп Ли понимают более широкий объект, чем тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться далее нами, [c.208]

Важнейшие примеры групп Ли. [c.209]

Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в перечисленных выше примерах групп Ли. [c.211]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — какая-либо группа Ли его диффеоморфизмов. Каждый диффеоморфизм переводит 1-формы на V в 1-формы. Поэтому группа G действует на кокасательном расслоении М = = T V. [c.338]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340]

Пример 2. Пусть М — группа Ли, С — эта же группа, а действие определяется левыми сдвигами. Тогда Му, — это подмногообразие касательного расслоения группы, образованное теми векторами, которые при правом сдвиге в единицу группы дают один и тот же элемент в дуальном пространстве к алгебре Ли. [c.343]

В некоторых специальных случаях автоморфизмы и эндоморфизмы некомпактной локально компактной группы определяют преобразования компактного однородного пространства этой группы. Примеры такого рода рассматриваются в 17.3, где С — нильпотентная, но не коммутативная группа Ли. [c.241]

Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство пространства представления инвариантным, если все операторы представления T g) переводят каждый элемент в элемент этого же подпространства, т. е. T g)3S i для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство В соответствии с этим представление T g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого представления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение J ", Ж, то Т (g) однозначно определяется представлениями T (g) и T"(g) в и соответственно, т. е. сужениями T g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма Т g) и T" g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы. [c.56]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Пример 9. Пусть N — гладкое многообразие и О — группа Ли, действующая на N. Продолжим действие С на до симплектического действия О на Т М как указано в примере 8. Построенное действие пуассоновское. Это вытекает из линейности функции р-Ух и следующей формулы p Vx, р-иу = [c.98]

Пример. Пусть -многообразие четверок прямых, проходящих через начало координат в С . Группа Ли GL(3, С) действует на С , следовательно, и на многообразии М. Это действие транзитивно на множестве четверок прямых, не лежащих в одной плоскости. Поэтому точка многообразия М, соответствующая такой четверке общего положения, имеет модальность 0. Четверка различных прямых, лежащих в одной плоскости, имеет модальность 1, т. к. для нее имеется инвариант действия группы двойное отношение четырех касательных. [c.17]

Орбиты астероидов Троянской группы представляют пример орбит в окрестности равносторонних треугольных решений. Однако ати орбиты едва ли можно рассматривать как малые колебания относительно точек [c.233]

В качестве важного примера рассмотрим группу невырожденных матриц п X п, которая обычно обозначается GL n). Известные формулы для элементов произведения матриц и обратной матрицы показывают, что GL n) — группа Ли, размерность которой равна и . Вычислим ее алгебру Ли gl n). [c.150]

Это — хорошо известный факт теории групп Ли (см., например, [61]). Проиллюстрируем предложение 2 примером матричной группы GL n). Поскольку каждая группа Ли локально изоморфна некоторой подгруппе GL теорема Адо), то отсюда будет следовать заключение предложения 2 в общем случае. [c.163]

По нашему мнению, в данной работе впервые сделана попытка обобщить и описать указанные вопросы в монографии. Поэтому мы не стремились к возможно более полному охвату темы, а поставили цель ввести читателя в круг идей подхода, находящегося на стыке нескольких математических направлений. Центральное место в книге занимают разделы, в которых развивается метод усреднения Н. Н. Боголюбова. В главе 1 приведены необходимые сведения из теории групп Ли и рядов Ли. Более детальное знакомство с этими фундаментальными понятиями требует, безусловно, обращения к специальным источникам. В главе, посвященной теории декомпозиции систем обыкновенных диф ренциальных уравнений, в известной степени демонстрируется возможность теоретико-группового подхода. Все приведенные в книге основные теоретические положения иллюстрированы примерами. Список библиографии ни в коей мере не претендует на полноту. В основном это работы, в той или иной мере связанные с развиваемым нами направлением. [c.5]

Прежде чем перейти к следующему примеру, сделаем одно замечание. Во многих задачах требуется ответить на вопрос будет ли рассматриваемое движение устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво Первые два примера относились как раз к этой группе задач. Однако, как уже отмечалось ранее, в технике, как правило, встречаются задачи другого плана, а именно известно, что при некоторых значениях параметров системы невозмущенное движение неустойчиво. Ставится задача как следует выбрать параметры системы, чтобы ее движение сделалось устойчивым (или асимптотически устойчивым) Третий пример относится ко второй группе задач. [c.62]

Рассмотрим следующий пример. Проведены наблюдения над двумя группами машин с целью установления времени устранения отказов. В одном случае (п = 23) отказы устранялись специалистами ремонтной мастерской, во втором случае (п = 22) отказы устранялись обслуживающими машину специалистами. Требуется проверить, является ли существенным различие в продолжительности времени устранения отказов в двух группах машин. [c.347]

А всегда ли нужна равнопрочность Оказывается, не всегда. Например, в поршневой группе двигателя она не нужна. Невыгодно выбрасывать весь поршень из-за износа поршневых колеЦ пальцы — с шатунами, топливный насос — с изношенными плунжерами и т.д. Целесообразнее сделать эти детали легкосъемными. Таких примеров много. [c.12]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных а.чгебр и Dg, Приведённый список не полой с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра Z), не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO (4). Однако некомпактная группа SO (1, 3) (Лоренца группа) является простой. Её Л. а. изоморфна si (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а,— уто комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные. [c.584]

Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли (5, задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют нётеровы интегралы (их число равно dim (5), отвечающие левоинвариантным полям симметрий. [c.72]

МОП Кириллова, так как А. А. Кириллов первым использовал ее в своем исследовании представлений нильпотентных групп Ли). Таким образом, орбиты конрисоединенного представления всегда четномерны. Заметим также, что мы получаем серию примеров симплектических многообразий, рассматривая различные группы Ли и всевозможные орбиты. [c.287]

В этом примере листы — орбиты коприсоединенного представления группы Ли в дуальном к ее алгебре пространстве. [c.423]

Гуревич [11] построил пример такого Т, что для функции ф = 0 пе существует равновесного состояния, а исюревнч [13] посгронл такой же пример для диффеоморфизма Т. Условие из 2.19 выполняется для класса отображений, включающего все аффинные преобразования групп Ли [3]. а Мисюревич [13] показал, что равновесные состояния существуют при несколько более слабых условиях. [c.56]

Все приведенные выше соотношения справедливы для групп Ли обш,его положения. Использование конкретных разложений полупростых групп Ли С в виде разложения Гаусса, Ивасава и Картана (см. I. 6) позволяет получить явные выражения для генераторов сдвига в соответствующ,ей параметризации групповых элементов. При этом процедура расчетов и структура окончательных выражений носит в известном смысле рекуррентный характер. Генераторы сдвигов на О записываются через генераторы сдвигов и матрицу присоединенного представления на подгруппах О, содержащихся в соответствующем ее разложении (т. е. максимальных нильпотентных, компактной и абелевой подгруппах О). Техника расчетов является совершенно одинаковой для всех этих параметризаций. Поэтому мы проиллюстрируем ее на примере разложения Ивасава (1.6.9), тогда как для остальных приведем лишь окончательные выражения. Все вычисления для определенности проведем для генераторов левых сдвигов правые находятся аналогично. [c.73]

В качестве примера сплетающих операторов для произволь-нон вещественной полупростой группы Ли приведем их выражения для вещественной формы классического типа AIII, точнее— редуктивной группы U p, q), pl q, отличающейся от SUip, q) только ueHTpo vi. В этом случае интегральная форглула [c.99]

Дело в том, что неизвестно, сохраняется ли модальность при комплексификации. Имеются примеры представлений вещественной группы Ли, для которых модальность точки при комплексификации растет (Э. Б. Винберг). Модальность критической точки при комплексификации не уменьшается (В. В. Муравлев), но неизвестно, может ли она возрастать. [c.36]

Помимо самих алгебр aT, , важными примерами ОЛ-алгебр служат алгебры инвариантов. Рассмотрим два линейных представления компактной или редуктивной группы Ли G. Пусть fix y — G-эквивариантное отображение одного пространства представления в другое. [c.182]

КИМ автоморфизмом. Существует пример аносовского автоморфизма нильмногообразия (т. е. фактора нильпотентной группы Ли по ее дискретной подгруппе), отличного от тора. [c.131]

Существует список стандартных особенностей (таких как полу-кубическая точка возврата и ласточкин хвост в предыдущем примере). Эти особенности (довольно загадочным образом) связаны с геометрией групп, порожденных отражениями. Их можно изучать используя соответствующие алгебраические средства (группы Ли, теорию инвариантов, системы корней, диаграммы Дынкина и т. д.). [c.3]

Пример 3. Сфера С. В оставшейся части этого параграфа мы опишем семейство примеров, построенных С.Латтэ незадолго до его смерти от брюшного тифа в 1918 г. Для данной решетки Л С С построим фактор-пространство — тор Т = С/Л, как в 2 или 6. Поэтому Т является и компактной римановой поверхностью, и аддитивной группой Ли. Заметим, что автоморфизм г —г этой поверхности имеет в точности четыре неподвижные точки. Например, если Л = Ж + тЖ является решеткой с базисом, состоящим из 1 и т, где т Ж, то эти четыре неподвижные точки таковы О, 1/2, т/2 и (1 + т)/2 (тоёЛ). [c.90]

В связи с примером, приводимым Ли ( Основания , 7), укажем еще довольно общий случай, в котором можно добраться до явных формул, в которые входят производные от произвольных функций порядка не выше а стало быть, в этом случае обращение получается полное. Это — такие группы бесконечно малых преобразований, которым соответствует грзшпа всех преобразований х и вытекающих из них преобразований и, т. е, такие [c.621]

II и III классов, но и цепи более высоких классов. На рис. 53 к основному контуру AB DEFGH VIII класса присоединены четыре цепи вида, показанного на фиг. 98 табл. 6, состоящие из звеньев 1, 2, 3 п 4, Т1 одна диагональная цепь IV класса, имеющая замкнутый контур KLNМ и состоящая из звеньев 5, 6", 7 и Эта цень, показанная на рис. 33, имеет степень подвижности w = = —4 и входит в кинематические пары (9,Ли со звеньями 9, К), 11 и 12 основного контура. Число диагональных цепей может быть различным. Покажем это на некоторых простейших примерах групп третьего семейства. [c.234]

Постепенное изменение сложившихся взглядов на содержание стандартов на детали машин можно показать на примере стандартов на часто сменяемые детали тракторов и автомобилей и их двигателей. Психологический фактор здесь проявлялся следующим образом. Можно ли, например, установить стандарт размеров на поршневой палец, являющийся массовой деталью многоотраслевого применения Казалось бы, можно построить размерный ряд поршневых пальцев с двумя главными размерами — диаметр и длина — и несколькими дополнительными размерами. Однрко практика подсказывает, что такая размерная стандартизация еще не будет жизненной, ибо условия выбора конструкции и размеров поршневых пальцев зависят от многих факторов. К числу их относятся особенности рабочего цикла двигателя или компрессора, число оборотов, степень сжатия, рабочая температура, заданная долговечность шатунно-поршневой группы, материал и термообработка, посадка пальца, конструкция-пальца и его крепление, режим работы двигателя или компрессора и т. д. Поэтому стандартизованный размерный ряд поршневых пальцев будет носить только формальный характер. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...