Задача трех тел пространственная

Рассматривая пространственные симметрические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия, Ю. Д. Соколов установил, что, за исключением легко интегрируемого случая / (г) = Аг, единственно возможными видами таких движений являются указанные П. В. Воронцом вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси симметрии и оси, па-раллельной основанию, а также плоское движение с осью симметрии в соответствующей плоскости. Им исследованы плоские и пространственные томографические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия. В частности, он доказал невозможность гомографического движения для степенного закона взаимодействия, отличного от закона Ньютона. [c.111]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Пространственная ограниченная задача трех тел. В предыдущих трех параграфах мы ради простоты ограничились случаем, когда движение обоих притягивающих центров и их спутника происходит в одной и той же плоскости. [c.259]

Непосредственным обобщением этой задачи является ограниченная пространственная круговая задача трех тел , о которой мы говорили в 2. [c.259]

Изучение этого плоского движения составляет несколько более простую задачу, называемую плоской задачей трех тел, дифференциальные уравнения которой получаются из дифференциальных уравнений общей (пространственной) задачи трех тел при условии, что во все время движения положение плоскости треугольника, образованного тремя точками, Мо, Мь Мг, ие изменяется, т. е. что мы имеем [c.745]

Количественный анализ, выполненный В. А. Егоровым, показал, что достаточно точное определение параметров энергетически оптимальных пространственных траекторий и достаточно точная оценка влияния ошибок в начальных данных на решение конечной задачи могут быть сделаны в рамках ограниченной круговой задачи трех тел без учета притяжения Солнца и других планет, а также без учета на первом шаге эллиптичности лунной орбиты. [c.746]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

Существенные результаты по устойчивости решений гамильтоновых систем, к которым относится и ограниченная круговая задача трех тел (плоская и пространственная), принадлежат [c.846]

В ограниченной задаче движение двух тел с конечными массами Ш], и ГП2 относительно их барицентра считают известным, требуется определить движение тела с бесконечно малой массой тпъ. Для определенности будем полагать, что тъ Ш2<-гп. Если тела гп ж М2 с конечными массами движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, то имеет место круговая ограниченная задача трех тел. Эта задача может быть плоской, если все три тела движутся в инерциальном пространстве в одной плоскости. Таково, например, движение КА в плоскости эклиптики под воздействием Солнца и Земли, Пространственная задача возникает в том случае, когда плоскость движения тела бесконечно малой массы тъ не совпадает с плоскостью движения тел Ш], и М2. Примером пространственной круговой ограниченной задачи трех тел может служить движение КА под воздействием Земли и Луны при условии, что плоскость его движения не совпадает с плоскостью орбиты Луны (эта орбита предполагается круговой). [c.208]

Если тело М2 движется относительно Ш], по эллиптической орбите, то возникает эллиптическая ограниченная задача трех тел (плоская или пространственная). Соответственно мошно рассматривать также гиперболическую параболическую и прямолинейную ограниченные задачи трех тел. [c.208]

Итак, при использовании канонических единиц уравнения движения точки тъ в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел имеют такой вид [c.218]

Рассмотрим теперь с точки зрения понижения порядка задачу трех тел, имеющую (в пространственном случае) 9 степеней свободы. Покажем, что с помощью шести интегралов им- [c.112]

Рассмотрим более детально строение отображения энергии-момента для натуральной механической системы М, <, >, V) с группой симметрий О мы не будем предполагать, что действие О на Л1 свободное. Введем множество Л, состоящее из точек хШ, для которых стационарная подгруппа О, (множество таких что х)=х) имеет положительную размерность. Множество Л замкнуто в М. Например, в пространственной задаче трех тел Л состоит из троек точек, лежащих на одной прямой. В плоской задаче Л сводится к единственной точке г1=г2=гз=0 (мы считаем, как обычно, что барицентр совпадает с началом системы отсчета). [c.117]

В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом. [c.122]

Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства в смысле жры Лебега) начальных условий при всех ц из области устойчивости в первом приближении (значения и исключаются). [c.134]

Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел 1) при достаточно малых значениях треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если [c.147]

Отметим, что так как в функцию (3.1) пространственные переменные входят только в четной степени, то число к , входящее в выражение для г, таково, что равен нулю или двум. Если Лз = О, то внутри области устойчивости в первом приближении г может быть целым числом на резонансных кривых третьего порядка, которые соответствуют плоской задаче трех тел. Эти кривые представлены на рис. 14. [c.176]

В настоящей главе рассматривается задача о построении и устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке. При изложении результатов мы следуем работам [68, 69]. [c.206]

Таким образом, общая задача трех тел, описываемая девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. порядок системы понижается от 18 до 6. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел. Из приведенных выше рассуждений становится понятным, почему пространственной и плоской ограниченной круговой задаче трех тел было посвящено большое число аналитических и численных исследований, хотя при такой постановке задачи мы волей-неволей лишаем себя воз.можности использовать десять известных интегралов движения. Однако при этом можно найти новый интеграл (впервые полученный Якоби), который будет полезен при исследовании поведения малой частицы. [c.146]

Число неизвестных, подлежащих определению при решении задач о равновесии тела, подверженного действию совокупности сходящихся сил, не должно превосходить числа уравнений, т. е. двух для плоской и трех для пространственной системы. [c.33]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

Движение системы трех материальных точек, при котором образованный этими точками треугольник остается все время равнобедренным, впервые было исследовано Д. Н. Горячевым . Существование аналогичных пространственных движений с осью и плоскостью симметрии, а также плоских движений с осью симметрии в плоскости движения в классической задаче трех тел было установлено Э. Франсеном [c.110]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Е. Егервари указал новый случай интегрируемости в плоской задаче трех тел, который встречается тогда, когда отношение главных моментов инерции системы остается постоянным, массы точек равны и взаимодействие между ними происходит по закону / (г) = Аг Вг . Новый интеграл пространственной задачи трех тел, независимый от десяти классических при том же законе взаимодействия в случае равных масс нашла Л. А. Га-зархи [c.111]

Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров Ai, т ) и (Лз, апз) nii <С щ) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении. На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (Miele). [c.259]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

В 13 гл. VIII мы получили дифференциальные уравнения пространственной круговой ограниченной задачи трех тел в следующей форме [c.544]

Птак, для устранения множителя А необходимо произвести еще одно понижение порядка системы Гамильтона с помощью интеграла площадей. Для этого определим такое капопическое преобразование, которое вводит Q как новое независимое неременное. Такой переход бьш осуществлен еще Якоби для пространственной задачи трех тел, где эта операция именуется исключением узлов. Чтобы пояснить идею, рассмотрим произвольную систему Гамильтона Хк = Ну,, ук = с неизвестными функциями Хк, Ук к = 1, , п) п иредноложим, что существует интеграл ф х, у), не содержащий 1. Введем посредством порождающей функции ъи = ъи С, у) с помощью равенств (3 4) подстановку [c.158]

В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном w-й степени расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. М. Ляпуаовл опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометричв ская интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче. [c.124]

В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел S ж J предполагается круговой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и /. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только е = О, а координата и импульс Рз нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия = Рг = О в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5. [c.132]

Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело Р бесконечно малой массы будет образовывать с телами конечных масс 8 и I треугольник, близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам, движение тела Р будет условнопериодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение тела Р для начальных условий, соответствуюпщх соизмеримым (или почти соизмеримым) частотам [c.135]

В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность имеет место тождественный (т. е. существующий при всех е и [д.) резонанс, возникающий из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел 8 ж I ч периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по направ.т1ению, перпендикулярному плоскости их орбиты. [c.173]

Под фазовым пространством подразумевается 6/1-мерпое пространство, образованное 6 координатами и скоростями п тел. В общей задаче а тел эти 6л величин удовлетворяют 10 интегральным соотношениям, поэтому размерность фазового пространства можно понизить до (6 — 10). В трехмерной (пространственной) ограниченной задаче трех тел координаты и компоненты скоростей частиц связаны между собой интегралом Якоби и размерность фазового пространства можно уменьшить до пяти. Если траекторию частицы ограничить плоскостью орбит двух массивных тел, то размерность фазового пространства уменьшается до трех. [c.160]

Остается определить те решения задачи трех тел, для которых предположение i(i) ф onst для натуральных гамильтоновых уравнений предыдущего параграфа нарушается. Это обязательно будет в случае плоского решения, так как тогда i(i) = = onst = 0. Однако плоские решения можно не рассматривать, так как для них можно получить (см. 399) гамильтонову систему в том же виде, но где роль независимой переменной играет t, а не I, и функция Гамильтона консервативная. Однако равенство i(i) = onst может иметь место также и для некоторых неплоских решений. Действительно, на основании изложенного в 346 легко установить, что наклонность i постоянна и равна /гЯ для обоих типов (i), (и) пространственных равнобедренных решений. Насколько можно судить по известным в настоящее время [c.421]

Наконец, апеллируя к точно решаемой задаче двух тел, мы вынуждены (на первых порах) отказаться от рассмотрения пространственно неоднородных систем, так как включение поля V(г) преврашает задачу о столкновении двух частиц в нерешаемую задачу трех тел. Таким образом, если мы и будем писать J l = J l(i,г, р) вместо 1 = 1(<, р), то будем это делать скорее в силу психологической инерции, считая г некоторым параметром, характеризующим, например, плотность числа частиц в данной макроскопической области системы. [c.313]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...