Множество Жюлиа

Множество Жюлиа и его дополнение...... [c.114]

Множество Жюлиа и его дополнение. Динамике рациональных эндоморфизмов Z,- jR (z) сферы [c.223]

Точки со стохастическим поведением содержатся в так называемом множестве Жюлиа 1(Я), которое совпадает с замы- [c.223]

Рациональные отображения с гиперболическим множеством Жюлиа структурно устойчивы. Для полиномиальных эндоморфизмов с гиперболическим множеством Жюлиа с помощью марковских разбиений строится символическая динамика (см. [48J и библиографию к этой статье). [c.225]

Книга представляет собой вводный курс лекций по голоморфной динамике — одной из интенсивно развивающихся областей современной математики. В них рассмотрена теория римановых поверхностей, теоремы о неподвижной точке. Обсуждаются современные результаты по структуре множеств Жюлиа. Имеется ряд приложений. [c.4]

Выбор того, какое именно из этих двух множеств называть множеством Фату, а какое — множеством Жюлиа, достаточно произволен, но термин множество Жюлиа к настоящему времени уже устоялся. Заметим, однако, что такая форма определения J фактически принадлежит Фату. Определение Жюлиа приводится в 14. Множество Фату 3 J иногда называется и по-другому стабильным или нормальным множеством. [c.55]

Таким образом, из самого определения следует, что множество Жюлиа J является замкнутым подмножеством S, в то время как множество Фату S J является дополнительным к нему открытым подмножеством. Мы увидим, что точка ро принадлежит множеству Жюлиа тогда и только тогда, когда динамика в окрестности этой точки демонстрирует чувствительную зависимость от изменений начальных данных , то есть близкие начальные данные порождают совсем другой характер поведения траектории после большого (а иногда и не очень большого) числа итераций. (Ср. задачи 4-h, а также следствие 14.2.) [c.56]

Такие гладкие множества Жюлиа являются редкостью. (Ср. 7.). [c.56]

Рис. 1а. Простая замкнутая кривая, множество Жюлиа для отображения г + (0.99 + 0.14 )г

Рис. 1Ь. Вполне несвязное множество Жюлиа для отображения г 1- + ( - 0.765 + 0.12 )

Рис. 1с. Дендрит , множество Жюлиа для отображения г -> + г Мы перечислим несколько основных свойств множеств Жюлиа.

Лемма об инвариантности. Множество Жюлиа J=3u isi f) голоморфного отображения 3 3 вполне инвариантно относительно отображения /. Это означает, что г J тогда и только тогда, когда / г) J. [c.58]

Отсюда следует, что множество Жюлиа имеет высокую степень самоподобия Если для точек гг и = f zl) во множестве J f) выполняется неравенство / гх) ф О, то существует индуцированный конформный изоморфизм из некоторой окрестности N1 точки гх в окрестность N2 точки %2, переводящий Мх Г1 J f) в точности на N2 П J f). (Ср. задачу 4-ё.) [c.59]

Лемма об итерации. Для любого к > О множество Жюлиа J f° ) к-кратной итерации отображения / совпадает со множеством Жюлиа J f). [c.59]

Рис. 2. Множества Жюлиа для трех рациональных отображений

Каждая притягивающая периодическая орбита содержится во множестве Фату отображения /. В действительности, для притягивающей периодической орбиты во множестве Фату содержится вся область притяжения вй. Однако каждая отталкивающая периодическая орбита содержится во множестве Жюлиа. [c.62]

Лемма. Параболические точки. Каждая параболическая точка принадлежит множеству Жюлиа. [c.63]

Лемма. Множество J непусто. Если рациональное отображение / имеет степень два и выше, то множество Жюлиа J f) непусто. [c.63]

Теорема о транзитивности. Пусть — произвольная точка множества Жюлиа J f ) С С и N — произвольная окрестность этой точки. Тогда объединение II образов f° N) содержит все множество Жюлиа и содержит все за исключением, быть может, двух точек из С. Более точно, если N достаточно мало, то II является дополнением С <о (/) множества точек с конечными большими орбитами. [c.65]

В 14 мы докажем более сильное утверждение о том, что для достаточно большого п всего один образ целиком содержит множество Жюлиа или всю риманову сферу в специальном случае, когда не существует точек с конечными большими орбитами.) [c.65]

Следствие. Множество Жюлиа с внутренностью. Если множество Жюлиа содержит внутреннюю точку, то оно должно совпадать со всей римановой сферой. [c.65]

Следствие. Граница области притяжения = множество Жюлиа. Если С С — область притяжения для некоторой притягивающей периодической орбиты, то топологическая граница [c.66]

Следствие. Итерированные прообразы плотны. Пусть 2о — любая точка множества Жюлиа J f), тогда множество всех итерированных прообразов [c.66]

Замечание (о компьютерной графике). (Ср. приложение С.) В этом следствии предлагается алгоритм расчета чертежей множеств Жюлиа. Начиная рассмотрения с произвольного го конце концов, сколь угодно близко [c.66]

Следствие. Компоненты Жюлиа. Для любого рационального отображения степени два или больше множество Жюлиа либо связно, либо имеет несчетное множество компонент связности. [c.67]

Ср. задачу 4-j). Для каждого целого m > О можно покрыть множество Жюлиа J = J[f) конечным набором открытых множеств N j диаметра не более 1/т в сферической метрике. Для каждого такого N j пусть Umj — объединение итерированных прообразов f° Nmj)- Тогда из 4.10 следует, что замыкание Umj П J совпадает со всем множеством Жюлиа J. Другими словами, Umi П — плотное открытое подмножество множества Жюлиа. Теперь, если 2 принадлежит пересечению этих открытых плотных множеств, то орбита точки 2 пересекает каждое из Nmj и, следовательно, всюду плотна в J. [c.69]

Рис. 4. Множество Жюлиа для отображения f z) = г + +

Если 8 компактно, то в ней никакая последовательность к бесконечности не стремится, и тогда случай (2) не реализуется.) Как обычно, дополнение к множеству Фату будет называться множеством Жюлиа. [c.74]

Лемма. Пустота множеств Жюлиа. Для любого отображения / 3 3 гиперболической поверхности в себя множество Жюлиа J( ) пусто. В частности, f не может иметь отталкивающих точек, параболических точек, и граница ее области притяжения пуста. [c.75]

Эти работы позволили провести тесную связь между физикой фазовых переходов и математикой фрактальных множеств типа множества Жюлиа. В настоящее время неизвестно, является ли это простым совпадением или же отражает существенные свойства фазовых переходов. Фракгальносгь и са моподобие фазовых границ вполне могут оказаться неслучайными. [c.83]

Рис. 2,12. Фрактальное множество Жюлиа а - общий вши б - увепичеиный фрагмент

Эргодические и размерностные свойства множества Жюлиа Литература................ [c.114]

Для полиномиальных отображений z->-P(z) справедливость этой гипотезы вытекает из следующего условия, сформулированного в недавней работе Сулливана, Манэ (R. Mane) и Сада (Р. Sad) множество полиномов Р(г), плоская мера Лебега множества Жюлиа I Р) равна нулю открыто и всюду плотно в пространстве параметров. [c.225]

Несмотря на то, что неизвестно, плотны ли гиперболические отображения, справедлива следующая теорема о структурной устойчивости на множестве Жюлиа, так называемой /-устойчивости, доказанная Сулливаном, Манэ и Садом, а также в несколько более слабой форме М. Ю. Любичем 129]. [c.225]

Эргодические и размерностные свойства множества Жюлиа. Исследование эргодических свойств рациональных эндоморфизмов, т. е. инвариантных мер, сосредоточенных на множестве Жюлиа, было начато Бролиным (Н. ВгоИп), который доказал, что для полиномиального отображения zm-P z) прообра- [c.226]

Га1ои(/) называется множеством Жюлиа J = ЛиИа(/). Таким образом, для любой точки Ро 8 мы имеем следующую дихотомию. Если существует окрестность II точки ро такая, что последовательность [c.55]

В качестве простого примера рассмотрим отображение возведения в квадрат з z i->- на . Весь открытый диск Р целиком содержится во множестве Фату этого отображения s, т. к. последовательные итерации s па любом компактном подмножестве равномерно сходятся к нулю. Аналогично, дополнение С Р содержится во множестве Фату, т. к. итерации s сходятся к постоянной функции z i->- оо вне Р. С другой стороны, если zq принадлежит единичной окружности, то в любой окрестности zq любой предел итераций должен обязятельпо иметь разрыв первого рода при пересечении единичной окружности. Это показывает, что множество Жюлиа J(s) является в точности единичной окружностью. [c.56]

На рисунке 1 показаны несколько типичных примеров множеств Жюлиа (окрашенных черным) для квадратичных полиномиальных отобра- [c.57]

Если ] — любая окрестность какой-либо точки, принадлежащей множеству Жюлиа, то, согласно теореме 4.7, некоторая итерация пересекает а значит, и сама окрестность N пересекается с Отсюда следует, что J С -9 . Однако J не пересекается с. 9 , следовательно, J С дsi. С другой стороны, если N является окрестностью точки из дsi, то любой предел итераций должен иметь разрыв первого рода между si и дsi, следовательно, дsi С J. Наконец, заметим, что каждая пересекающая. 9 связная компонента Фату не может пересекаться с границей д.9 , значит, она должна совпадать с некоторой компонентой si. Предостережение, дsi не совпадает с объединением границ компонент связности области которое зачастую намного меньше. (Ср. рисунки 1(1 и 2. Очень поучительно привести здесь пример канто-рова множества на единичном отрезке. Оно несчетно, хотя объединение границ интервалов, которые образуют его дополнение, счетно.) [c.66]

Рис. 3. Семья кроликов множество Жюли кубического полинома /(г) = г — 0,48г + (О, 706260 + О, 502896 ), которое имеет бесконечное количество нетривиальных компонент связности

Задача 4-(1. Самоподобие. За редкими исключениями, формы любого геометрического образа в окрестности какой-либо точки множества Жюлиа можно наблюдать бесконечное число раз на всем этом множестве. Более точно, для двух точек 2 и 2 из J = J( ) будем говорить, что (J, ) локально-конформно изоморфно (J, г ), если существует конформный изоморфизм из окрестности N точки 2 на окрестность ТУ точки г, переводящий г в г, а Jf]N на Jf]N. Применяя 4.10, покажите, что множество точек г, для которых (J, г) локально-конформно изоморфно (J, 2о), всюду плотно в J, если только невыполнено следующее условие для каждой заканчивающейся в го, обратной орбиты [c.70]

Задача 4-е. Канторово множество Жюлиа. По определению топологическое пространство называется канторовым множеством, если оно гомеоморфно стандартному канторовому множеству К на отрез- [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...