Компонента связности множества

В п. 2.5 в мы ограничились только линейными двумерными подковами они возникали при рассмотрении пересечения образа /(Д) прямоугольника Д под действием диффеоморфизма / с самим множеством Д в предположении, что / — аффинное гиперболическое отображение на каждой компоненте связности множества Дп/ (Д). Теперь мы определим подковы более высоких размерностей и порожденные нелинейными отображениями. Из этого определения будет ясно, что конструкция кодирования из п. 2.5 в переносится на наш случай дословно. [c.279]

Доказательство. Наша цель состоит в том, чтобы представить все периодические орбиты как решения некоторых полиномиальных уравнений и, таким образом, получить экспоненциальную оценку на число компонент связности множества периодических точек. Для этого мы представим наше многообразие в виде пересечения множеств уровня нескольких полиномов и приблизим данный диффеоморфизм полиномиальным, который мы можем контролировать. Первая цель достигается с помощью следующей теоремы Нэша о вложении. [c.312]

Доказательство. Компонента связности множества I7 П ( ж х X [О, оо)), содержащая (ж, у) е dj,V, имеет вид S = х (у,, %), О < у, < % (так как (ж, 0) е У и множество U ограничено) и (ж, у,), (ж, %) е 9I7. Далее, У П 5 = 0. Теперь покажем, что S с d V. [c.434]

Доказательство. Обозначим компоненту связности множества U S , содержащую открытое множество U, определенное в лемме 13.2.16, через и . Предположим, что существует кривая с в U , начинающаяся в U и оканчивающаяся либо в некотором множестве S-, j ф г, либо в У, где У —множество, определенное в лемме 13.2.16. В последнем случае кривая с должна пересекать границу по крайней мере один раз, и по построению это значит, что с пересекает множество Sj для некоторого j ф i. Таким образом, в любом случае мы получаем такую кривую 7 [0,1] -+ I7, что 7(0,1) с I7 и 7(0) е Int S и 7(1) е Int 5,. для некоторого j ф . Теперь [c.434]

Uf — компоненты связности множества U j V. [c.435]

Доказательство. Если а е , то г (х) удовлетворяет условию (15.5.2), так что гf x) = i (y) для некоторой точки у 1 и очевидно, что у 6 Сд, следовательно, точка у определена однозначно (так как некоторая степень отображения д переводит 1 у) в критическую точку, в силу кусочной монотонности существует лишь одна точка). Таким образом, по лемме 15.5.4 отображение к(х) = у корректно определено и монотонно. Очевидно, Но/(х)) = (док(х)), так что Ьо/=ро/г на Су. В силу монотонности / продолжается до С (11. Если (а, Ь) — компонента связности множества / Су и С = 1, то Л(а) = к(Ъ) и для х 6 (а, Ь) можно положить к(х) = к(а). Тогда функция к I I монотонна и к о / = д о к. [c.517]

Заметим, что в утверждении теоремы 16.2.1 мы имеем дело с множеством Л (г/). Пусть —максимальная длина компоненты связности множества [c.525]

НИЖНЯЯ граница длин компонент связности множества i7 V. Пусть, далее, число будет таким же, как в лемме 16.2.8. [c.527]

Лемма 16.2.11. Если I— компонента связности множества A (V) и I Г A (i7) Ф 0, то интервал I является (п - п )-марковским. [c.527]

Определение 20.6.4. Пусть В°(Т) = х е В < т(х) < е— - е , Д(а ) > г(Г) . Если Д,, — компонента связности множества В° Т)п П р В° Т)), то А = и [x Г p B) называется полной компонентой [c.653]

Но все это связано с особой простотой двумерного случая для потоков. В данном случае можно получить вполне содержательную (если и не столь исчерпывающую) информацию о возможных типах фазовых портретов не только для потоков М.—С., а и для потоков, имеющих конечное число положений равновесия и сепаратрис. В таком более общем случае расширяется список особых траекторий и усложняется описание компонент связности множества, получающегося по удалении из М особых траекторий (в частности, эти компоненты уже не обязательно области). См. гл. 4. [c.193]

Следствие (о топологической эквивалентности [ 183]) . Любые два элемента функционального пространства главные части которых лежат в одной компоненте связности множества М, топологически -эквивалентны. [c.197]

Теорема 1. Число /Сц компонент связности множества вещественных многочленов , имеющих ц различных вещественных критических значений, равно числу перестановок (1 ) чисел (1,..., ц), для которых [c.122]

Теорема 3. Число компонент связности множества вещественных многочленов +..., имеющих ц=р + 2А различных критических значений, в том числе равно р вещественных критических значений, порядок следования каковых р значений [c.122]

Определение. Алгебраической областью в Я" называется ограниченная компонента связности множества лбЯ /(л) СО , где I — неприводимый полином. Область называется неособой, если на ее границе df= 0. Выпуклая алгебраическая область называется алгебраическим телом. [c.164]

Определим область непосредственного притяжения sag как содержащую р компоненту связности области sa. (Эквивалентным образом z/q определяется как компонента связности множества Фату S J, которая содержит точку р. Ср. лемму 4.3.) [c.101]

Определение. Будем говорить, что нейтральная иррациональная неподвижная точка является либо точкой Зигеля, либо точкой Кремера в зависимости от того, возможна или нет в этой точке локальная линеаризация отображения /. Компонента связности множества Фату, на которой f конформно сопряжено вращению единичного диска, называется диском Зигеля или диском вращения с центром в точке го. (В классической литературе точки Зигеля назывались центрами , а вопрос об их существовании назывался проблемой центра .) [c.150]

Под компонентой связности множества Фату нелинейного рационального отображения / будет пониматься любая компонента связности множества Фату С J(/). Очевидно, / переводит каждую компоненту связности множества Фату U на некоторую компоненту связности множества Фату U посредством собственного голоморфного отображения. Рассмотрим для начала частный случай U = U. [c.195]

Справедливость случая (а) уже установлена. Случай (с) невозможен, поскольку наще предположение о том, что степень d 2, гарантирует счетность числа периодических точек. В случае (d) невозможен вариант проколотого диска, поскольку иначе выколотая точка должна была бы быть неподвижной, принадлежащей множеству Фату, так, что и было бы подмножеством диска Зигеля, а не всей компонентой связности множества Фату. Следовательно, для доказательства теоремы 16.1 необходимо только показать, что граничная неподвижная точка в случае (Ь) должна быть параболической точкой с Л = 1. Эта граничная неподвижная точка, конечно, не может быть притягивающей точ- [c.195]

Напомним, что мы выще уже обсудили все случаи, кроме (Ь). Следовательно, нужно ограничиться рассмотрением компоненты связности множества Фату, отображающейся в себя посредством / таким образом, что все орбиты стремятся к граничной неподвижной точке Шо. [c.198]

Таким образом, получена классификация компонент связности множества Фату, отображающихся на себя посредством /. Существует абсолютно аналогичное описание циклически периодичных под действием / компонент связности множества Фату. В этом случае они являются просто компонентами связности множества Фату, которые неподвижны при некоторой итерации отображения /. Каждая из них является при этом [c.199]

Для того, чтобы дополнить эту картину, нужна следующая фундаментальная теорема, утверждающая, что не существует блуждающих компонент связности множества Фату. [c.199]

Замечание о трансцендентных отображениях. Утверждения, аналогичные теоремам 16.1 и 16.4, могут не выполняться для итераций трансцендентного отображения / С —С. В самом деле, тогда существуют два новых типа компонент связности множества Фату, не возникающих в случае рациональных отображений. В этом случае могут существовать блуждающие компоненты связности множества Фату (задача 16-с), и могут существовать инвариантные области 17 = 17) такие, что ни одна орбита в С/ не имеет ни одной точки накопления в конечной части комплексной плоскости. (Задача 16-с1. Они известны [c.200]

Лемма. Границы компонент связности множества Фату. Если 17 — односвязная компонента связности множества Фату гиперболического отображения, то граница 817 локально связна. [c.242]

Замечание. В частном случае полиномиального отображения теорема 19.2 вытекает из данного результата, поскольку для полиномиального отображения область притяжения бесконечно удаленной точки является инвариантной компонентой связности множества Фату с границей, совпадающей со всем множеством Жюлиа. [c.243]

Случай периодической компоненты связности множества Фату и = рассматривается с помощью этих же рассуждений, при- [c.244]

Так как / гиперболично, то можно выбрать некоторую риманову метрику в окрестности V множества Жюлиа J так, чтобы / являлось растягивающим относительно (1 на некоторой окрестности N множества J с условием N С V. Для любой компоненты связности множества Фату С/ -, содержащейся в ] , определим расстояние (ж, у) меж- [c.245]

Отсутствие блуждающих компонент связности множества Фату [c.291]

Идея доказательства теоремы выглядит так пусть II — любая компонента связности множества Фату отображения /, то есть любая компонента связности множества С /(/). Предположим, что мы пытаемся изменить конформную структуру на II. Если / должна сохранять эту новую конформную структуру, то соответствующие изменения конформной структуры следует совершать и на всей большой орбите множества и. Если / и) = и, то условие сохранения этой конформной структуры при отображении / налагает очень сильные ограничения. Аналогично, если II периодично или поглощается циклом, то эти ограничения также весьма существенны. Однако, если II является блуждающей компонентой, то есть если итерированные образы в последовательности [c.291]

Выберем для удобства систему координат так, чтобы бесконечно удаленная точка принадлежала U, и все компоненты связности множества Фату лежали бы в ограниченной части С. Пусть L — произвольная [c.295]

Теперь с помощью леммы 16.2.13 и предложения 14.3.2 мы докажем второй пункт теоремы 16.2.1. Проведем рассуждения от противного, считая, что имеется последовательность —юо и такие a ieA (V), что (/" ) (a J 1. Предположим, что число 5 меньше, чем длина любой компоненты связности множества 17 У, и меньше, чем расстояние между любыми точками х,уедВ. Тогда мы можем показать, что если — компонента связности в Л (У), то существует такое тп < п , что I " )) > 5. [c.528]

Можно доказать, что для любых двух точек Ь и Ь из множества ф(й) — ф(( йи5ф), принадлежащих одной и той же компоненте связности множества R" — ф(( 2), выполняется равенство deg(ф, 2, Ь) =deg(ф, 2, Ь ). Принимая во внимание этот результат, мы можем распространить определение числа deg(ф, 2, Ь) на все точки 6 е R" — ф((ЗЙ). А именно, пусть задана точка 6 е ф (5ф) — ф ((3Q) (это единственный случай, который осталось рассмотреть) и Сь — связная компонента открытого множества R" — ф(<5 2), содержащая Ь. Поскольку множество Сь непусто Ь е Сь) и открыто, то dx-meas Сь > 0. Следовательно, по теореме Сарда (теорема 5.4-1) множество Сь должно содержать точки Ь (S,). Поэтому мы можем положить [c.246]

J(IR) и компонент связности множества A(i ) видна из рисунка 25. Д(R) состоит из инвариантной относительно области притяжения к бесконечности Doo, областей притяжения и D i к неподвижным притягивающим точкам 2==-1 и z= — 1 и объедине- [c.225]

Задача 4-1. Компоненты Фату. Покажите, что если И — компонента связности множества Фату функции /, то /(О) — также компонента связности множества Га1ои(/). [c.73]

Как установлено в 10, существует не более, чем конечное число притягивающих областей и дисков Зигеля. Сулливан показал также, что существует не более, чем конечное число колец Эрмана, и, следовательно, всего существует только конечное число периодических компонент связности множества Фату. (Более точно, согласно Сисикуре, существует не более, чем 2(1 — 2 различных циклов периодических компонент связности множества Фату). [c.199]

Следовательно, произвольная орбита гх . во множестве Фату может содержать не более конечного числа точек из N .7). В самом деле, ни одна точка вне Ng J) не может отобразиться в Ng J), тогда как, если орбита начинается в Ng J) J, то расстояние между и J должно увеличиваться, по крайней мере, в к раз с каждой итерацией, пока орбита не выйдет за границу Ns J), чтобы больще никогда туда не вернуться. Поэтому любая точка накопления 2" этой орбиты принадлежит множеству Фату. Если 17 — компонента связности множества Фату, содержащая 2", то, очевидно, некоторые итерации /° должны отображать 17 в себя. Согласно классификации периодических компонент связности множества Фату, полученной в теореме 16.1, 17 должна быть либо областью притяжения, либо параболической областью, либо областью вращения. Так как II, очевидно, не может быть ни параболической областью, ни, согласно теореме 11.17 и лемме 15.7, областью вращения, она должна быть областью притяжения. Следовательно, орбита 0 ... должна сходиться к соответствующей притягивающей периодической орбите. В частности, орбита любой критической точки должна сходиться к притягивающей периодической орбите. Отсюда, очевидно, вытекает, что P J = 0, это и завершает доказательство теоремы 19.1. [c.242]

Иными словами, если имеется бесконечное число компонент связности множества Фату, занумерованных в любом порядке как С/1, С/2,. .., то диаметр 17 в сферической метрике должен стремиться к нулю при j 00. (Однако гиперболическое отображение с несвязным множеством Жюлиа может иметь бесконечное число компонент связности множества Фату с диаметрами, отграниченными от нуля. См. пример Макмуллена на рисунке 2а. Автору неизвестно ни одного подобного примера со связным множеством Жюлиа, даже в негиперболическом случае.) [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...