Множество критическое отображения

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

В пересечении Ш выделяется еще гиперповерхность (коразмерности 3 в X), в точках которой ограничение симплектической структуры X на IV вырождается. Эту гиперповерхность 1, в IV можно также определить как множество критических точек сквозного отображения IV У В (или, по желанию, IV О. г С). Введенные объекты образуют коммутативную диаграмму [c.439]

Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой. Каустики эквивалентных отображений диффеоморфны. [c.449]

Определение. Полярной кривой (/) функции f (С", 0)- -(С, 0) относительно линейной функции хв (С", 0) ->(С, 0) называется множество критических точек отображения (/, ш) (С", 0) (С2, 0). [c.81]

Теорема. Множество критических значений гауссова отображения типичной гиперповерхности в пространстве размерности локально диффеоморфно каустике группы евклидовых отражений Л , или Эти особенности устойчивы гауссовы отображения близких гиперповерхностей локально эквивалентны указанным. [c.104]

Множества критических значений этих отображений являются гиперповерхностями в пространстве значений F. Предположим, что точка из этого пространства не является критическим значением отображения Fx- В этом случае многообразие Va, , задаваемое уравнением Fx = , в пространстве (ж, ) является гладким. Если не является критическим значением Ff, то Va, трансверсально пересекает гиперплоскость = О вдоль гладкой гиперповерхности С Va . [c.179]

Определение. Бифуркационной диаграммой нулей проектирования называется росток в начале координат множества критических значений ограничения отображения (х,и. А) ь4 (и. А) на росток многообразия W. [c.191]

Множество критических значений второй канонической проекции является гиперповерхностью SJ дM, R), определённой над дМ уравнением Гамильтона-Якоби = 1. Таким образом мы получили вложение SJ дM, R) W (естественный диффеоморфизм на Е) и отображение ехр SJ дM, К) ЗТ М (по существу, зто отображение совпадает с отображением ехр, определённом в примере перед теоремой 3). [c.213]

Лемма 14.3.3. Если / [0,1]-+ [О, I] — -отображение и образы I попарно не пересекаются, то множество ш -предельных точек I содержит критическую точку. [c.465]

Доказательство. Если а е , то г (х) удовлетворяет условию (15.5.2), так что гf x) = i (y) для некоторой точки у 1 и очевидно, что у 6 Сд, следовательно, точка у определена однозначно (так как некоторая степень отображения д переводит 1 у) в критическую точку, в силу кусочной монотонности существует лишь одна точка). Таким образом, по лемме 15.5.4 отображение к(х) = у корректно определено и монотонно. Очевидно, Но/(х)) = (док(х)), так что Ьо/=ро/г на Су. В силу монотонности / продолжается до С (11. Если (а, Ь) — компонента связности множества / Су и С = 1, то Л(а) = к(Ъ) и для х 6 (а, Ь) можно положить к(х) = к(а). Тогда функция к I I монотонна и к о / = д о к. [c.517]

В частности, критические значения 2 отображения энергии-момента войдут в 2. Однако з общем случае множество [c.116]

Если зафиксировать малую окружность вокруг критического значения, каждой точке окружности соответствует неособое многообразие уровня функции. Множество всех таких уровней образует расслоение над окружностью. Обход вдоль окружности определяет отображение гомологий слоя этого расслоения в себя. Это отображение называется монодромией, соответствующей критическому значению особенности. Оно н является аналогом перестройки в теории Морса. [c.52]

Сопоставим точке A, базы версальной деформации полином степени [х, корнями которого является ц критических значений функции F -,K) с учетом их кратностей. Тем самым определено отображение Р базы Л в пространство О, которое отображает гиперповерхность S в дискриминант А с (множество полиномов, имеющих кратные корни). Дополнение С ХД является пространством i (n, 1) с фундаментальной группой, изоморфной группе кос Вг(ц) из ц нитей (пример п. 5.4). [c.139]

Пусть координатная функция Xq на общего положения. Рассмотрим отображение ф=(/, а о) (С + , 0)- -(С2,0). Пусть Г — объединение компонент критического множества ф, не входящих в If. А=ф(Г). [c.73]

Критические значения нормального отображения называется фокальными точками системы лучей. Их можно описать сак точки пересечения бесконечно близких лучей . Все вме- те они образуют фокальное множество системы лучей, назы->аемое также ее каустикой — это огибающая системы лучей. [c.103]

В этом случае всякая компонента множества A(R) под действием некоторой итерации переходит в компоненту типа а). Необходимое и достаточное условие для гиперболичности состоит в следующем итерации любой критической точки отображения R сходятся к некоторому притягивающему циклу. [c.225]

Лемма. Характеристики послойно выпуклой гиперповерхности, содержащей оптическое лагранжево подмногообразие, не касаются критического множества лагранжевой проекции. В точках гладкости критического множества определено касательное поле направлений оно совпадает с полем ядер лагранжева отображения в точках типа 3. [c.50]

Таким образом, каждое невырожденное дифференцируемое отображение одномерного многообразия конформно. В случае размерности два рассмотрим сферу 3 как сферу Римана, т. е. как комплексную плоскость С с одной добавленной бесконечно удаленной точкой. Тогда любая голоморфная функция / 3 — 3 , т. е. любая рациональная функция комплексной переменной г, является конформным отображением, хотя, быть может, и с критическими точками. В этом частном случае, однако, понятие конформности может быть перенесено и на критические точки. Конечно, весь комплексный анализ опирается на факт конформности голоморфных функций конформность здесь приводит к значительно большей жесткости, чем в одномерном действительном случае. Применимость высокоразвитых инструментальных средств анализа функций одной комплексной переменной делает комплексную динамику весьма интересной темой. В случае размерности выше чем два множество конформных отображений очень невелико, что отражает еще большую жесткость конформной структуры. В то время как это обстоятельство имеет далеко идущие геометрические следствия (жесткость по Мостову и т. д.), многомерные конформные структуры играют весьма ограниченную роль в традиционной теории динамических систем. [c.387]

В последней, четвертой главе описаны топологические характеристики особых множеств гладких отображений классы когомологий, двойственные к, множествам критических. точек и нерегулярных значений инварианты отображений, определяемые этими классами структура пространств отображений, не имеющих особенностей того или иного типа. По-видимому, впервые. приводится конструкция характеристических классов слоений при помощи универсальных комплексов особенностей и мультиособенностей, а также вычисление фундаментальной группы пространства функций с особенностями не сложнее и топологии дополнений к раскрытым ласточкиным хвостам. [c.10]

На рис. 40 показана реализация сборки Уитни как особенности проектировалия поверхности yi=xi - -xiX2 из трехмерного пространства на плоскость. Выделены множества критических точек и критических значений этого отображения. Во всех критических точках, кроме начала координат, — особенность типа складки. [c.157]

Критическое и дискриминантное множества. Критическое множество z ростка отображения f ( ,0)- - -(СР, 0), п р, — это росток множества тех точек, где ранг дифференциала f меньше р. Дискриминант Д ростка f — множество его критических значений A= f ) z P. [c.27]

Определение. Бифуркационной диаграммой нуле дискриминантом) 2 z проектирования f называется роете в О множества критических значений отображен х. и.к)>- и,Х), ограниченного на росток многообразия F==( [c.58]

Выберем типичную точку Л (вблизи начала координат) и рассмотрим типичную комплексную прямую, проходящую через некритическую точку Прообраз этой прямой (при отображении Fд) есть гладкое многообразие, размерность которого равна размерности плюс 1. Это многообразие содержит гиперповерхность = О (являющуюся прообразом той же самой прямой при отображении Fд). Предположим, что наша прямая трансверсально пересекает множество критических значений отображения Рх в а точках и множество критических значений отображения в а° точках (все пересечения — типичны). Переместим точку в эти критические точки вдоль непересекающих-ся путей (так делается всегда при определении отмеченных базисов, см. [44] и рис. 89). [c.180]

Каустика этого лагранжева отображения цилиндра имеет две компоненты. Одна из них является образом множества особых точек ла гранжева многообразия, другая — множеством критических значений проектирования. Из предыдущих теорем вытекает [c.265]

Теорема. Гиперболические отображения. Рациональное отображение степени (1 2 динамически гиперболично тогда и только тогда, когда замыкание посткритического множества Р отображения / не пересекается со своим множеством Жюлиа или тогда и только тогда, когда орбита каждой критической точки сходится к притягивающей периодической орбите. На самом деле, если / гиперболично, то каждая орбита в его множестве Фату должна сходиться к притягивающей периодической орбите. [c.240]

В работе [531] на примере отображения (4.50) с Ь = О показано, что при критическом значении К, равном единице, области значений Q, где W = p/q, образуют канторовское множества с фрактальной размерностью d = 0,87. [c.261]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Xi = n(D,). Утверждается, что группы гомологий i(Ai) накрывают почти всю группу Н (М), за исключением, быть может, элементов из Н (М), принадлежащих некоторому конечному множеству одномерных подгрупп. Это можно вывести из одной теоремы Е. В. Гайдукова (1966) для любого нетривиального класса свободно гомотопных путей на М существует геодезическая полутраектория y t), выходящая из точки х и асимптотически приближающаяся к некоторой замкнутой геодезической из данного гомотопического класса. Если скорость y(0) не является критической, то y(t) замкнута. Исключительные одномерные подгруппы в Л 1Л), о которых говорилось выше, порождаются как раз замкнутыми геодезическими, на которые наматываются не совпадающие с ними асимптотические полутраектории. Поскольку непрерывное отображение [c.266]

Пусть ц—другая конечнократная особенность, О С"ХС -)-->С — ее версальная деформация, причем g примыкает к это означает, что в любой окрестности точки ОбС непусто множество / , состоящее из таких значений параметра хбС , что одна из близких к О критических точек функции С7(-,х) биголоморфно эквивалентна особенности f. Для любой неособой точки хо множества / , достаточно близкой к О, и для любой трансверсали Ь к множеству f в точке хо семейство функций 0(-,х), хбЬ, является версальной деформацией особой точки функция (3(-,хо). Следовательно, деформация Р эквивалентна индуцированной из этого семейства при некотором локальном голоморфном отображении ,0)-> L,кo). При этом Ф (Е(0))с 2( ) и возникает гомоморфивм колец ф (G)->--> (.F). Этот гомоморфизм зависит от выбора точки чо и индуцирующего отображения ф. [c.152]

Разрешение особенностей замыканий классов Тома— Бордмана. Замыкания множеств 2 сгУ (Ж, М), а следовательно,, и соответствующих критических множеств 2 (/) с Ж, как правило, негладки (важным исключением являются отображения Морэна, см. п. 1.5 ниже). Однако многие из 21 имеют естественные разрешения особенностей. [c.201]

К 1-му типу относятся отображения, для которых почти всякая в смысле меры Лебега траектория (в том числе траектории критических точек) сходится к устойчивому притягивающему циклу, и множество неблуждающих точек состоит из этого цикла и отталкивающего инвариантного канторова множества. Отображения 1-го типа являются структурно устойчивыми. [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...