Свойства непрерывных отображений

Свойства непрерывных отображений 25 Связь антисимметричного тензора второго ранга и аксиального вектора в трехмерном пространстве 104, 183 [c.490]

При построении ПТ по методу (2.33) условие (2.34) будет выполнено, если оператор А удовлетворяет следующему свойству непрерывности из малости г, —следует малость —<7° , где г° = Ф (до), q = А q°, г). Поскольку А [q°, Ф q°) = q°, то для того чтобы оператор А обладал сформулированным свойством, нужна непрерывность А по г . Однако для ряда промышленных роботов оператор А не является непрерывным по г. Причиной этого является слишком широкая область задания оператора А, поэтому при построении ПТ приходится использовать лишь небольшую часть области задания А. Отметим, что метод построения ПТ в виде (2.33) достаточно общий. В качестве оператора А в нем может быть использовано отображение, индицируемое любым алгоритмом решения уравнения (2.1) по начальному приближению. В частности, здесь можно использовать оптимизационные алгоритмы вида (2.22)—(2.26). [c.49]

Связь между понятиями топологической энтропии и энтропии относительно инвариантной меры более полна и точна, чем для таких пар понятий, как рекуррентность орбит — типичное относительно инвариантной меры возвращение, топологическая транзитивность — эргодичность, минимальность — строгая эргодичность, топологическое перемешивание — перемешивание. Для этих случаев данная связь односторонняя статистическое свойство влечет топологический аналог, но, вообще говоря, не наоборот. В случае энтропий связь между ними описывается вариационным принципом (теорема 4.5.3), который утверждает, что топологическая энтропия непрерывного отображения равна точной верхней грани энтропий этого отображения по всем инвариантным мерам. Таким образом, не только статистическое свойство (скажем, положительность энтропии относительно инвариантной меры) влечет топологический аналог (в этом случае положительность топологической энтропии), но и наоборот, из положительности топологической энтропии следует существование инвариантной меры с положительной энтропией (это свойство представляет собой количественное усиление теоремы Крылова — Боголюбова 4.1.1 для случая отображений с положительной топологической энтропией). [c.170]

После краткого обсуждения понятия степени для отображений окружности мы дадим два определения степени гладких отображений и элементарные доказательства основных свойств, использующие лишь один фундаментальный результат из дифференциальной топологии — теорему Сарда П 3.14. Затем определения распространяются на произвольные непрерывные отображения посредством гладкой аппроксимации. Наиболее общее определение понятия степени использует теорию гомологий, основы которой рассматриваются в 7 приложения. [c.317]

Поскольку л — представление, а ад —Йорданов -автоморфизм, для всех самосопряженных элементов Л е8 справедливо равенство я [Л] Яд [Л] = Яд [Л-]. Правая часть выписанного выше равенства стремится к нулю, если элемент g стремится к единичному элементу группы О, поскольку при всех А отображение Яд [Л] слабо непрерывно. Это доказывает, что Яд[Л]Ч сходится в сильной топологии к я(Л) , когда элемент д стремится к единичному элементу группы С при всех Ж и всех Л е 91. От требования Л е 91 нетрудно отказаться, если учесть, что отображение я линейно и каждый элемент из О можно представить в виде конечной линейной комбинации элементов из 21. Наконец, пользуясь групповым свойством, мы можем распространить на любой элемент д топологической группы б свойство непрерывности, доказанное до сих пор лишь для д = е. Итак, лемма доказана. [c.210]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Два пространства X, Y наз. топологически эквивалентными, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (гомеоморфизма) f-.X Y и g Y- X, g f x )) = x, f g(y)) y. По определению. все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые топологическими инвариантами, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем) примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является размерность (разл. варианты её определения см. [5]). [c.143]

Известно, что предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомеоморфизмами, т.е. взаимно однозначными и непрерывными в обе стороны отображениями. Используя прием идеализации окружающего нас материального мира, мы можем рассматривать топологию выделенных в нем некоторых объектов исследования, наделенных конечной совокупностью свойств. [c.13]

В силу общих свойств течений идеального газа производные от р, вообще говоря, могут претерпевать разрывы первого рода или обращаться в бесконечность (например, в точках бесконечной кривизны скачков). Эти разрывы могут распространяться как вдоль линий Маха, так и вдоль линий тока. Поэтому производные в (1) следует понимать как обобщенные, т.е. предполагать, что они существуют почти всюду в V и что р х,у), 3 х,у) не только непрерывны, но и абсолютно непрерывны по одной переменной почти при всех значениях другой. Кроме того, будем предполагать, что первые производные р, /3 локально суммируемы с квадратом (это обусловлено применением теории квазиконформных отображений, хотя и не имеет ясной физической интерпретации). [c.182]

Таким образом, мы получаем топологическое отображение канонических окрестностей Н и Н, обладающее указанными в лемме свойствами (взаимная однозначность и непрерывность этого отображения на границе смежных областей / г и /г и соответственно Л н обеспечивается условием 2). Теорема доказана. [c.355]

Позже мы увидим, что если В является кривой класса С, то в этих координатах отображение / принадлежит классу С для любого к, 1 А оо. Если кривая В строго выпукла, т. е. не содержит отрезков прямых, то отображение / продолжается по непрерывности до М на обе компоненты границы цилиндра. Пусть /(в, в) = (3(в, в), 0(в, 0)). Непосредственное вычисление 5 и — вполне возможная, но довольно неприятная процедура. К счастью, для того чтобы понять динамику биллиардного отображения, нет необходимости проделывать это вычисление. Укажем на два важных свойства отображения /. [c.346]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

Так как сказанное выше верно для, найдется слой (3 расслое ния в шаре Bq, который обладает тем же свойством. Так как слои 8 и 3 трансверсальны в Во, существует точка пересечения z = 8 П (3, единственная в е-окрестности центра шара Во- Гомеоморфизм к из теоремы Аносова мы определим, положив к т) = фг. Нетрудно доказать, что все конструкции непрерывно зависят от точки ш следовательно, к — гомеоморфизм. Отношение (р к = к (р очевидно, как и то, что к е-близок к тождественному отображению. [c.207]

Обход вдоль петли у, по свойству накрывающей гомотопии, порождает непрерывное семейство отображений такое, что Го=1(1 V,- V,. Оказывается, что семейство может быть выбранным согласованно со структурой прямого произведения dV—dV,y T, поэтому будем считать, что отображение h = T V,- V, тождественно на краю dV, неособого множества уровня V,. [c.55]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение f локально взаимно однозначно в плоской области D всюду, кроме изолированных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно однозначное преобразование D, которое преобразует f в аналитическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смысле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их якобиан g (л - - у) (х — у) может менять знак [c.73]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Определение топологической степени основано на следующем свойстве непрерывно дифференцируемых отображений, которое также прдставляет самостоятельный интерес и имеет многочисленные применения в анализе [c.245]

Таким образом, последнее свойство, установленное в п. (ii), показывает, что отображение ф Q->-компактных множествах. Тот факт, что сужение ф на Q является -диффеоморфизмом множеств й и ф(й), вытекает из теоремы о сохранении области (теорема 1.2-5). [c.255]

По самому построению циклические представления 2Вф, полученные в теореме 7, обладают тем свойством, что отображения Я е К -> 7 (Я/) е 58 и Я е К -> 7 (Я ) е 23 непрерывны в сильной операторной топологии для любых фиксированных функций I п д из ё . Как мы только что заметили, топологию в пространстве ё можно вводить по своему усмотрению. Нужно лишь выяснить, нет ли какой-либо топологии, более естественной, чем другие, и если это так, то можно ли получить какие-либо результаты, рассматривая пространство снабженное наиболее естественной топологией. В этой связи Хегерфельдт и Клаудер [169] ) доказали ряд интересных результатов, на которых мы сейчас очень кратко остановимся. Метрика, определяемая соотношением [c.313]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Требование непрерывности, сформулированное выше по отношению к оператору А, в полной мере относится к оператору /Iq. Что же касается свойства псевдообратности Лд, то здесь возникают некоторые осложнения. Дело в том, что это свойство зависит от множества Q и D. Оказывается [68], что необходимым условием псевдообратности оператора /4[c.49]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

В большинстве случаев преобразования, входящие в ДС, образуют однопараметрич. группу Г . Параметр t, интерпретируемый как время, обычно принимает любые действительные или любые целые значения. В первом случае говорят о ДС с непрерывным временем (потоке), во втором — о ДС с дискретным временем (каскаде). Иногда t принимает лишь неотрицат. значения и Т является не группой, а полугруппой преобразований. (В этом случае иногда употребляют термины п о л у п о т о к и п о л у -каскад .) 11)упповое свойство системы 7 выражается тождеством Т Т х= Т х, справедливым для любого хеХ и любых двух значений параметра. Вследствие группового свойства каскад Т полностью определяется преобразованием Т= Т и часто отождествляется с ним. Инвариантность меры(1 означает, что для любого множества и любого г О выполняется равенство i(T A)= = ц(/1), где Т А= Т ) Ы = хеХ Т хе А — полный прообраз множества А при отображении Т . [c.625]

Иногда рассматривают кусочно-монотонные отображения более общего вида, когда число отрезков монотонности бесконечно, а производная может в отд. точках принимать значения 1 и —1, Самый известный пример этого рода—преобразование Гаусса, определяемое на отрезке [О, 1] ф-лой 73с = Рг(/(д )), где f x) = jx при и/(0) = 0. Тем самым Тк= х—пари l/(/i+l) 1 являются точками разрыва и, кроме того, / ( ) = Если преобразование из первого примера было связано с разложением в двоичную дробь, то для преобразования усса ту же роль играет разложение в непрерывную (или цепную) дробь пусть x=gi(x), gzix),. .. — такое разложение для л е 0, 1) тогда, как и в первом примере, g (7x)=g +, (х), п=1, 2,. ... Преобразование Гаусса существенно отличается по форме от первых двух примеров. Однако порождённые ими ДС имеют сходные эргодич. свойства по отношению к естественным инвариантным мерам. В первом и втором примерах такой мерой является обычная длина (мера Лебега), а в третьем — вероятностная мера ц, к-рую можно задать нек-рой плотностью (т. е. n(dx)=p(x)dx). Инвариантность меры относительно преобразования Гаусса приводит к равенству р(л)=((1+дг) п2)- [c.634]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Угол наклона характеристики в плоскости 1пЛ,/3 определяется как 7 = = ar tg[(9/3/dsi) / д In A/9si)]. Поскольку на рассматриваемом куске физической плоскости /3 = /3(si), Л = A(si) —непрерывно дифференцируемые функции, то угол 7 = 7(si) непрерывен вдоль характеристики, т.е. характеристика в плоскости Л/3, понимаемая как кривая, параметризованная длиной дуги Si в физической плоскости, — либо гладкая кривая, либо имеет точки возврата. Но последнее, в силу (24), может быть только в тех точках, где dpo/dxj = 0. Таким образом, получим, что (Л,/3) — образ характеристики существенно вихревого течения — гладкая кривая (в области кусочной гладкости течения). Если в ней риманова поверхность отображения (ж, у) (Л, /3) неоднолистна, то край складки — огибающая характеристик обоих семейств. (Из этого свойства легко получить связь между производной dpQ/dxjj и градиентом скрости на краю складки.) [c.35]

Введение криволинейных координат (рф определяет в каждой подобласти абсолютной непрерывности Р, X, ро Ф) отображение (х,у) для которого в 5 гл. 1 было отмечено свойство локальной однолистности при О < М < ос. [c.192]

Многае из свойств ГПС, создают благоприятные условия для повышения производительности, надежности, ритмичности вьшуска продукции и снижения стоимости ДС. К ним относятся гибкость, мобильность, непрерывность, цешрализация. С другой сгороны, ДС повышает надежность, живучесть, обоснованность и категоричность принимаемых решений Применению ДС способствует наличие в ГПС многоуровневой системы управления, включающей, ]фоме ЭВМ, средства отображения информации,, а также квадифицирован-ный персонал. [c.415]

Сделаем прежде всего несколько замечаний по поводу перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем считать, что радиус-вектор Q может принимать кроме нулевого и положительных также и отрицательные значения. Кроме того, мы будем рассматривать q и 6 ие только как полярные координаты точки М х, у) на плоскости (ж, у), а так же как декартовы координаты на плоскости (q, 6). В этом случае формулы (3) определяют однозначное непрерывное отображеиио плоскости (q,. 0) на плоскость (ж, у). Это отображение, очевидно, не является взаимно однозначным и обладает следующими свойствами [c.167]

Эти функции однозначны и непрерывны и задают отображение области g на g Покажем, что отображение, заданное зтими функциями, взаимно однозначно. Для доказательства предположим противное, т. е. что двум различным точкам (х , и х2, 2) соответствует одна и та же точка Но в силу свойств функции у (х) [c.547]

Доказательство. Пусть У — множество, обладающее такими же свойствами, как и У. Рассмотрим шар В с V П У, содержащий х . Достаточно показать, что йед(г д) = deg(г) ,), поскольку тогда и с1ед( у.д) = = deg(г) V,,). Заметим, что для данного В отображение ад А =У В- -+ 5" , x - 11 , корректно определено и непрерывно и что по предложению 8.2.18 deg(гy a ) = 0. Далее, граница ЗА равна объединению дУ и дВ, где последняя граница берется с ориентацией, противоположной индуцированной. Таким образом, aeg(v ,) — deg(v д) = deg(гy aд) =0. [c.325]

Приведём теперь ещё один набор достаточных условий инъективности отображения ф которые, по существу, сводятся к тому, что ф должно сохранять ориентацию й и совпадать на границе dQ с непрерывным инъективным отображением фо Как уже отмечалось, локальная обратимость является простым следствием свойства сохранения ориентации, установление же глобальной обратимости при наличии этого свойства намного труднее. Доказательство глобальной обратимости требует значительно более тонких методов, которые существенно опираются на свойства топологической степени ( 5.4). Напомним, что равенство int й = й, являющееся одним из предположений следующей теоремы, имеет место, когда й — область, однако может не быть справедливым для открытых множеств более общего вида (упражнение 1.7). [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...