Уравнение Гамильтона ие зависящее от времени

Уравнения (1.17), очевидно, гамильтоновы с канонической скобкой Пуассона , у = 1 и функцией Гамильтона, явно зависящей от времени [c.36]

При действительном вычислении 3/ мы встречаемся с одним затруднением, которого нет в доказательстве теоремы Гамильтона. Переменная гi не остается более независимой от вариаций поэтому вариации и д. связаны с вариацией t сложным соотношением, которое следует из уравнения (1). Самый простой способ обойти это затруднение заключается в том, чтобы изменить независимую переменную, выбрав такую, значения которой располагались бы между постоянными пределами, не зависящими от времени. Пусть ), есть новая независимая переменная, пределы которой Ад и предполагаются не зависящими от С При перемещении системы параметры д , д. и t будут функциями от этой переменной [c.227]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Однако формализм скобок Пуассона позволяет не толь-ко элегантно записать уравнения механики, но и выписать их общее решение, конечно в виде разложения в ряд, параметром малости которого является время, протекшее с начала движения. Чтобы показать это, ограничимся сперва случаем, когда функция Гамильтона не зависит от времени явно, и будем искать зависимость от времени произвольной динамической переменной /(р, д), также не зависящей явно от времени, т. е. описываемой уравнением движения (60а). [c.117]

Итак, если рассматривать малые а как канонические координату и импульс, то новая функция Гамильтона тождественно обращается в нуль, и уравнения движения для (теперь не зависящих от времени явно ) а и а по-прежнему дадут [c.137]

Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Н, не зависящая явно от времени. Поэтому уравнение это принимает вид [c.332]

Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов. [c.575]

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых координат , их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции Т = Т(д, ( ) и V = У(д, I) отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике. [c.867]

Такая точка зрения соответствует первому уравнению ь (1.2.5). В этом представлении козффициенты пт постоянны. С другой стороны, можно найти явные решения уравнений Гамильтона, т. е. определить qi t), pt (t) в виде функций от времени и начальных значений qt, pi- Подставляя эти функции в (1.2.18), мы получим некоторую новую функцию, зависящую от q , pi, т. е. некоторую новую совокупность коэффициентов nm(t) ф пт- [c.21]

Уравнения (67) называются каноническими уравнениями Гамильтона, а функция Я, зависящая от 25 канонических переменных gi, 72, -.д , Ри. - р времени t, называется функцией Гамильтона. Для механической системы с 5 степенями свободы будет 2s канонических уравнений (67). Уравнения Гамильтона представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка . Интегрирование этих уравнений дает 25 величин Qi,. . gs, pi, ps в функции времени и 25 произвольных постоянных. [c.513]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Проинтегрировать эту систему уравнений значит выделить из нее бп отношений между временем t и бп переменными <й, и бп их начальными значениями, которые могут быть обозначены как р,-. Мистер Гамильтон решает проблему в этой более общей форме при помощи той же самой главной функции 5, что и выше, рассматривая ее, однако, как зависящую теперь от новых отметок р и е конечных и начальных положений различных точек системы. Полагая в этом новом обозначении [c.287]

Теорема Уиттекера подсказывает способ автономизации уравнений Гамильтона с зависящим от времени гамильтонианом H x,y,t). С этой целью увеличим размерность фазового пространтва Р на две единицы, добавляя две канонически сопряженные переменные Хп+1 = t, уп+1 И ВВОДЯ новый гамильтониан [c.68]

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени, В первом случае положим Я = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от вре.мени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный >гамент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Я = О, получим уравнение в частных производных для производящей функции F [c.23]

При этом следует помнить, что р,- в функции Гамильтона Н заменены на dSldqi. Предположим, что мы можем найти производящую функцию S, удовлетворяющую этому уравнению в частных производных. Тогда мы сможем получить движение фазовой жидкости в виде последовательных фаз зависящего от времени канонического преобразования с заданной производящей функцией 5. После соответствую-щих дифференцирований и исключений это преобразование может быть найдено в явном виде. Уравнения преобразования записываются в такой форме [c.256]

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона Н в одну из новых переменных. Для реоном-ной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее Н в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.275]

Техника супероператоров по существу формализует понятие удобных слагаемых в (2.12) и упрощения в разложении (2.10) для гамильтониана Я, позволяя совершенно единообразно рассматривать различные задачи молекулярной спектроскопии. Оказывается возможным заранее до проведения конкретных выкладок определить, какие переменные можно отделить методом КП и какие нельзя, какова будет форма эффективного гамильтониана, когда преобразование можно выполнить в замкнутом виде какова степень неоднозначности в эффективном гамильтониане и т. д. Супероператорная формулировка допускает естественное обобщение на задачи с уравнением Шредингера, зависящим от времени. [c.34]

Для систелш с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, всегда существует интеграл движения. В лшо-гомерпом случае, если переменные в уравнении Гамильтона—Якоби полностью разделяются, можно найти N интегралов движения, которые развязывают все N степеней свободы. Обозначим производящую функцию через 5 и примем, что в случае полного разделения переменных решение имеет вид [c.34]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Вмиовая функцпя остается зависящей от времени и удовлетворяет уравнению Шредингера с оператором Гамильтона вЯ(() [c.154]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Дано фазовое пространство и определена с помощью уравнений состояния типа (2.15), (2.77). (2.81) энергия системы. Если в качестве независимых переменных заданы координаты ду в конфигурационном пространстве и импульсы ру, то существуют сопряженные переменные в виде их производных по времени ду- и ру. Уравнения Гамильтона выражают связь между ними. Поэтому уравнения Галпшьтона определены как для частиц , так и для всех видов полей. Уравнения состояшш вводят конечный элемент площади в фазовом пространстве dqJdpy = К . Это позволяет разбить фазовое пространство на ячейки. Поскольку уравнения состояния (2.15), (2.77), (2.81) вводят, в частности, конечные элементы энергии, то, как и в методе Больцмана, можно ввести числа заполнения ячеек фазового пространства, не зависящие от природы частиц или полей, описываемых уравнениями Гамильтона. Так как адиабатический инвариант системы Кк конкретно свой для каждого класса систем, то числа заполнения ячеек велики, как и необходимо для подсчёта числа возможных состояний системы методом Больцмана. Числа возможных [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...