Неподвижная точка (точечного

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Но тогда при R ф I и Y О одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [121 на полупрямой > О, дг = О существует единственная неподвижная точка точечного отображения Т ,. Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора). [c.187]

Точка X является его неподвижной точкой. Особенностью отображения (4.21) является неотрицательность его якобиана, и позтому характеристическое уравнение неподвижной точки не может иметь нечетного числа отрицательных корней. Более того, при т = 0 отображение (4.21) —тождественное, и все корни его характеристического уравнения равны +1. Отметим, что между корнями 1, Хг,. .. характеристического уравнения состояния равновесия и корнями 21, 2г,. .., характеристического уравнения соответствующей неподвижной точки точечного отображения име- [c.117]

Так как рассматриваемая система гамильтонова, то при движении фазовых точек сохраняется фазовый объем, и отображение Т секущей 0 = 0 сохраняет площадь. Следовательно, характеристическое уравнение любой неподвижной точки точечного отображения секущей 0 = О в себя имеет вид [c.197]

Периодическое движение системы характеризуется числом п попаданий представляющей точки на поверхность Г за период колебаний. Это движение называется я-ударным периодическим движением. Ему соответствует неподвижная точка точечного отображения [c.37]

Пусть рассматриваемой замкнутой траектории Ьо соответствует неподвижная точка точечного отображения =/( ). Рассмотрим последовательные точки пересечения с дугой I какой-нибудь траектории Ь, отличной от Ьо и проходящей через достаточно близкую к Ьо точку. [c.96]

Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения. I. Неподвижная точка s точечного отображения s =/(s) устойчива, если [c.97]

Рассмотрим так называемую диаграмму Ламерея именно, рассмотрим вспомогательную плоскость (s, s), на ней график функции s = f s) и биссектрису s = s (рис. 60). Точки пересечения кривой с биссектрисой s = s, очевидно, соответствуют неподвижным точкам точечного отображения s = /(s). [c.97]

Замечание 3. Последнее условие обусловлено тем, чтобы периодические орбиты, пересекающие плоскость д = до, вообще говоря, в двух точках, были бы неподвижными точками точечного отображения х = хо, п = 1,... (см. рис. 4). [c.56]

В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи и для резонансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Четаева о неустойчивости. [c.13]

Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые г = г ( ) и = г 1 ( ) (если по оси ординат откладывать не г и г 1, а и г ,, то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зада- /и =г11 Г)Ц-1) димся любым V (на рис. 147 для определенности взято г г ) по прямой (3.43а) определим и затем по прямой (3.436) определим по как по новой, исходной точке преобразования найдем и и т. д. Построенная лестница Ламерея сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая г/ = [c.221]

Будем называть неподвижную точку точечного преобразования устойчивой, если существует такая ее окрестность (е ), что все по- [c.332]

Таким образом, существует только одна точка пересечения кривых 5 = 5(5 ) и 51 = 51(5 ) — одна неподвижная точка точечного преобразования П, причем для этой точки [c.516]

Диаграмма Ламерея для случая 1 и любых Аа О изображена на рис. 368, т. е. и при этих значениях параметров А,, Аа имеется единственная и устойчивая неподвижная точка точечного преобразования П. [c.527]

Доказательство существования, единственности и устойчивости неподвижной точки точечного преобразования полупрямой 5 в полупрямую 5 полностью аналогично доказательству,проведенному в первом разделе настоящего параграфа. [c.599]

Неподвижная точка (точечного преобразования) 148, 149, 150, 152 [c.390]

Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования. [c.440]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Если для точечного отображения воспользоваться выражениями (4.11), то процедуру отыскания неподвижных точек полного отображения T=Ti-T2 можно свести, аналогично случаю фазовой плоскости, к некоторым геометрическим построениям. Для этого рассмотрим трехмерное пространство F с декартовыми координатными осями Ох, Оу, Oz. Соотношения (4.11) определяют в этом пространстве уравнения поверхностей = Pj (х, у ), у = [c.79]

Возможные виды точечного отображения в окрестности неподвижной точки такие же, как и для особых точек дифференциального уравнения, и все сказанное выше о них применимо и к неподвижным точкам. Дальнейшее рассмотрение этого точечного отображения Т проведем независимо от его происхождения. Введем координаты х , J j,. ... .., Jf -i и запишем точечное отображение Т в виде [c.248]

Исследование бифуркаций периодических движений несколько сложнее, чем состояний равновесия, и получаемые при этом результаты многообразнее. Прежде всего заметим, что изучение части из них может быть сведено к исследованию бифуркаций неподвижных точек преобразования. Это те бифуркации, при которых точечное отображение Т секущей S продолжает существовать в некоторой фиксированной окрестности неподвижной точки О, несмотря на бифуркацию периодического движения (рис. 7.10), [c.257]

Бифуркации неподвижных точек преобразования во многом аналогичны уже описанным бифуркациям состояний равновесия. Пусть точечное отображение Т записано в виде [c.257]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

Выше была рассмотрена зависимость поведения сепа-ратрисных кривых Si и Sr седловой неподвижной точки точечного отображения от параметров. [c.373]

Введение функции последования позволяет для формулировки вопросов устойчивости и неустойчивости замкнутой траектории использовать вопросы устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения = / (я). [c.96]

В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины Лг связаны резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим применением теоремы 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу- [c.117]

Напомним, что основные понятия метода точечных преобразований (понятия функции последования, неподвижной точки точечного преобразования и ее устойчивости) были сформулированы в 7 гл. V. Там же была дана и теорема Кенигса об устойчивости неподвижной точки. [c.504]

Ясно, что устойчивому предельному циклу соответствует устойчи неподвижная точка точечного преобразования. Это соответствие являе взаимным. [c.150]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окрун<ности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...